卷鐵心變壓器三維渦流場(chǎng)建模與計(jì)算

周利軍， 劉桓成， 江俊飛， 高仕斌， 李 威， 王東陽

(西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031)

目前我國高速鐵路進(jìn)入發(fā)展高峰期，作為牽引供電系統(tǒng)中的核心設(shè)備之一的牽引變壓器，其運(yùn)行狀態(tài)及性能與整個(gè)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)性、可靠性息息相關(guān)[1-2]。牽引供電系統(tǒng)長期存在平均負(fù)載率低、空載時(shí)間長的問題，近年來，隨著國家“節(jié)能減排”政策的提出，降低整個(gè)系統(tǒng)的能源消耗的需求日益迫切，而降低變壓器的空載損耗是重要的途徑之一。卷鐵心由于其特有的卷繞特性以及經(jīng)退火工藝消除了硅鋼帶的機(jī)械應(yīng)力等原因，相比疊鐵心有著損耗更低、噪音更小等優(yōu)點(diǎn)，隨著2013年第一臺(tái)卷鐵心牽引變壓器的研制成功，大型卷鐵心變壓器開始逐步在鐵路系統(tǒng)中被推廣應(yīng)用。

1 建模方法

1.1 卷鐵心等效電導(dǎo)率修正

變壓器鐵心在制造過程中是由數(shù)以千記的硅鋼片組成，具體工藝分為堆疊和卷繞，在主磁通作用下，鐵心中感應(yīng)出渦流，硅鋼片表面的絕緣層使渦流獨(dú)立地存在于每片硅鋼片中[12-13]，見圖1。此時(shí)，可近似認(rèn)為硅鋼片的電阻因渦流引起的歐姆損耗就是鐵心的渦流損耗。

渦流損耗的計(jì)算需根據(jù)鐵心的實(shí)際結(jié)構(gòu)并結(jié)合工藝對(duì)變壓器合理化建模。進(jìn)行有限元仿真時(shí)，如果對(duì)鐵心的所有硅鋼片進(jìn)行建模并剖分細(xì)致的網(wǎng)格，計(jì)算規(guī)模十分巨大，對(duì)計(jì)算機(jī)有很高的要求，而且受限于軟件的計(jì)算能力最終即使得到仿真結(jié)果，其計(jì)算誤差也很可能達(dá)不到要求的精度，這在工程設(shè)計(jì)中是不現(xiàn)實(shí)的，因此能夠合理地計(jì)算出鐵心的等效電導(dǎo)率，采用等效模型求解，是解決這一問題的有效手段，且能夠達(dá)到一定的精度。

圖1 主磁通感應(yīng)下硅鋼片內(nèi)部的渦流分布示意圖

文獻(xiàn)[9]提出了一種各項(xiàng)異性的等效電導(dǎo)率，采用該電導(dǎo)率建立了TEAM21-M基準(zhǔn)模型的有限元模型并計(jì)算了其渦流損耗，通過與實(shí)測(cè)值對(duì)比驗(yàn)證了等效模型的準(zhǔn)確性，各向異性的電導(dǎo)率表達(dá)式為

(1)

式中：d為硅鋼片的厚度；a為硅鋼片的寬度；σ為硅鋼材料的本體電導(dǎo)率；F為鐵心的疊裝系數(shù)。

應(yīng)用公式(1)計(jì)算渦流損耗時(shí)，需滿足每片硅鋼片的寬度相同，其工藝，但是變壓器鐵心由于需要保證界面近圓形，各級(jí)疊片之間寬度均不相同，尤其卷鐵心是由一定數(shù)量漸變寬度的硅鋼帶卷制而成，從鐵心柱的截面上看硅鋼片的寬度都是連續(xù)漸變的，因此公式(1)不再適用于卷鐵心的渦流損耗計(jì)算，需進(jìn)行修正。

針對(duì)類圓形鐵心柱截面的卷鐵心變壓器，本文采用面積法，在總疊厚D(鐵心總厚度)已知的情況下，計(jì)算出等效寬度aeq，則aeq=S/D，見圖2。

圖2 等效片寬的計(jì)算

根據(jù)計(jì)算，卷鐵心沿鐵心疊壓方向(垂直于卷繞方向)的電導(dǎo)率應(yīng)為(d/aeq)2σ/F。此時(shí)各項(xiàng)異性的等效電導(dǎo)率表達(dá)式為

(2)

1.2 卷鐵心三維渦流場(chǎng)建模

與傳統(tǒng)疊鐵心不同，卷鐵心是由一定數(shù)量的硅鋼帶使用開料機(jī)按照設(shè)定好的開料程序剪裁完成后再使用卷繞機(jī)進(jìn)行連續(xù)卷繞制成的，其硅鋼帶疊裝的方向與鐵心框的平面平行，在鐵心四個(gè)拐角處，疊裝方向可近似地認(rèn)為是沿徑向。

因此在對(duì)鐵心進(jìn)行渦流場(chǎng)建模的過程中，需對(duì)材料的各向異性特性合理設(shè)定屬性與方向，才能對(duì)鐵心內(nèi)的實(shí)際渦流進(jìn)行合理模擬，得到較為精確的渦流損耗計(jì)算結(jié)果。

使用Infolytica MagNet電磁仿真軟件對(duì)一臺(tái)1 000 VA/220 V的卷鐵心變壓器建模計(jì)算，建立的有限元仿真模型見圖3。進(jìn)行材料屬性設(shè)置時(shí)采取的方法是：將變壓器的卷鐵心部分劃分為八個(gè)區(qū)域(上下鐵軛，左右鐵心柱以及四個(gè)鐵心拐角)；將鐵心柱與鐵軛的電導(dǎo)率方向設(shè)置為垂直于內(nèi)側(cè)平面，然后設(shè)置局部坐標(biāo)系，把四個(gè)拐角的電導(dǎo)率方向設(shè)置為沿半徑方向。

圖3 卷鐵心變壓器三維渦流場(chǎng)模型

卷鐵心變壓器的鐵心材料是新日鐵公司生產(chǎn)的30ZH105取向硅鋼片，具體的材料參數(shù)見表1，通過公式(2)可計(jì)算出該卷鐵心各向異性電導(dǎo)率為

(3)

進(jìn)行有限元仿真時(shí)，為了減少模型的計(jì)算規(guī)模以獲得更加精確的卷鐵心渦流損耗，本文選用卷鐵心變壓器的空載狀態(tài)進(jìn)行仿真，使用所提均勻化模型計(jì)算出的空載狀態(tài)下的鐵心歐姆損耗，可將歐姆損耗的計(jì)算結(jié)果近似等效為實(shí)際鐵心的渦流損耗。

表1 30ZH105硅鋼片參數(shù)

1.3 均勻化模型渦流場(chǎng)分析

渦流損耗的計(jì)算歸屬于渦流場(chǎng)數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域，通常對(duì)產(chǎn)生渦流的區(qū)域采用A，φ-A法進(jìn)行求解，見圖4。

圖4 渦流場(chǎng)問題典型求解域示意圖

引入矢量函數(shù)A和標(biāo)量函數(shù)φ[14]，則其控制方程為

在域V1內(nèi)

(4)

式中：μ1為域V1的磁導(dǎo)率。

在域V2內(nèi)

(5)

式中：μ2為域V2的磁導(dǎo)率；Js為V2區(qū)域內(nèi)的電流密度。

在邊界SB上

(6)

在邊界SH上

(7)

在邊界S12上，由邊界銜接條件可知

(8)

式中：A1、A2分別為V1、V2域中引入的矢量函數(shù)。

引入庫倫規(guī)范與連續(xù)電流定律

(10)

式中：J為全電流密度，包括傳導(dǎo)電流密度和位移電流密度。

2 模型的驗(yàn)證及仿真分析

2.1 渦流損耗的計(jì)算方法

鐵磁材料在磁通的感應(yīng)下產(chǎn)生垂直于磁通方向的渦流，渦流的效應(yīng)下鐵心內(nèi)部產(chǎn)生的歐姆損耗，即鐵心的渦流損耗，是鐵心損耗的重要組成部分，也是在設(shè)計(jì)和材料選型時(shí)應(yīng)當(dāng)予以控制的重要部分，所以準(zhǔn)確計(jì)算渦流損耗十分重要，通過本文第1節(jié)中所提的等效電導(dǎo)率及建模方法可以通過三維有限元建模有效地計(jì)算出鐵心的渦流損耗。

本文采用一種經(jīng)典的渦流損耗算法驗(yàn)證所提建模方法在計(jì)算渦流損耗時(shí)的有效性。這種算法基于對(duì)硅鋼片的一維渦流場(chǎng)建模分析，推導(dǎo)得出，對(duì)任意頻率的渦流損耗計(jì)算都有著較高精度[8]

(11)

式中：Pe為硅鋼片損耗；ω為角頻率；Bm為鐵心平均磁通密度的幅值；ξ為鐵心疊片方向的有效集膚深度。

(12)

式中：μz為硅鋼片沿厚度方向的磁導(dǎo)率。

Bm在交流磁場(chǎng)中可通過以下公式得出

Bm≈Urms/(4.44fNA)

(13)

式中：Urms為施加電壓的有效值；N為勵(lì)磁繞組的匝數(shù)；f為頻率；A為鐵心柱有效截面積。

2.2 卷鐵心的模型驗(yàn)證

變壓器的勵(lì)磁電壓頻率、電壓幅值、變壓器的結(jié)構(gòu)以及鐵心材料屬性決定鐵心渦流損耗的大小，使用所提模型和經(jīng)典算法分別對(duì)R1000卷鐵心變壓器在頻率50～1 000 Hz、勵(lì)磁電壓為220 V工況下的渦流損耗進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表2，表中誤差為卷鐵心模型計(jì)算結(jié)果和經(jīng)典公式計(jì)算結(jié)果的誤差。

表2 50～1 000 Hz頻率下卷鐵心的渦流損耗

由以上計(jì)算結(jié)果可以看出，所提模型與經(jīng)典算法在計(jì)算渦流損耗結(jié)果的平均誤差僅為6.72%，所提模型較經(jīng)典算法計(jì)算結(jié)果呈負(fù)偏離。并且結(jié)果顯示隨著頻率增加渦流損耗近似線性減小，兩種算法趨勢(shì)一致，見圖5。

圖5 50～100 Hz頻率下卷鐵心變壓器渦流損耗

為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型在不同電壓下計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，分別計(jì)算50、100、200、220、250、300 V勵(lì)磁電壓，頻率為50 Hz工況下的渦流損耗，計(jì)算結(jié)果見表3。

表3 50～300 V電壓下卷鐵心的渦流損耗

表3中的計(jì)算結(jié)果顯示，所提模型與經(jīng)典算法在計(jì)算渦流損耗結(jié)果的平均誤差僅為6.01%，所提模型較經(jīng)典算法計(jì)算結(jié)果同樣呈負(fù)偏離。且隨著勵(lì)磁電壓的增加渦流損耗近似拋物線趨勢(shì)增大，兩種算法趨勢(shì)一致，見圖6。

圖6 不同電壓下的卷鐵心變壓器渦流損耗

所提模型較之經(jīng)典算法計(jì)算結(jié)果呈負(fù)偏離的原因是：經(jīng)典算法是在一維渦流場(chǎng)下分析推導(dǎo)出來的，針對(duì)對(duì)象為硅鋼片，因此計(jì)算域只包括除去絕緣層之后的硅鋼片部分，而本文建模方法為三維渦流場(chǎng)建模方法，計(jì)算域是考慮絕緣層在內(nèi)的整塊鐵心，因此當(dāng)針對(duì)于同一體積固定的三維對(duì)象(本文中為R1000卷鐵心)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，經(jīng)典算法的計(jì)算結(jié)果由于多計(jì)算了絕緣層所占空間的渦流損耗，因此所提模型的計(jì)算結(jié)果較之經(jīng)典算法呈負(fù)偏離。

由上述對(duì)比計(jì)算結(jié)果可以得出，所提模型可以有效地計(jì)算卷鐵心的渦流損耗。

2.3 卷鐵心渦流場(chǎng)仿真及分析

上面建模方法對(duì)卷鐵心進(jìn)行三維渦流場(chǎng)仿真計(jì)算，得到鐵心渦流密度及渦流損耗的分布規(guī)律。仿真對(duì)象仍舊采用R1000卷鐵心變壓器，仿真工況為額定電壓1 kV下的空載運(yùn)行工況。

圖7為鐵心中磁通的分布情況，分布規(guī)律為：鐵心內(nèi)側(cè)磁通較外側(cè)大，且鐵心內(nèi)側(cè)拐角位置的磁通最大。這是由于鐵心內(nèi)側(cè)磁路較短，磁阻相對(duì)較小，磁通密度相對(duì)較大，而鐵心外側(cè)的磁路較長，磁阻相對(duì)較大，所以磁通密度相對(duì)較?。欢趦?nèi)側(cè)拐角位置由于硅鋼片導(dǎo)磁方向不連續(xù)的原因?qū)е麓磐ɑ?，因此該位置最大。仿真結(jié)果顯示鐵心柱上的平均磁通為1.15 T。拐角位置的磁通密度達(dá)到1.5 T以上。

圖7 卷鐵心主磁通分布

圖8為卷鐵心渦流密度的分布情況，分布規(guī)律為：卷鐵心的最外側(cè)與最內(nèi)側(cè)渦流密度均較中間位置大，且在內(nèi)側(cè)拐角位置，渦流密度最大。這是由于卷鐵心的卷繞特性決定了卷鐵心中硅鋼片的疊裝方向不同于傳統(tǒng)疊鐵心，而疊裝方向決定了渦流的分布情況，通常沿疊裝方向的鐵心邊緣位置的渦流密度大于中間區(qū)域，因此卷鐵心的最外側(cè)和最內(nèi)側(cè)渦流密度較大，達(dá)到5×103以上；而疊鐵心的渦流密度是沿疊裝方向在鐵心的最前側(cè)和最后側(cè)(平行于鐵心窗平面的上平面及下平面)會(huì)較大，這也是卷鐵心與疊鐵心渦流分布上的不同之處。同時(shí)由于磁通畸變的影響，在拐角處，渦流密度也有相應(yīng)畸變，達(dá)到104級(jí)別。

圖8 卷鐵心渦流密度分布

圖9為卷鐵心渦流損耗密度的分布圖，其分布與渦流密度有大致相同的規(guī)律：在卷鐵心的外側(cè)與內(nèi)側(cè)，渦流損耗密度相對(duì)較大。和渦流密度分布相比，分布更加分明，這是因?yàn)闇u流損耗密度除了和渦流密度有關(guān)，還和該位置的等效電導(dǎo)率關(guān)系很大，因此渦流損耗密度呈現(xiàn)出更加分明的內(nèi)側(cè)外側(cè)密度大，中部密度小的規(guī)律，內(nèi)側(cè)平均密度達(dá)到1.5×104以上，外側(cè)平均密度在6×103以上，而中部的損耗密度較小，平均在1×103以下。

圖9 卷鐵心渦流損耗密度分布

基于所提建模方法可以完成對(duì)卷鐵心的三維渦流場(chǎng)建模分析，能夠靈活直觀地得出渦流損耗的分布規(guī)律，為卷鐵心結(jié)構(gòu)優(yōu)化、線圈考慮鐵心渦流效應(yīng)的等效建模等提供了基礎(chǔ)。

3 典型工程案例分析

目前牽引網(wǎng)中的全并聯(lián)AT供電系統(tǒng)廣泛應(yīng)用自耦變壓器，其數(shù)量甚至超過了牽引變壓器。為了相應(yīng)國家節(jié)能減排的號(hào)召，自耦變壓器為降低損耗逐步采用卷鐵心作為磁路。因此針對(duì)一臺(tái)鐵路專用的卷鐵心式自耦變壓器進(jìn)行三維渦流場(chǎng)仿真計(jì)算，型號(hào)為OD-R-32000/55。表4中為該自耦變的基本參數(shù)。

表4 OD-R-32000/55自耦變壓器的基本參數(shù)

該自耦變的鐵心材料是日本新日鐵公司生產(chǎn)的取向電工硅鋼片，型號(hào)為23ZH90，通過公式(2)計(jì)算得到，鐵心材料的電導(dǎo)率應(yīng)為

(14)

該自耦變的繞組形式為串聯(lián)繞組和公共繞組同心排列的單分裂式繞組，其中串聯(lián)繞組的結(jié)構(gòu)形式為輻向分裂式，即分裂為沿輻向交錯(cuò)排列的兩個(gè)繞組部分。圖10為空載狀態(tài)下繞組連接的電路模型。

圖10 OD-R-32000/55自耦變壓器繞組電路模型

在三維渦流場(chǎng)下對(duì)自耦變的空載狀態(tài)進(jìn)行仿真，空載電流值仿真計(jì)算值為0.268 A，與試驗(yàn)報(bào)告中的0.27 A幾乎一致。

主磁通分布圖見圖11，可以看出，空載狀態(tài)下卷鐵心內(nèi)部磁通平均值約為1.2 T，分布規(guī)律為鐵心內(nèi)側(cè)磁通較外側(cè)大，且鐵心內(nèi)側(cè)拐角位置的磁通畸變。

圖11 卷鐵心自耦變的主磁通分布

磁滯損耗Ph、渦流損耗Pe和附加損耗Pa是變壓器鐵心損耗的三個(gè)組成部分，圖5為從該自耦變的試驗(yàn)報(bào)告中獲得的0.5Ur～1.15Ur的空載損耗數(shù)據(jù)，若想得到的渦流損耗的實(shí)際值，需要將其從總損耗中分離出來。

表5 0.5Ur～1.15Ur電壓下的空載損耗

經(jīng)典的鐵心損耗常系數(shù)公式為Bertotti公式[15-17]

(15)

式中：Bm為有效磁通密度幅值；f為頻率；n為常數(shù)；kh為磁滯損耗系數(shù)；ke為渦流損耗系數(shù)；kex為附加損耗系數(shù)。

基于Bertotti公式利用外推法[18]可將鐵心損耗分離為三部分：渦流損耗、磁滯損耗和附加損耗，首先將公式(15)兩邊同時(shí)除以頻率f，可得

(16)

式中：A=kh·Bmn為每周期鐵心產(chǎn)生的磁滯損耗；B=ke·Bm2為每期鐵心產(chǎn)生的渦流損耗；C=kex·Bm1.5為每周期鐵心產(chǎn)生的附加損耗。

然后獲取23ZH90硅鋼片材料的多頻損耗曲線，并根據(jù)仿真結(jié)果中額定電壓下Bm=1.2 T，提取不同頻率下的鐵損數(shù)據(jù)，見圖12。

圖12 每周期鐵損隨頻率均方根的變化規(guī)律

然后利用Excel中的插值工具，可計(jì)算出：kh=3.419×10-3，ke=7.214×10-5，kex=1.02×10-9。

最后根據(jù)得到的kh、ke、kex損耗系數(shù)在自耦變壓器空載損耗中分離出相應(yīng)的渦流損耗值，并對(duì)比利用本文所提模型仿真計(jì)算得到的渦流損耗值，見表6，表中誤差為實(shí)測(cè)值與計(jì)算值的誤差。

表6 0.5Ur～1.15Ur電壓下的渦流損耗

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，仿真計(jì)算所得渦流損耗值與試驗(yàn)值在不同比例電壓下平均誤差僅為5.20%，說明了本模型可有效計(jì)算實(shí)際工程中卷鐵心變壓器的渦流損耗。

仿真結(jié)果相比試驗(yàn)值的誤差均為正偏離的原因：本文中的有限元仿真模型是基于設(shè)計(jì)截面對(duì)鐵心進(jìn)行掃略完成建模，因此建模體積與階梯狀截面的真實(shí)變壓器的鐵心體積相比較大；生產(chǎn)過程中卷鐵心要經(jīng)過鐵心退火工藝使得空載損耗進(jìn)一步降低，這是通過改變材料特性來降低損耗，無法通過數(shù)值方法模擬。

4 結(jié)論

(1)在對(duì)各向異性等效電導(dǎo)率公式進(jìn)行適當(dāng)修正后建立了卷鐵心變壓器均勻化模型。經(jīng)過與經(jīng)典公式對(duì)比驗(yàn)證可知，多頻渦流損耗的仿真結(jié)果與經(jīng)典公式的計(jì)算結(jié)果平均誤差僅為6.72%，不同電壓下計(jì)算結(jié)果的誤差僅為6.01%，說明了本文所建模型對(duì)渦流損耗計(jì)算的有效性。

(2)通過對(duì)大型卷鐵心自耦變的仿真，并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，在不同比例電壓下的平均誤差僅為5.20%，說明了模型對(duì)于實(shí)際工程的適用性，可應(yīng)用于實(shí)際工程渦流場(chǎng)的精確計(jì)算中。