你聽說過角谷猜想嗎

王暉

20世紀60年代，日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫發(fā)現(xiàn)了一個非常有趣的現(xiàn)象：對于任何一個大于1的自然數(shù)，如果它是偶數(shù)，用它除以2;如果它是奇數(shù)，把它乘以3后再加1;這樣經(jīng)過有限次變換運算，最后得到的結(jié)果必然是1。

我們可以將上述運算情況表示為：

設(shè)n為大于1的自然數(shù)，令n₁=

那么，從n到1的變換過程就是角谷猜想的內(nèi)容。

下面，你請看幾個實例。

以n為奇數(shù)3為例，我按角谷猜想進行變換運算：3→10→5→16→8→4→2→1。

以n為奇數(shù)23為例，我按角谷猜想進行變換運算：23→70→35→106→53→160→80→40→20→10→5→16→8→4→2→1。

以n為偶數(shù)18為例，我按角谷猜想進行變換運算：18→9→28→14→7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。

以n為偶數(shù)100為例，我按角谷猜想進行變換運算：100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。

假如n為奇數(shù)27，我按角谷猜想進行變換運算，也能得到1，但繞的圈子大得驚人，需要經(jīng)過111步。

假如n為2的正整數(shù)方冪，則它不論多么大，都會“一落千丈”，很快變?yōu)?。以65536為例，65536=2¹⁶，我按角谷猜想進行變換運算：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1。變換步數(shù)為16，比n為18時按角谷猜想進行變換運算的變換步數(shù)還少。

角谷猜想一經(jīng)發(fā)表，就引起數(shù)學(xué)愛好者的極大興趣和數(shù)學(xué)家的高度關(guān)注。數(shù)學(xué)愛好者把它作為一種有趣的、可開發(fā)智力的游戲，數(shù)學(xué)家關(guān)注的則是怎樣從理論上證明這個看似簡單卻趣味橫生的數(shù)學(xué)問題。隨著計算機的迅速發(fā)展和普及，人們用計算機已經(jīng)嘗試過從1到7×10¹¹的所有自然數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：將它們按角谷猜想進行變換運算，得到的最終結(jié)果都是1。

對于角谷猜想，你肯定一聽就懂、一看就會、一寫就對。但是，你千萬不可低估了它的難度。一位數(shù)學(xué)家曾說：數(shù)學(xué)還沒有成熟到可以證明角谷猜想的程度。目前，沒有人能夠真正弄清其中的奧秘，寫出令人信服的完整證明過程。

下面，我們一起用角谷猜想的思想方法解決一個有趣的實際問題，你不難從中體會到數(shù)學(xué)變換的無窮樂趣。

一位公主宣稱她要嫁的人必須解決下面這個問題：一籃李子若干個，取其中一半又一個給第一個人，再取剩余的一半又一個給第二個人，又取最后所余的一半又三個給第三個人。這時，籃中的李子被分完了。請問，籃中原有李子多少個？

按常規(guī)思路，你可以用列方程的方法求解，但過程比較繁瑣，還極易出錯。這時，你不妨換一種思路，利用角谷猜想的思想方法解題。這樣的解題過程不僅非常簡單，而且十分巧妙。

按上述思路，

，你可以算出籃中原有李子30個。

除此之外，你還可以算出第一個人、第二個人、第三個人所得的李子數(shù)量分別是16個、8個、6個。