關(guān)于求解極限的若干思考

周 燕， 林麗瓊， 任立英

(福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福州350108)

1 引 言

眾所周知，無(wú)窮小等價(jià)替換極大簡(jiǎn)化了一些極限的求解[1]，但在具體應(yīng)用過(guò)程中，細(xì)節(jié)的錯(cuò)誤經(jīng)常會(huì)出現(xiàn).比如應(yīng)用無(wú)窮小等價(jià)替換計(jì)算極限時(shí)，要求在x0的某個(gè)去心鄰域里沒(méi)有零點(diǎn)，很多人在做題過(guò)程中往往忽略這一點(diǎn).

例如錯(cuò)誤做法：

二元函數(shù)極限的判別與求解方法眾多[2-3]，其中應(yīng)用極坐標(biāo)計(jì)算二元函數(shù)的極限是常用的一種方法，但應(yīng)用時(shí)有諸多復(fù)雜的限制[4-5]，本文針對(duì)一類特殊函數(shù)給出了便于計(jì)算應(yīng)用的若干結(jié)論.

2 主要結(jié)果

類似地有

證法同引理1

(i) 在E中，β(x)與β1(x)的零點(diǎn)相同，記E1={x∈E|β(x)=0}={x∈E|β1(x)=0}；

(ii) 對(duì)任意ε>0，存在0<δ2≤δ1， 當(dāng)0<|x-x0|<δ2，且x?E1時(shí)，有

則

證令

由引理1得

同樣，由引理2可得如下類似結(jié)論：

定理2設(shè)β(x)與β1(x)為x→x0時(shí)的無(wú)窮小，在x0的任一去心鄰域，β(x)，β1(x)均有零點(diǎn)，γ(x)在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若存在x0的某個(gè)去心鄰域E={x|0<|x-x0|<δ1}滿足：

(i) 在E中，β(x)與β1(x)的零點(diǎn)相同，記E1={x∈E|β(x)=0}={x∈E|β1(x)=0}；

(ii) 對(duì)任意ε>0，存在0<δ2≤δ1， 當(dāng)0<|x-x0|<δ2，且x?E1時(shí)，有

則

大家知道應(yīng)用無(wú)窮小等價(jià)替換計(jì)算極限時(shí)，要求在x0的某個(gè)去心鄰域里等價(jià)替換的函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，而定理1則把無(wú)窮小等價(jià)替換的結(jié)論進(jìn)行了推廣，它說(shuō)明在求解極限時(shí)，分子若應(yīng)用無(wú)窮小等價(jià)替換時(shí)，允許x0任意去心鄰域函數(shù)都有零點(diǎn)，只要滿足兩個(gè)無(wú)窮小在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)零點(diǎn)相同，并且不考慮零點(diǎn)的時(shí)候，表達(dá)形式滿足通常等價(jià)的情況，也即非零點(diǎn)x在充分靠近x0時(shí)滿足

則計(jì)算極限時(shí)是可以將β(x)與β1(x)進(jìn)行替換的.

經(jīng)常碰到的題目忽略了等價(jià)替換的條件，利用等價(jià)替換得到的結(jié)果都是正確的，原因就在于題目實(shí)際上滿足定理1的條件.

類似一元函數(shù)可以證明對(duì)于多元函數(shù)上述的引理1、引理2以及定理1、定理2也都成立，這里就不逐一敘述，僅以二元函數(shù)的情況為例說(shuō)明定理1的推廣內(nèi)容.

(i) 在E中，β(x，y)與β1(x，y)的零點(diǎn)相同，記

E1={(x，y)∈E|β(x，y)=0}={(x，y)∈E|β1(x，y)=0}；

則

證明與定理1類似，略去.

當(dāng)t>0時(shí)，f′(t)>0，所以2t>ln(1+t)>0，

|ln(1+t)|<|2t|.

(1)

由夾逼準(zhǔn)則可得

由上述證明過(guò)程可以看出例2若不采用我們證明的定理3，則計(jì)算比較麻煩，而且學(xué)生不容易想到將ln(1+xy)與2xy進(jìn)行比較，而選擇應(yīng)用定理3，則計(jì)算簡(jiǎn)單.

總而言之，如果在去心鄰域函數(shù)出現(xiàn)零點(diǎn)，關(guān)鍵要考慮函數(shù)無(wú)窮小替換時(shí)零點(diǎn)是否可以保持，如果可以，事實(shí)上應(yīng)用本文的結(jié)論是可以替換的，而且結(jié)果是正確的.這樣在計(jì)算一元或多元函數(shù)極限的問(wèn)題上方便很多.

下面討論應(yīng)用極坐標(biāo)求解極限時(shí)易犯的錯(cuò)誤的問(wèn)題.比如

該題應(yīng)用極坐標(biāo)替換計(jì)算極限過(guò)程中，將θ當(dāng)作是常數(shù)，計(jì)算r→0時(shí)的極限，事實(shí)上在r→0的過(guò)程中，θ也是變化的，是不能當(dāng)做常數(shù)的，所以計(jì)算結(jié)果是錯(cuò)誤的.事實(shí)上，該函數(shù)的極限是不存在的.

那么怎么利用極坐標(biāo)計(jì)算的結(jié)果是正確的呢？在文獻(xiàn)[4-5]中給出的具體的命題如下：

命題1[4]設(shè)二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某去心鄰域內(nèi)有定義，則

命題2[5]設(shè)(i) 任意θ∈[0，2π]，當(dāng)r→0時(shí)f(x，y)=f(rcosθ，rsinθ)→0；

(ii) 存在M>0，使得任意(x1，y1)，(x2，y2)有

|f(x1，y1)-f(x2，y2)|≤M(|x1-x2|+|y1-y2|)，

上述結(jié)論提到的要求比較復(fù)雜，且這些結(jié)論在具體計(jì)算時(shí)并不好驗(yàn)證，本文給出兩種適合計(jì)算中應(yīng)用的方法.

|f(x，y)|=|f(x0+rcosθ，y0+rsinθ)|≤|g(r)h(θ)|<ε，

所以

時(shí)，

|f(x，y)-A|=|g(r)h(θ)-A|<1，

故

|g(r)h(θ)|

由于g(r)在0的任一去心右鄰域不恒為0，則存在0

這兩個(gè)結(jié)論雖然簡(jiǎn)單，但在計(jì)算二元函數(shù)極限時(shí)，卻是十分方便.

例4若不采用極坐標(biāo)替換來(lái)解決，則計(jì)算量會(huì)很大.而對(duì)于例5，學(xué)生往往不太容易看出是極限不存在，而通過(guò)上述方法，可以輕松地解決問(wèn)題.

3 結(jié) 論

極限的計(jì)算在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位，本文通過(guò)具體例題指出學(xué)生在應(yīng)用等價(jià)替換與極坐標(biāo)變換計(jì)算極限時(shí)易忽視的錯(cuò)誤，并通過(guò)嚴(yán)格證明給出修正錯(cuò)誤的相應(yīng)結(jié)果，這不僅有助于學(xué)生透徹掌握等價(jià)替換與極坐標(biāo)變換求極限的方法，且可避免容易忽視的錯(cuò)誤，同時(shí)也為教師在教學(xué)中提供參考.事實(shí)上，在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，這類容易忽視的錯(cuò)誤經(jīng)常可見(jiàn)，對(duì)這種類似問(wèn)題的研究對(duì)教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)都有很大幫助.

致謝在論文修改過(guò)程中，審稿老師提了許多寶貴意見(jiàn)，對(duì)此表示衷心的感謝.