不可約復(fù)特征標(biāo)的頂點(diǎn)

靳平，趙建楠

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

設(shè)G為有限群，F(xiàn)是特征為素?cái)?shù)p的代數(shù)閉域，在研究群代數(shù)FG上不可直和分解的模時(shí)，Green[1]對(duì)每個(gè)不可分模M定義了一個(gè)p-子群，稱(chēng)之為M的頂點(diǎn)，證明了頂點(diǎn)子群是共軛唯一的，特別是借助頂點(diǎn)子群建立了著名的Green對(duì)應(yīng)。在現(xiàn)代模表示的發(fā)展中，Green的頂點(diǎn)理論發(fā)揮了重要作用，獲得了廣泛而深刻的應(yīng)用。因?yàn)閱蜦G-模與其不可約Brauer特征標(biāo)彼此唯一確定，故對(duì)每個(gè)不可約的Brauer特征標(biāo)φ∈IBrp(G)均可相應(yīng)地定義其頂點(diǎn)，由此得到Green頂點(diǎn)理論的特征標(biāo)版本，為解決Brauer特征標(biāo)的相關(guān)問(wèn)題提供了一種強(qiáng)有力的技術(shù)工具。關(guān)于頂點(diǎn)的研究可以參考文獻(xiàn)[2-6]。

當(dāng)G為π-可分群時(shí)，Isaacs在一系列文章中建立了特征標(biāo)的π-理論[7-9]，把關(guān)于素?cái)?shù)p的不可約Brauer特征標(biāo)推廣為關(guān)于素?cái)?shù)集合π的不可約π-部分特征標(biāo)，簡(jiǎn)稱(chēng)為Iπ-特征標(biāo)，全體記為Iπ(G)。特別地，如果取π={p}′為素?cái)?shù)p在所有素?cái)?shù)集合中的補(bǔ)集時(shí)，則 IBrp(G)=Iπ(G)，表明 Isaacs 的特征標(biāo)π-理論包含了p-可解群的Brauer特征標(biāo)理論。類(lèi)似地，Isaacs和 Navarro 在[10]中也建立了Iπ-特征標(biāo)的頂點(diǎn)理論，作為應(yīng)用得到了Alperin權(quán)猜想的分塊計(jì)數(shù)定理。Lewis在[11]中也研究了Iπ-特征標(biāo)的頂點(diǎn)理論。

鑒于模特征標(biāo)的頂點(diǎn)理論之極端重要性，人們自然期望把該理論“提升”到復(fù)特征標(biāo)的情形，即設(shè)法建立不可約復(fù)特征標(biāo)χ∈Irr(G)的頂點(diǎn)理論。其重要性和價(jià)值是顯而易見(jiàn)的，因?yàn)樵谌罕硎纠碚撝?，誘導(dǎo)技術(shù)始終處于核心地位，但特征標(biāo)的誘導(dǎo)過(guò)程又極其復(fù)雜，而頂點(diǎn)子群在誘導(dǎo)下保持不變，故可視為誘導(dǎo)過(guò)程的“不變量”，從而在某種程度上控制了誘導(dǎo)模式，可用來(lái)研究很多重要的特征標(biāo)問(wèn)題。事實(shí)上，Navarro[12]首先引入了不可約復(fù)特征標(biāo)χ的正規(guī)原核(W，γ)，其中γ為W的一個(gè)π-可分解的特征標(biāo)，即γ∈Fπ(W)，據(jù)此定義χ的一個(gè)頂點(diǎn)為特征標(biāo)對(duì) (Q，(γπ′)Q)，其中Q為W的一個(gè) Hallπ′-子群，而γπ′為γ的π′-特殊的因子，并證明了如此“正規(guī)頂點(diǎn)”的共軛唯一性。類(lèi)似地，使用次正規(guī)原核（見(jiàn)[7，13]）亦可定義χ的所謂“次正規(guī)頂點(diǎn)”，并建立相應(yīng)的共軛唯一性。此外，Lewis[14]使用正規(guī)列也發(fā)現(xiàn)了一種頂點(diǎn)理論，并給出若干應(yīng)用。值得指出的是，目前文獻(xiàn)中出現(xiàn)的若干頂點(diǎn)理論，無(wú)論是定義還是性質(zhì)，一般而言是不相同的，但這些頂點(diǎn)子群和頂點(diǎn)特征標(biāo)都是從某種類(lèi)型的Fπ-誘導(dǎo)過(guò)程構(gòu)造而來(lái)。關(guān)于原核理論可參考文獻(xiàn)[15]。

為了獲得頂點(diǎn)子群和頂點(diǎn)特征標(biāo)的統(tǒng)一構(gòu)造模式，Cossey[16]對(duì)π-可分群G的每個(gè)不可約復(fù)特征標(biāo)χ∈Irr(G)，均定義了“廣義頂點(diǎn)”，即所有如此的特征標(biāo)對(duì)(Q，α)，源自χ的某個(gè)Fπ-誘導(dǎo)對(duì)(W，γ)，使得Q∈ Hallπ′(W)而α=(γπ′)Q。簡(jiǎn)單計(jì)，本文稱(chēng)這些Cossey意義下的頂點(diǎn)為Cossey頂點(diǎn)。盡管Cossey給出反例說(shuō)明這些廣義頂點(diǎn)一般不是共軛唯一的，但在某些附加條件下，Cossey在[16]中的主要定理即證明了上述頂點(diǎn)的共軛唯一性。因?yàn)镃ossey定理的內(nèi)容是關(guān)于Brauer特征標(biāo)的，我們將其改寫(xiě)成下述更為一般的Iπ-特征標(biāo)版本。

Cossey頂點(diǎn)定理設(shè)G為奇數(shù)階群，χ∈Irr(G)為一個(gè)π-提升的特征標(biāo)，即χ0∈ Iπ(G)，則χ的所有Cossey頂點(diǎn)(Q，α)彼此共軛。

值得指出的是，Cossey在該文構(gòu)造了兩個(gè)反例，用以說(shuō)明G為奇數(shù)階群的條件，以及χ為π-提升的條件，均不可或缺。

本文的主要內(nèi)容是推廣上述Cossey頂點(diǎn)定理，設(shè)法減弱G為奇數(shù)階群的假設(shè)，在更為一般的π-可分群中建立Cossey頂點(diǎn)的共軛唯一性。事實(shí)上，我們可以證明如此的頂點(diǎn)盡管不是共軛唯一的，但相差一個(gè)符號(hào)特征標(biāo)（即滿足δ2=1G的線性特征標(biāo)δ）。方便起見(jiàn)，我們稱(chēng)群G的兩個(gè)特征標(biāo)對(duì)(Q，α)和(R，β)是“線性共軛的”，如果存在某個(gè)元素g∈G以及符號(hào)特征標(biāo)λ∈Irr(G)，使得Qg=R且αg=λβ。顯然，當(dāng)λ=1G為主特征標(biāo)時(shí)，特征標(biāo)對(duì)的線性共軛等同于共軛，即(Q，α)g=(R，β)，故線性共軛是共軛關(guān)系的推廣。當(dāng)G為奇數(shù)階群時(shí)，則χ(1)為奇數(shù)，并且奇數(shù)階群的符號(hào)特征標(biāo)只能是主特征標(biāo)，由此可知本文主定理顯然推廣了上述Cossey頂點(diǎn)定理，相關(guān)的概念和符號(hào)見(jiàn)本文第二節(jié)。

定理A設(shè)G為π-可分群且2?π，χ∈Irr(G)為一個(gè)π-提升的特征標(biāo)，并且χ(1)為奇數(shù)，則χ的所有Cossey頂點(diǎn)(Q，α)彼此是線性共軛的。

為了進(jìn)一步說(shuō)明我們引入線性共軛關(guān)系的合理性，可重返Iπ-特征標(biāo)情形（自然也包含了p-可解群的Brauer特征標(biāo)的頂點(diǎn)理論）。因?yàn)??π，故群G的所有符號(hào)特征標(biāo)在π-元素集合G0上的限制均平凡，由此表明線性共軛關(guān)系在Iπ-特征標(biāo)理論中即等同于共軛關(guān)系。

推論B設(shè)G為π-可分群且2?π，χ∈Irr(G)為φ∈Iπ(G)的一個(gè)提升，并且χ(1)為奇數(shù)，則χ的所有Cossey頂點(diǎn)子群恰為φ的所有頂點(diǎn)子群。

本文所使用的群和特征標(biāo)的符號(hào)與術(shù)語(yǔ)，分別采用Isaacs的兩本經(jīng)典教材[17]和[18]。關(guān)于特征標(biāo)的π-理論，則參考Isaacs的最新專(zhuān)著[13]。

1 預(yù)備知識(shí)

我們先給出所需的特征標(biāo)π-理論中若干基本概念和結(jié)果。

定義1設(shè)G為π-可分群，χ∈Irr(G)。如果χ(1)為π-數(shù)，并且對(duì)G的每個(gè)次正規(guī)子群S以及χ的每個(gè)不可約分量θ∈ Irr(S)，均有o(θ)為π-數(shù)，則稱(chēng)χ為π-特殊的特征標(biāo)，簡(jiǎn)稱(chēng)為Xπ-特征標(biāo)，全體記為 Xπ(G)。

下述Fπ-特征標(biāo)的定義和性質(zhì)，在構(gòu)造不可約復(fù)特征標(biāo)的頂點(diǎn)時(shí)具有基本的重要性。

定義2設(shè)G為π-可分群，χ∈Irr(G)。如果χ=αβ，其中α∈Xπ(G)而β∈Xπ′(G)，則稱(chēng)χ為G的一個(gè)π-可分解的特征標(biāo)，簡(jiǎn)稱(chēng)為Fπ-特征標(biāo)。G的所有 Fπ-特征標(biāo)的集合記為 Fπ(G)。

根據(jù)Gajendragadkar乘積定理（見(jiàn)[13]中定理2.2），在上述定義中，如果χ∈Fπ(G)，則其因子α和β均由χ唯一確定，分別稱(chēng)之為χ的π-特殊因子和π′-特殊因子。在本文中我們將依次記為χπ和χπ′。

我們需要π-特殊特征標(biāo)的若干性質(zhì)，特別是在限制和誘導(dǎo)下的動(dòng)態(tài)。下述兩個(gè)結(jié)論亦可見(jiàn)原始文獻(xiàn)[8]，其中δ(G，H)為子群H在G中的π-標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)特征標(biāo)，其定義相當(dāng)復(fù)雜，反映了H在G中的嵌入信息，相關(guān)性質(zhì)亦可見(jiàn)Isaacs最新專(zhuān)著[13]。

下述結(jié)果表明π-特殊的特征標(biāo)在誘導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)了符號(hào)特征標(biāo)的干擾現(xiàn)象，比較復(fù)雜，證明分別可見(jiàn)[13]中的定理2.29和定理7.25。

引理 1設(shè)G為π-可分群且 2?π，H≤G，ψ∈Irr(H)使得χ=ψG∈Irr(G)。

（1）如果χ∈ Xπ(G)，則δ(G，H)ψ∈ Xπ(H)。

（2）如果δ(G，H)ψ∈ Xπ(H)，并且 |G：H|為π-數(shù)，則χ∈Xπ(G)。

然而，盡管在下述引理中π-特殊的特征標(biāo)在限制過(guò)程不出現(xiàn)符號(hào)特征標(biāo)的干擾，但其證明仍然要借助符號(hào)特征標(biāo)的深刻性質(zhì)，證明可見(jiàn)文獻(xiàn)[13]中的定理7.26。

引理 2設(shè)G是π-可分群且 2?π，χ∈Xπ(G)。如果H≤G且ψ=χH∈Irr(H)，則ψ∈Xπ(H)。

下述引理的主要用途是減弱奇數(shù)階群的條件，見(jiàn)[13]中推論 5.4。

引理 3設(shè)G為π-可分群且2?π，如果φ∈Iπ(G)為實(shí)數(shù)值的，并且φ(1)為奇數(shù)，則φ為主特征標(biāo)，即φ=1G0。

我們需要關(guān)于Xπ-特征標(biāo)的一個(gè)擴(kuò)張定理，屬于其經(jīng)典擴(kuò)張定理的簡(jiǎn)單推論。

引理4設(shè)G為π-可分群，U≤G且|G：U|為π′-數(shù)。如果β∈Xπ(U)可擴(kuò)張到G上，則存在唯一的χ∈ Xπ(G)使得χU=β。

證明任取H為U的一個(gè)Hallπ-子群，從條件|G：U|為π′-數(shù)可知H也是G的一個(gè)Hallπ-子群。根據(jù)Gajendragadkar限制定理（見(jiàn)[13]中定理2.10），則α=βH不可約，故α亦可隨β擴(kuò)張到G上。再由[13]中推論3.15，可知α在G上存在唯一的擴(kuò)張χ∈Xπ(G)。此時(shí)仍從限制定理可知χU∈Xπ(U)，并且χU和β均為α在U上的Xπ-擴(kuò)張，迫使χU=β。

現(xiàn)在給出Cossey頂點(diǎn)的定義。簡(jiǎn)單計(jì)，如果χ∈Irr(G)可從子群U誘導(dǎo) ，即χ=ψG，其 中ψ∈Irr(U)，則稱(chēng)(U，ψ)為χ的一個(gè)誘導(dǎo)對(duì)。進(jìn)而，如果還有ψ∈Fπ(U)，則稱(chēng)(U，ψ)為χ的一個(gè)Fπ-誘導(dǎo)對(duì)。

定義3設(shè)G為π-可分群，χ∈Irr(G)為G的一個(gè)不可約復(fù)特征標(biāo)，任取(U，ψ)為χ的一個(gè)Fπ-誘導(dǎo)對(duì) ，令Q∈ Hallπ′(U)，則稱(chēng) (Q，(ψπ′)Q)為χ的 一 個(gè)Cossey頂點(diǎn)。

根據(jù)π-特殊特征標(biāo)的Gagendragadkar限制定理（見(jiàn)[13]中定理 2.10），可知 Fπ-特征標(biāo)ψ的π′-特殊的因子ψπ′，在U的 Hallπ′-子群Q上的限制 (ψπ′)Q仍為不可約的，故上述Cossey頂點(diǎn)為G的一個(gè)特征標(biāo)對(duì)。

最后需要說(shuō)明的是，因?yàn)棣帧蔍rr(G)總存在本原誘導(dǎo)對(duì)（即ψ為本原特征標(biāo)），而本原誘導(dǎo)對(duì)顯然是Fπ-誘導(dǎo)對(duì)，故χ的Cossey頂點(diǎn)總是存在的，但一般而言缺乏共軛唯一性。此外，在本文定理A的證明中，我們還要用到Navarro在[12]中建立的正規(guī)原核理論，鑒于其復(fù)雜性，在此不擬敘述相關(guān)的概念和結(jié)果，所引用的結(jié)論均可參考該文。

2 主要結(jié)果

設(shè)G是π-可分群，如果χ∈Irr(G)是φ∈Iπ(G)的一個(gè)提升，簡(jiǎn)單計(jì)，我們稱(chēng)χ為π-提升的特征標(biāo)，記為χ∈Lπ(G)。

引理5設(shè)G是π-可分群且2?π，χ∈Lπ(G)且χ(1)為奇數(shù)。如果(U，ψ)為χ的一個(gè) Fπ-誘導(dǎo)對(duì)，則ψ(1)為π-數(shù)。

證明因?yàn)棣诪?Fπ-特征標(biāo)，故ψ=ψπψπ′，令β=ψπ′，我們只需證β(1)=1。事實(shí)上，從ψG=χ∈Lπ(G)可知

表明β0∈Iπ(U)。熟知π′-特殊的特征標(biāo)β在U0的取值只能是有理數(shù)，從而β0為實(shí)數(shù)值的。注意到β0(1)=β(1)可整除χ(1)，故為奇數(shù)，應(yīng)用引理 3，則β0為主特征標(biāo)，所以β(1)=1。

在考慮Fπ-誘導(dǎo)對(duì)時(shí)，我們需要研究π′-特殊因子的限制性質(zhì)。

引理6設(shè)G是π-可分群且2?π，χ∈Fπ(G)且χ(1)為π-數(shù)。如果(U，ψ)為χ的一個(gè)Fπ-誘導(dǎo)對(duì)，則(χπ′)U=δ(G，U)ψπ′。

證明令λ=χπ′。已知χ(1)為π-數(shù)，故λ為線性特征標(biāo)，并且|G：U|及ψ(1)均為π-數(shù)。注意到

為π-特殊的特征標(biāo)，根據(jù)引理 1，則乘積ξ=δ(G，U)ψλ-1U也是π-特殊的特征標(biāo)。因?yàn)棣?ψπψπ′為Fπ-特征標(biāo)，條件 2?π表明符號(hào)特征標(biāo)δ(G，U)顯然是π′-特殊的，故δ(G，U)ψπ′λ-1U仍為π′-特殊的。由此表明ξ也是 Fπ-特征標(biāo)，并且ξ∈ Xπ(U)，迫使ξπ′=1U，即δ(G，U)ψπ′λ-1U=1U，等價(jià)于λU=δ(G，U)ψπ′。

下面考慮Fπ-誘導(dǎo)對(duì)何時(shí)提供一個(gè)Fπ-特征標(biāo)。

引理 7設(shè)G是π-可分群且 2?π，χ∈Irr(G)。再設(shè)ψ∈Fπ(U)使得 (δ(G，U)ψ)G=χ。如果 |G：U|為π-數(shù)，并且ψπ′可擴(kuò)張到G上，則χ∈ Fπ(G)。

證明根據(jù)引理4，從條件ψπ′可擴(kuò)張到G上，可知其存在一個(gè)π′-特殊的擴(kuò)張γ，即γU=ψπ′。我們有

由此表明α=(δ(G，U)ψπ)G不可約，并且從引理 1（2）可知α∈Xπ(G)，故χ=αγ恰為一個(gè)Fπ-特征標(biāo)。

我們需要考慮Fπ-特征標(biāo)的Clifford對(duì)應(yīng)何時(shí)也是一個(gè) Fπ-特征標(biāo)。

引理8設(shè)G是π-可分群且2?π，χ∈Fπ(G)且χ(1)是π-數(shù)。任取N?G，并且θ∈Irr(N)在χ的下方 ，令ψ∈Irr(Gθ|θ)是χ的 Clifford 對(duì) 應(yīng) ，則ψ∈Fπ(Gθ)且ψ(1)也是π-數(shù)。

證明因?yàn)棣譃镕π-特征標(biāo)，故其正規(guī)分量θ也是 Fπ-特征標(biāo)。已知χ(1)是π-數(shù)，亦即λ=χπ′為線性特征標(biāo)。熟知 (N，θπ)≤(G，χπ)且 (N，θπ′)≤(G，λ)，從而θπ′=λN為G-不變的 ，迫使Gθ=Gθπ∩Gθπ′=Gθπ。設(shè)ξ∈Irr(Gθ)為χπ關(guān)于θπ的 Clifford 對(duì)應(yīng)，則ξG=χπ。因?yàn)?2?π，從引理 1（2）可知δ(G，Gθ)ξ為π-特殊的特征標(biāo)。顯然π′-特殊的線性特征標(biāo)λ在任何子群（例如Gθ）上的限制仍為π′-特殊的特征標(biāo)，并且

注意到λ也在θπ′上方，故ξλGθ也在θ上方，根據(jù)Clifford對(duì)應(yīng)的唯一性，我們有

但上述已證δ(G，Gθ)ξ為 Xπ-特征標(biāo)，由于π-標(biāo)準(zhǔn)符合特征標(biāo)δ(G，Gθ)自動(dòng)是π′-特殊的，故δ(G，Gθ)λGθ也是π′-特殊的，表明ψ即為一個(gè)Fπ-特征標(biāo)。最后，從χ(1)=|G：Gθ|ψ(1)可知ψ(1)也是π-數(shù)。

以下是Fπ-誘導(dǎo)對(duì)的一個(gè)替換技術(shù)，即把Fπ-誘導(dǎo)對(duì)放置在某些正規(guī)子群的上方。

引理9設(shè)G是π-可分群且2?π，χ∈Lπ(G)且χ(1)是奇數(shù)。如果N?G使得χN的不可約分量均為 Fπ-特征標(biāo)，任取χ的一個(gè) Fπ-誘導(dǎo)對(duì)(U，ψ)，均有|NU：U|為π-數(shù)。

證明設(shè) (N，θ)≤(G，χ)，按假設(shè)θ∈Fπ(N)。因?yàn)镹?G，故存在χ的正規(guī)原核(W，γ)使得

熟知χ的正規(guī)原核(W，γ)均為其一個(gè)Fπ-誘導(dǎo)對(duì)，根據(jù)引理 5，則γ(1)和ψ(1)均為π-數(shù)。此時(shí)從θ(1)整除γ(1)可知θ(1)也是π-數(shù)。特別地，θ0∈Iπ(N)具有π-次數(shù)，并且從ψG=χ可知(ψ0)G=χ0∈Iπ(G)，表明(U，ψ0)是χ0的一個(gè)π-次數(shù)誘導(dǎo)對(duì)。再使用[13]中引理5.21，即得 |NU：U|也是一個(gè)π-數(shù)。

我們還需要下述技術(shù)性引理，給出了Fπ-特征標(biāo)的判別方法。

引理10設(shè)G是π-可分群且2?π，χ∈Lπ(G)且χ(1)是奇數(shù)。再設(shè)G=NH，其中N?G且H≤G，使得χN的任意不可約分量θ均為Fπ-特征標(biāo)，并且χ=ψG，對(duì)某個(gè)ψ∈Fπ(H)，則χ∈Fπ(G)，進(jìn)而(χπ′)H=δ(G，H)ψπ′。

證明如果χ∈Fπ(G)，則從引理5可知χ(1)為π-數(shù)，再?gòu)囊?6 得到 (χπ′)H=δ(G，H)ψπ′。由此表明我們只需證明第一個(gè)結(jié)論即χ∈Fπ(G)，為此，我們依次對(duì)|G：H|和|N|做歸納法。

如果N=1，則G=H，此時(shí)χ=ψ為 Fπ-特征標(biāo)，結(jié)論成立，故可設(shè)N＞1。任取N/K是G的一個(gè)主因子，令D=N∩H，我們區(qū)分幾種情形。

（1）假設(shè)KD=N。此時(shí)G=NH=KDH=KH且 |K|＜ |N|，因?yàn)棣諯的不可約分量均為 Fπ-特征標(biāo)，故從歸納假設(shè)可知χ也是Fπ-特征標(biāo)，所證結(jié)論成立。

（2）假設(shè)KD＜N。令X=KD，則K≤X＜N。根據(jù)引理 9，則 |G：H|為π-數(shù)，故 |N：D|也是π-數(shù)，從而 |N：X|＞ 1為π-數(shù)，導(dǎo)致N/K為π-群。但已知2?π，所以N/K為奇數(shù)階群，從而可解，故主因子N/K只能是交換群，迫使X?N。顯然H可正規(guī)化X，而G=NH，我們有X?G，只有X=K。此時(shí)D≤K＜N。

（3）假設(shè)D＜K＜N。注意到χK的所有分量均和θK的不可約分量共軛，故均為Fπ-特征標(biāo)，并且從χ∈ Lπ(G)為π-提升的，可知ψKH也是π-提升的，即ψKH∈Lπ(KH)。因?yàn)閨KH：H|＜ |G：H|，從歸納假設(shè)可知ψKH為 Fπ-特征標(biāo)。進(jìn)而，再?gòu)?|G：KH|＜ |G：H|，仍從歸納假設(shè)推出χ為Fπ-特征標(biāo)，結(jié)論成立。如圖1所示。

圖1 Fπ-特征標(biāo)Fig.1 Fπ-Character

（4）假設(shè)K=D。由Mackey公式，存在某個(gè)η∈Irr(K)同時(shí)在θ和ψ的下方，此時(shí)η顯然是Fπ-特征標(biāo)。根據(jù)引理5可知ψ(1)為π-數(shù)，但上述已證|G：H|為π-數(shù)，故χ(1)=|G：H|ψ(1)也是π-數(shù)，導(dǎo)致θ(1)和η(1)也都是π-數(shù)。由此表明θπ′和ηπ′均為線性特征標(biāo)，并且θπ′顯然是ηπ′到N上的典范擴(kuò)張。進(jìn)而，不難看出ψπ′也是線性特征標(biāo)，從而也是ηπ′的一個(gè)擴(kuò)張。特別地，從G=NH可知ηπ′必然是G-不變的，迫使θπ′也是G-不變的。 根據(jù)特征標(biāo)限制的對(duì)應(yīng)定理（見(jiàn)[13]中引理2.11），則特征標(biāo)限制給出了從 Irr(G|θπ′)到 Irr(H|ηπ′)的一個(gè)雙射，據(jù)此可知ψπ′∈ Irr(H|ηπ′)可擴(kuò)張到G上。

根據(jù)[13]中引理2.35，在此情形下，我們有δ(G，H)=det(((1H)G)H)。令λ=det((1H)G)，則λH=δ(G，H)，即符號(hào)特征標(biāo)δ(G，H)在此約化環(huán)境中可擴(kuò)張為G的線性特征標(biāo)λ。此時(shí)

使用引理7，則λχ為G的一個(gè)Fπ-特征標(biāo)，從而χ也是Fπ-特征標(biāo)。至此完成證明。

有了上述準(zhǔn)備，現(xiàn)在可證本文定理A。方便起見(jiàn)，我們重述如下。

定理1設(shè)G是π-可分群且2?π，χ∈Lπ(G)且χ(1)是奇數(shù)，則χ的所有Cossey頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)線性共軛類(lèi)。

證明我們對(duì)|G|作歸納，分兩種情形討論。

（1）χ是G的一個(gè)Fπ-特征標(biāo)。

因?yàn)棣帧蔐π(G)，根據(jù)引理5，則χ(1)是π-數(shù)。設(shè)(U，ψ)為χ的任意一個(gè)Fπ-誘導(dǎo)對(duì)，則|G：U|也是π-數(shù)，故U的Hallπ′-子群Q自動(dòng)為G的Hallπ′-子群。再根據(jù)引理6，可知(χπ′)U=δ(G，U)ψπ′，所以(χπ′)Q=λ(ψπ′)Q，其中λ=(δ(G，U))Q，表明χ的兩個(gè) Cossey頂點(diǎn)(Q，(χπ′)Q)和 (Q，(ψπ′)Q)是線性共軛的，故所證結(jié)論成立。

（2）χ不是G的Fπ-特征標(biāo)。

仍設(shè)(U，ψ)為χ的任意一個(gè)Fπ-誘導(dǎo)對(duì)，并且Q為U的一個(gè) Hallπ′-子群，按定義(Q，(ψπ′)Q)即為χ的一個(gè)Cossey頂點(diǎn)。根據(jù)[12]中推論2.3和推論2.4，存在一個(gè)特征標(biāo)對(duì)(N，θ)≤(G，χ)，使 得N?G且θ∈Fπ(N)，并且Gθ＜G。設(shè)η∈Irr(Gθ|θ)為χ的Clifford對(duì)應(yīng)，從ηG=χ可知(η0)G=χ0∈Iπ(G)，迫使η0∈Iπ(Gθ)，即η∈ Lπ(Gθ)。顯然η(1)整除χ(1)，故為奇數(shù)。因?yàn)?|Gθ|＜ |G|，故歸納假設(shè)推出η的所有Cossey頂點(diǎn)彼此是線性共軛的。以下我們將證明χ的上述 Cossey 頂點(diǎn) (Q，(ψπ′)Q)和η的一個(gè)Cossey頂點(diǎn)也是線性共軛的，據(jù)此完成所證。

事實(shí)上，根據(jù)引理 9，則 |NU：U|是π-數(shù)。再由引理 5，可知ψ(1)也是π-數(shù)。令ξ=ψNU，則ξ(1)=|NU：U|ψ(1)也是π-數(shù)。又因?yàn)棣蜧=(ψNU)G=ψG=χ∈ Lπ(G)，不難看出ξ0∈Iπ(NU)，即ξ∈ Lπ(NU)。使用引理 10，則ξ∈ Fπ(NU)并且(ξπ′)U=δ(NU，U)ψπ′，再限制到Q上得到 (ξπ′)Q=(δ(NU，U))Q(ψπ′)Q。因?yàn)镼也是NU的一個(gè)Hallπ′-子群，故上式表明ξ的Cossey頂點(diǎn)(Q，(ξπ′)Q)和χ的Cossey頂點(diǎn)(Q，(ψπ′)Q)是線性共軛的。我們只需證ξ的Cossey頂點(diǎn)(Q，(ξπ′)Q)和η的一個(gè)Cossey頂點(diǎn)也是線性共軛的，為了簡(jiǎn)化符號(hào)，可進(jìn)一步假設(shè)NU=U，此時(shí)ξ=ψ且N≤U。如有必要，再把θ替換為其某個(gè)共軛，使得θ在ψ的下方，在此情形下，我們有(N，θ)≤(U，ψ)≤(G，χ)。

設(shè)Uθ=Gθ∩U為θ在U中的慣性群，并且γ∈Irr(Uθ|θ)為ψ關(guān)于θ的Clifford對(duì)應(yīng)，則γU=ψ。特別地，從ψ(1)為π-數(shù)，可知 |U：Uθ|也是π-數(shù)。注意到Q是U的Hallπ-子群，做適當(dāng)?shù)墓曹椞鎿Q，可進(jìn)一步要求Q≤Uθ。根據(jù)引理8，從ψ∈Fπ(U)具有π-次數(shù)可知γ∈Fπ(Uθ)也有π-次數(shù)，并且γG=(γUθ)G=ψG=χ，表明(Uθ，γ)也是χ的一個(gè) Fπ-誘導(dǎo)對(duì)。再由引理 6，則(ψπ′)Uθ=δ(U，Uθ)γπ′。進(jìn)而，我們有(ψπ′)Q=δ(U，Uθ)Q(γπ′)Q，據(jù)此可知χ的兩個(gè) Cossey 頂點(diǎn)(Q，(ψπ′)Q)和(Q，(γπ′)Q)是線性共軛的。剩下的只需證明 (Q，(γπ′)Q)和η的一個(gè) Cossey 頂點(diǎn)也是線性共軛的，簡(jiǎn)單計(jì)，我們可用(U，ψ)代替(Uθ，γ)，即進(jìn)一步假設(shè)θ是U-不變的，迫使U≤Gθ。注意到ψG=χ不可約，故ψGθ也不可約，不僅在θ的上方，而且在χ的下方，根據(jù)Clifford對(duì)應(yīng)的唯一性，迫使，表明 (U，ψ)也是η的一個(gè) Fπ-誘導(dǎo)對(duì)，故(Q，(ψπ′)Q)按定義也是η的一個(gè) Cossey頂點(diǎn)，至此完成證明。

按引言中定理A后面的說(shuō)明，符號(hào)特征標(biāo)在奇數(shù)階元素的取值均為1，故在π-元素集合G0上的限制均平凡（因?yàn)??π，從而G0中的元素均為奇數(shù)階），所以在Iπ-特征標(biāo)情形，特征標(biāo)對(duì)線性共軛即等同于通常的共軛關(guān)系，故從定理A可直接導(dǎo)出推論B。