關(guān)注數(shù)學(xué)合作建模，促進(jìn)學(xué)生思維生長

朱胤

小組合作學(xué)習(xí)的教學(xué)方式已被教師接受與認(rèn)可，但是教師在教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)效果的雙重壓力下，不敢放手讓學(xué)生合作學(xué)習(xí)，從而影響了學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程的展示，學(xué)生也沒能很好地體會到合作學(xué)習(xí)對自己數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和個人成長有哪些益處和作用，學(xué)生的學(xué)習(xí)很大程度上還停留在淺層次的學(xué)習(xí).學(xué)生雖然能進(jìn)行一定的探究學(xué)習(xí)，但是并沒有真正認(rèn)識到問題的本質(zhì)，而是停留在問題的表面，對問題的思考缺少深度和廣度.2011版初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出了六項(xiàng)關(guān)鍵能力，包括：數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力、直觀想象能力、數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)分析能力，其中“數(shù)學(xué)建模能力”實(shí)際上是“分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力”的具體化.有效解決目前學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題，讓學(xué)生在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中探究問題本質(zhì)，才能有效發(fā)展學(xué)生的思維.因此，筆者在平時的教學(xué)中以數(shù)學(xué)建模為抓手，把小組合作學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合，實(shí)施“合作建?！钡膶W(xué)習(xí)方式，即學(xué)生在教師的指導(dǎo)下將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，再通過組內(nèi)成員的互相交流探討，相互啟發(fā)，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，使實(shí)際問題得以解決.合作建模既能適當(dāng)降低學(xué)生建模的難度，又能較好地鍛煉學(xué)生的合作能力和抽象能力，使學(xué)生的思維更靈活、深刻，更富有創(chuàng)造性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力逐步提升.

活動一：回顧已學(xué)模型

已知：如圖1，在Rt△ABC中，已知∠A=30°，你想到了什么？

已知：如圖2，在Rt△DEF中，已知∠D=45°，你想到了什么？

生1：∠B=60°，BC∶AC∶AB=1∶3∶2.

生2：∠E=45°，EF∶DF∶DE=1∶1∶2.

【設(shè)計(jì)意圖】以此環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生寫出直角三角形中的邊角關(guān)系，熟悉兩個特殊的直角三角形，為后續(xù)模型的建立做鋪墊.

活動二：實(shí)驗(yàn)合作建模

1.將圖1中的三角形沿著點(diǎn)C折疊，折疊后點(diǎn)B落在線段AB的點(diǎn)E處.思考：你可以求出哪些線段的長度？

生3：將圖1中的三角形沿著點(diǎn)C折疊后點(diǎn)B落在線段AB上，可知折痕CD⊥AB，原先含30°角的直角三角形被分割成兩個小的含有30°角的直角三角形.若設(shè)BD長為a，則可知CD長為3a，BC長為2a，由折疊，可知ED=BD=a，EC=BC=2a，在Rt△ABC中，AC=23a，AD=3a，可算得AE=3a-a=2a.

2.用兩張三角形紙片拼接三角形（可重疊）

操作：（1）將圖3紙片沿著CD剪下，得到圖5和圖6.思考：若在圖5、圖6與圖2中選取兩個圖形組合拼圖，拼成一個三角形，你認(rèn)為圖2的三角形需滿足什么條件？

（2）請先自己拼圖，然后小組交流討論，匯總能拼接出哪些三角形.

生4：因?yàn)橐闯梢粋€三角形，因此三個直角三角形中要有相等的邊且相等的邊還應(yīng)是直角的一條邊，圖5、圖6中滿足條件的是邊CD，圖2中的直角邊是DF和EF，則需DF=EF=CD.

生5：我們小組通過交流討論后得到6個不同的拼接三角形，如圖7.

【設(shè)計(jì)意圖】通過實(shí)驗(yàn)活動，學(xué)生動手操作，小組內(nèi)同學(xué)交流討論和思考，在合作中構(gòu)建出6個三角形.學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)建模思想，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)抽象思維，提升邏輯推理能力.

活動三：模型檢驗(yàn)運(yùn)用

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)中，學(xué)生需熟記基本模型并在運(yùn)動的過程中發(fā)現(xiàn)基本模型，再運(yùn)用已有知識解決問題.學(xué)生的知識得到鞏固，解題思路更加清晰，解題方法更加熟練且多樣，學(xué)生的思維得到有效拓展.

[教學(xué)反思]

一、借助同伴力量，提升思維的活躍度

通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)上遇到問題時多半采用的方法是問同學(xué)，或者是和同學(xué)討論，或者干脆放棄，因此合作建模的學(xué)習(xí)方式正好符合學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，且可以避免學(xué)生無故放棄.課堂上，有些學(xué)生語言條理清晰，思維活躍，能快速為其他學(xué)生提供解題思路和建議.而當(dāng)其他學(xué)生學(xué)習(xí)遇到困難時，他們也會主動詢問這樣的同學(xué)，借助同伴的鼓勵、解說、幫助，繼續(xù)研究后續(xù)問題.通過合作建模的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生能活躍思維，能在課堂中對問題進(jìn)行合理分析，持續(xù)思考，深入探究，追尋本質(zhì)，積極主動地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來，大大提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維的活躍度.

二、創(chuàng)設(shè)系列實(shí)驗(yàn)，提升思維的深刻性

對很多學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身枯燥乏味，甚至有的學(xué)生不擅長學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，易產(chǎn)生抵觸心理，但借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能動手操作實(shí)踐，親自參與到問題之中，了解問題的產(chǎn)生過程，并在小組合力下積極分析問題，對問題進(jìn)行歸納總結(jié)，從而建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，還能利用得到的數(shù)學(xué)模型有效遷移解決其他問題.在這樣的課堂上，每個學(xué)生都能經(jīng)歷親自動手、獨(dú)立思考、合作交流、歸納總結(jié)、展示模型、運(yùn)用模型的過程.在合作建模學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生能抓住問題的本質(zhì)，深入思考問題，歸納出六個數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用模型解決一般性的問題，使思維的深度和廣度得到有效提升.

三、檢驗(yàn)運(yùn)用模型，提升思維的靈活性

學(xué)生在合作建模學(xué)習(xí)方式下能對問題從不同的角度進(jìn)行分析，利用多種方法解決同一問題.在解決問題的過程中，學(xué)生經(jīng)歷從分析到綜合、從綜合到分析的過程，全面靈活地進(jìn)行綜合分析，讓問題的解決更加全面，還能夠有效對知識進(jìn)行遷移，從一般問題抽象出各種基本模型，提升運(yùn)用模型的自覺性.在思維發(fā)散方面，學(xué)生對問題有不同角度的分析，能獲得多樣的結(jié)論，對問題的思考也很精細(xì)，不僅全面考慮問題，而且深入問題的細(xì)節(jié)，大大增強(qiáng)思維靈活性.

四、獨(dú)立合作并存，提升思維的獨(dú)創(chuàng)性

學(xué)生的學(xué)習(xí)并不是一味地重復(fù)性學(xué)習(xí)，需要學(xué)生有一定的創(chuàng)新，這樣的學(xué)習(xí)才是有效的學(xué)習(xí)，才是真正的學(xué)習(xí).合作建模方式下的學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生之間思維的碰撞，有利于啟發(fā)學(xué)生思維的創(chuàng)新.但是合作建模學(xué)習(xí)方式不是單指合作，而是指在有充分獨(dú)立思考下的合作，只有進(jìn)行了充分獨(dú)立的思考，才有可能思考出與眾不同的解決問題的方法，合作只是對獨(dú)立思考后的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化、補(bǔ)充和完善，否則就只能人云亦云.課堂中教師應(yīng)給予學(xué)生充分的獨(dú)立思考時間，在此基礎(chǔ)上再合作建模，這符合發(fā)展思維獨(dú)創(chuàng)性的要求，學(xué)生才能有創(chuàng)新的源泉，學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性才會有效提升.