基于能量損失率最小原理求解穩(wěn)定滲流場滲透系數(shù)

趙 磊，劉俊偉，劉冠杰

(煙臺大學(xué) 土木工程學(xué)院， 山東 煙臺 264005)

我國基坑工程和地下工程的建設(shè)規(guī)模和難度不斷增大，其相關(guān)技術(shù)取得了長足的進(jìn)步[1]，大基坑、深基坑層出不窮，但也發(fā)生了一些深基坑的工程事故。唐業(yè)清[3]對103項(xiàng)深基坑工程事故進(jìn)行調(diào)查并分析了其原因，其中因?yàn)榈叵滤幚?包含止水、降水、排水等)不當(dāng)導(dǎo)致工程事故的案例有22項(xiàng)，占被調(diào)查總數(shù)的21.4%；楊子勝等[4]對大量深基坑工程事故資料進(jìn)行了整理分析，總結(jié)出常見的導(dǎo)致基坑工程事故的因素，其中防水、降排水措施不當(dāng)是事故發(fā)生的重要原因之一；周紅波等[5]搜集了52例基坑事故資料，從工程風(fēng)險(xiǎn)的角度對這些案例進(jìn)行分析歸納，總結(jié)出滲流破壞是該52起事故發(fā)生的主要因素，占比為62%。由此得出地下水控制是保障基坑工程安全的重要措施。

在基坑工程的建設(shè)中，地下水控制是十分重要的環(huán)節(jié)。目前，工程中基坑降水是普遍使用且經(jīng)濟(jì)有效的地下水控制措施，目的是為后續(xù)基坑工程的建設(shè)提供干燥且安全的施工環(huán)境。其中，對于降水區(qū)域滲流參數(shù)的求解是一個(gè)關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。

常安定等[6]通過分析割離井法的井流函數(shù)性質(zhì)，簡化井流函數(shù)，將直線圖解法引入割離井法中反求水文地質(zhì)參數(shù)，但該方法未考慮水躍值對滲流場參數(shù)的影響；劉天霸等[7]將最頻值算法與Jacob直線圖解法耦合得出一種新的直線圖解法，并將其運(yùn)用到了用抽水試驗(yàn)獲取含水層水文地質(zhì)參數(shù)的思路上，但該方法僅在試驗(yàn)區(qū)進(jìn)行驗(yàn)證，并沒有實(shí)際工程案例的數(shù)據(jù)作為對比。

在實(shí)際工程中，滲透系數(shù)[8]的確定往往需要進(jìn)行現(xiàn)場抽水試驗(yàn)，增加了時(shí)間成本以及工程造價(jià)。本文提出了一種計(jì)算穩(wěn)定滲流場滲透系數(shù)的有限單元方法。該方法無需進(jìn)行現(xiàn)場抽水試驗(yàn)，并考慮了水躍現(xiàn)象[9-11]的影響，基于能量損失率最小原理[12-14]計(jì)算潛水含水層的滲透系數(shù)。采用該方法計(jì)算了兩個(gè)工程案例，求得了兩個(gè)基坑滲流區(qū)域的滲透系數(shù)，并與實(shí)測值進(jìn)行對比，結(jié)果表明本文方法具有較高精度，對其滲流場的分析與降水工程的設(shè)計(jì)有指導(dǎo)意義。

1 基本理論

由變分原理可知，滲流場基本微分方程的定解問題等價(jià)于求解滲流能量泛函的極值問題，構(gòu)造如下泛函：

(1)

[K]{h}={f}

(2)

式中：[K]為總滲透矩陣；{h}為待求節(jié)點(diǎn)的水頭向量；{f}為自由項(xiàng)。

2 穩(wěn)定滲流場的滲透系數(shù)的計(jì)算方法

2.1 建立穩(wěn)定滲流場模型

穩(wěn)定滲流場由上游水頭、下游水頭、降水影響半徑、下游逸出段以及降落曲線組成，據(jù)此建立圖1所示的均質(zhì)潛水完整井二維穩(wěn)定滲流場剖面示意圖。

圖1 均質(zhì)潛水完整井的二維穩(wěn)定滲流場剖面示意圖

圖中A點(diǎn)為降水前地下水位點(diǎn)，AO段為滲流場影響半徑R，E點(diǎn)為地下水實(shí)際逸出點(diǎn)，DE段為實(shí)際逸出點(diǎn)與降水井水位之間的出滲段，可將其看作下游逸出段[15-17]，D點(diǎn)為降水井水位點(diǎn)，AB段為潛水含水層厚度。

降水影響半徑R可根據(jù)《建筑基坑支護(hù)技術(shù)規(guī)程》中給定的經(jīng)驗(yàn)公式確定。在經(jīng)驗(yàn)公式中，R與降水井降深sw、滲透系數(shù)k以及潛水含水層厚度H有關(guān)。在實(shí)際工程中，sw和H已知，R的大小直接取決于k的取值。

下游逸出段位于降水實(shí)際逸出點(diǎn)與井中水位之間，是一種當(dāng)降水井水位降深較大時(shí)，出現(xiàn)的降水井水位低于井壁水位的現(xiàn)象，逸出段大小可由水躍值表示，水躍值可由阿布拉莫夫經(jīng)驗(yàn)公式[18]確定：

(3)

式中：q為單井排水量,m3/d；F為過濾器工作部分表面積,m2；α為與過濾器構(gòu)造、阻力有關(guān)的系數(shù)。

水躍值確定后，實(shí)際逸出點(diǎn)E點(diǎn)高度可由下式確定：

sd=b+Δh

(4)

根據(jù)圖1所示的均質(zhì)潛水完整井二維穩(wěn)定滲流場剖面示意圖建立圖2所示的有限元計(jì)算模型。A1B1段賦予上游邊界水頭；C1D1段賦予下游邊界水頭；B1C1、A1G1、G1E1賦予不透水邊界條件；D1E賦予逸出邊界條件。

當(dāng)已知穩(wěn)定滲流場的上下游水頭以及實(shí)際逸出點(diǎn)位置時(shí)，可基于能量損失率最小原理求解滲流場滲透系數(shù)。以下游水頭位置水平往右一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立圖3所示的計(jì)算模型，圖3(a)橫軸代表不同逸出點(diǎn)計(jì)算出的能量損失率數(shù)值，圖3(b)橫軸代表滲透系數(shù)數(shù)值，兩圖縱軸均代表不同逸出點(diǎn)位置。

圖2 均質(zhì)潛水完整井的二維穩(wěn)定滲流場有限元計(jì)算模型

圖3 滲透系數(shù)計(jì)算模型

2.2 計(jì)算步驟

根據(jù)能量損失率最小原理，編制Fortran程序，求解穩(wěn)定滲流場中滲透系數(shù)，程序框圖如圖4所示，具體計(jì)算步驟如下：

(1) 假定一滲透系數(shù)k1，由經(jīng)驗(yàn)公式可得影響半徑R1，結(jié)合潛水含水層厚度H，確定穩(wěn)定滲流場的橫向尺寸和縱向尺寸。

(2) 由式(3)的阿布拉莫夫經(jīng)驗(yàn)公式確定水躍值，式(4)確定滲流實(shí)際逸出點(diǎn)E。

(3) 將穩(wěn)定滲流場進(jìn)行有限單元?jiǎng)澐?，以三角形六?jié)點(diǎn)為例，對單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號。讀入單元節(jié)點(diǎn)信息、土層信息參數(shù)以及邊界條件。

(4) 讀入土層信息參數(shù)，基于能量損失率最小原理確定逸出點(diǎn)的位置E1。

(5) 若E1≠E′，則調(diào)整步驟(1)的滲透系數(shù)及影響半徑，重復(fù)步驟(2)—步驟(4)，直至在滲透系數(shù)kn下求解出的逸出點(diǎn)位置En≠E′，此時(shí)的kn即為該穩(wěn)定滲流場真實(shí)的滲透系數(shù)。

圖4 有限元計(jì)算程序流程

3 工程實(shí)例

3.1 某市正海廣場工程場區(qū)滲流參數(shù)計(jì)算

擬建某市正海廣場工程場區(qū)位于該市開發(fā)區(qū)衡山路與珠江路交叉口處，基坑周長約462.0 m，開挖區(qū)域約14 135.0 m2，深度9.1 m～9.6 m。根據(jù)勘察，擬建場區(qū)地下水類型為孔隙潛水，含水層主要為粉細(xì)砂層、粉土層，厚度為12.0 m。靜止地下水位在地面以下1.98 m處，實(shí)際降水井水位降深為8.65 m，由式(3)計(jì)算得水躍值Δh=2.52 m，實(shí)際逸出點(diǎn)位置為5.87 m，建立圖5所示計(jì)算模型。

圖5 案例1滲流場剖面及計(jì)算模型

采用本文2.2節(jié)介紹方法計(jì)算該滲流場滲流參數(shù)。將該滲流場剖分為圖6所示的800個(gè)三角形六節(jié)點(diǎn)單元。

圖6 計(jì)算模型網(wǎng)格劃分

依據(jù)圖4的計(jì)算流程，基于能量損失率最小原理先計(jì)算該穩(wěn)定滲流場的滲透系數(shù)。本文方法計(jì)算的滲透系數(shù)與實(shí)測滲透系數(shù)對比情況如表1所示，本文方法計(jì)算的滲透系數(shù)k為10.8 m/d，與現(xiàn)場實(shí)測值相比絕對誤差為0.47 m/d，相對誤差為-4.17%，具有較高的精度。

表1 案例1滲透系數(shù)精度對比

3.2 西安地鐵北客站工程場區(qū)滲流參數(shù)計(jì)算

西安地鐵北客站位于西安市北部郊區(qū)，地處渭河平原，地勢平坦。該場地主要含水層為第四系沖積砂孔隙潛水含水層，主要土層是中粗砂層，厚度為23 m。

該工程基坑面積約為36 600 m2，深度為19.2 m，為保證施工安全，場地地下水水位應(yīng)降至基坑底下部1.0 m處。靜止地下水位在地面以下12.0 m處，實(shí)際降水井水位降深為8.2 m，由式(3)計(jì)算得水躍值Δh=2.21 m，實(shí)際逸出點(diǎn)位置為17.01 m，由已知條件建立穩(wěn)定滲流場滲流參數(shù)計(jì)算[19]模型，如圖7所示。

圖7 案例2滲流場剖面及計(jì)算模型

采用本文2.2節(jié)介紹方法計(jì)算該滲流場滲流參數(shù)。將該滲流場剖分為圖8所示的800個(gè)三角形六節(jié)點(diǎn)單元。

圖8 計(jì)算模型網(wǎng)格劃分

依據(jù)圖4的計(jì)算流程，基于能量損失率最小原理先計(jì)算該穩(wěn)定滲流場的滲透系數(shù)。本文方法計(jì)算的滲透系數(shù)與實(shí)測滲透系數(shù)對比情況如表2所示，本文方法計(jì)算的滲透系數(shù)k為24.1 m/d，與現(xiàn)場實(shí)測值相比絕對誤差為0.8 m/d，相對誤差為-3.5%，具有較高的精度。

表2 案例2滲透系數(shù)精度對比

4 結(jié) 論

(1) 為了能更精準(zhǔn)的確定基坑降水工程中滲流區(qū)域的滲透系數(shù)，節(jié)約時(shí)間成本和工程造價(jià)，本文提出了一種計(jì)算穩(wěn)定滲流場滲透系數(shù)的有限單元方法。該方法無需進(jìn)行現(xiàn)場抽水試驗(yàn)，并考慮了水躍現(xiàn)象的影響，基于能量損失率最小原理計(jì)算潛水含水層的滲透系數(shù)。

(2) 研究了穩(wěn)定滲流場滲透系數(shù)有限元數(shù)值計(jì)算方法的步驟，利用Fortran編制了一套二維有限元數(shù)值計(jì)算程序。

(3) 采用該方法計(jì)算了兩個(gè)工程案例，求得了兩個(gè)案例滲流區(qū)域的滲透系數(shù)，并與實(shí)測值進(jìn)行對比，結(jié)果表明本文方法具有較高精度，對滲流場的分析與降水工程的設(shè)計(jì)有指導(dǎo)意義。