基于卡爾曼濾波器的分數(shù)階PIλDμ控制器

蔡元宵 王蕓芳

(1.寧夏大學(xué)新華學(xué)院信息與計算機科學(xué)系,寧夏銀川 750021;2.陜西汽車控股集團有限公司技術(shù)中心,陜西西安 710200)

0 引言

Podlubny在文獻[1]中提出了分數(shù)階PIλDμ控制器,其比整數(shù)階控制器多了兩個可調(diào)參數(shù):積分階次λ和微分階次μ,參數(shù)調(diào)整范圍增大,能夠更靈活地控制系統(tǒng)。文獻[2]提出了用主導(dǎo)極點法設(shè)計分數(shù)階PIλDμ控制器。文獻[3]采用幅值裕量法和相位裕量法得出了分數(shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)。針對非線性、參數(shù)時變及大范圍攝動系統(tǒng),結(jié)合智能優(yōu)化算法,文獻[4]提出了用遺傳算法對分數(shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)進行整定。文獻[5]將粒子群優(yōu)化算法用于分數(shù)階PIλDμ控制器的設(shè)計。文獻[6]給出了分數(shù)階PIλDμ控制器的數(shù)字實現(xiàn)方法,為其工程應(yīng)用提供了可能性。文獻[7]利用控制系統(tǒng)在滿足相位裕度和幅值裕度的魯棒性條件下,設(shè)計了對時間常數(shù)變化具有魯棒性的分數(shù)階PIλDμ控制器。然而,實際系統(tǒng)中的過程噪聲和測量噪聲往往使控制器不能達到理想的控制效果,上述分數(shù)階PIλDμ控制器的設(shè)計和研究尚未考慮這些干擾噪聲的影響。

卡爾曼濾波器具有遞歸、線性、無偏和方差最小等特點,因此在對機動目標的跟蹤中具有良好的性能,例如在軍事、航天和工業(yè)生產(chǎn)的自動控制領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。文獻[8]將模糊控制器的設(shè)計與卡爾曼濾波算法融合,提出了一種新的模糊卡爾曼濾波器,在實時性要求很高的控制系統(tǒng)中具有良好的控制性能。文獻[9]將卡爾曼濾波器用于視頻監(jiān)控系統(tǒng),對運動目標的適時檢測和跟蹤具有良好的效果。

本文將分數(shù)階控制理論和卡爾曼濾波算法進行結(jié)合,考慮實際系統(tǒng)中干擾噪聲的影響,設(shè)計出基于卡爾曼濾波器的分數(shù)階PIλDμ控制器,使系統(tǒng)具有較好的控制性能,且能有效地濾除噪聲。

1 分數(shù)階微積分及卡爾曼濾波原理

分數(shù)階微積分是指微積分的階次是任意的,分數(shù)階微積分常用Grunwald-Letnikov(G-L)定義和Riemann-Liouville(R-L)定義。本文所采用的是G-L定義,即:

設(shè)f（t）在區(qū)間[a,t]有m+1階導(dǎo)數(shù),α為任意實數(shù),則α階次的微分定義為:

設(shè)離散控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

系統(tǒng)的觀測方程為:

設(shè)控制系統(tǒng)的輸出Z(k+1)為實際可測量,卡爾曼濾波遞推算法如下:

設(shè)現(xiàn)在系統(tǒng)的狀態(tài)是k,可根據(jù)系統(tǒng)k時刻狀態(tài)預(yù)測k+1狀態(tài),即狀態(tài)的預(yù)測方程為:

狀態(tài)更新后,可進一步更新協(xié)方差,即協(xié)方差的一步預(yù)測方程為:

圖1 基于卡爾曼濾波器的分數(shù)階PIλDμ控制器的控制原理圖Fig.1 Control schematic of the fractional order PIλDμ controller based on the Kalman filter

濾波增益方程為:

濾波估計方程為:

濾波協(xié)方差更新方程為:

2 基于卡爾曼濾波器的分數(shù)階PIλDμ控制器

基于卡爾曼濾波器的分數(shù)階PIλDμ控制原理如圖1所示,其中將連續(xù)的被控對象通過零階保持器進行離散,并考慮測量中產(chǎn)生的干擾噪聲v。經(jīng)過數(shù)字分數(shù)階PIλDμ控制器的輸出記為u,將其作為被控對象的輸入。

設(shè)圖中的連續(xù)被控對象為單輸入單輸出系統(tǒng),其傳遞函數(shù)為:

將(10)式轉(zhuǎn)化為連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

其中:

使用零階保持器,建立離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為:

在考慮干擾噪聲時,由(13)和(14)式可得:

其中:w(k)為控制干擾噪聲,v(k)為測量干擾噪聲。

分數(shù)階PIλDμ控制器的時域方程為:

式中:λ和μ分別為分數(shù)階PIλDμ控制器的積分階次和微分階次。

圖2 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖(未加卡爾曼濾波器的整數(shù)階PID控制器作用)Fig.2 The unit step response of the system(integer order PID controller without the Karman filter)

根據(jù)α階次的微分定義,結(jié)合“短時記憶法”,得到分數(shù)階微積分的數(shù)字形式為:

其中的二項式系數(shù)可通過下式來計算:

由(17)～(19)式可得,分數(shù)階PIλDμ控制器的數(shù)字離散形式為:

其中:偏差e（k） =rin（k） -ye（k）,qj和dj可通過(19)式計算,ye(k)由下式給出:

綜上,結(jié)合公式(5)～(9),對于(15)和(16)式表出的系統(tǒng),給出卡爾曼濾波算法如下:

表1 系統(tǒng)加入濾波器后在不同控制器作用下的性能指標Tab.1 The performance indicator of the system under different controller with the filter

圖3 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖(基于卡爾曼濾波器的整數(shù)階PID控制器作用)Fig.3 The unit step response of the system(integer order PID controller based on the Kalman filter)

圖4 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖(未加卡爾曼濾波器的分數(shù)階PIλDμ控制器作用)Fig.4 The unit step response of the system(fractional order PIλDμ controller without the Karman filter)

3 仿真算例

例:設(shè)被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為[4]:

測量干擾噪聲信號的幅值為0.003,協(xié)方差R為1;控制干擾噪聲信號的幅值為0.003,協(xié)方差Q為1。

對此被控系統(tǒng),采用文獻[4]中遺傳算法設(shè)計的整數(shù)階PID控制器和分數(shù)階PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)分別為:

圖5 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖(基于卡爾曼濾波器的分數(shù)階PIλDμ控制器作用)Fig.5 The unit step response of the system(fractional order PIλDμ controller based on the Kalman filter)

仿真結(jié)果見圖2-5,從中對比可知,在考慮過程噪聲和測量噪聲時,若不加卡爾曼濾波器,分數(shù)階PIλDμ控制器和整數(shù)階PID控制器均不能很好地發(fā)揮控制作用。反之,在加入卡爾曼濾波器后,控制器既能很好地控制被控對象,使系統(tǒng)具有良好的控制性能,又可有效地濾除干擾噪聲。仿真結(jié)果表明基于卡爾曼濾波器的分數(shù)階PIλDμ具有很好的控制性能。

系統(tǒng)加入濾波器后在不同控制器作用下的主要時域性能指標見表1,從中分析可知基于卡爾曼濾波器的分數(shù)階PIλDμ比基于卡爾曼濾波器的整數(shù)階PID控制器具有更好的控制性能。

4 結(jié)論

通過仿真對比表明:對于相同的被控對象,分數(shù)階PIλDμ控制器具有良好的控制性能,同時在系統(tǒng)存在干擾噪聲的情況下,加入卡爾曼濾波器可有效地濾除噪聲,使系統(tǒng)具有良好的控制性能。