基于偏置比例導(dǎo)引的落角約束滑模制導(dǎo)律

王曉海, 孟秀云, 周 峰, 邱文杰

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院, 北京 100081; 2. 北京航天自動控制研究所, 北京 100039)

0 引 言

精確制導(dǎo)武器在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中占據(jù)著不可替代的位置。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,裝甲車輛、艦船等目標(biāo)的防御能力相較于以往有了顯著的提高。為獲得更好的打擊效果,要求飛行器以某種角度命中目標(biāo)[1]。1969年,帶終端落角約束的制導(dǎo)理論在阿波羅計(jì)劃首次登月時得到了應(yīng)用[2]。Kim等[3]在機(jī)動彈頭制導(dǎo)問題中首次考慮落角約束問題。文獻(xiàn)[4]提出了一種制導(dǎo)律,根據(jù)終端落角要求計(jì)算幾何圓弧彈道,之后給出控制指令使導(dǎo)彈跟蹤計(jì)算出的圓弧彈道。文獻(xiàn)[5]基于非奇異快速終端滑模和二階滑?？刂评碚?提出了一種帶落角約束的有限時間滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[6]以攻角作為控制指令,運(yùn)用滑模變結(jié)構(gòu)理論推導(dǎo)了滿足終端攻擊角度約束和攻角約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[7]提出了一種偽機(jī)動比例導(dǎo)引律,并設(shè)計(jì)了自適應(yīng)參數(shù),降低了初始過載。文獻(xiàn)[8]推導(dǎo)了一種帶落角約束的無奇點(diǎn)快速終端滑模制導(dǎo)律,并設(shè)計(jì)了非線性擾動觀測器對擾動進(jìn)行動態(tài)補(bǔ)償。文獻(xiàn)[9]提出了一種考慮加速度飽和的落角約束制導(dǎo)律,并將目標(biāo)加速度信息作為擾動進(jìn)行觀測補(bǔ)償。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于落角約束的偏置比例導(dǎo)引律,并設(shè)計(jì)了盲區(qū)控制方案,減小了命中點(diǎn)處的法向過載。文獻(xiàn)[11]基于飛行力學(xué)原理和最優(yōu)控制理論提出了一種落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[12]基于二階滑模理論提出了一種有限時間收斂的落角約束制導(dǎo)律,并引入二階觀測器來對目標(biāo)運(yùn)動進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[13]基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論提出了一種兩階段落角約束導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了一種落角約束滑模制導(dǎo)律,并應(yīng)用模糊控制理論與徑向基函數(shù)(radical basis function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論,對導(dǎo)引律系數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)。文獻(xiàn)[15]基于反饋線性化與有限時間控制理論推導(dǎo)了針對固定目標(biāo)的落角約束制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[16]考慮視場角約束的限制,基于追蹤法與比例導(dǎo)引法設(shè)計(jì)了滿足攻擊角約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[17]從實(shí)際物理意義的角度對帶落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行了分析,并推導(dǎo)了一種新形式的最優(yōu)制導(dǎo)指令。文獻(xiàn)[18]基于自適應(yīng)反步法推導(dǎo)了針對運(yùn)動目標(biāo)的含攻擊角約束的制導(dǎo)律,并提出了一種平滑二階滑模微分器,對虛擬控制率的微分進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[19]基于滑?？刂评碚摵头床椒?并考慮自駕儀動力學(xué),設(shè)計(jì)了一種帶攻擊約束的魯棒制導(dǎo)律,并設(shè)計(jì)了自適應(yīng)二階滑模觀測器對目標(biāo)機(jī)動信息進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[20]基于雙曲正切函數(shù)設(shè)計(jì)了有界虛擬制導(dǎo)律,之后引入映射,控制垂直于彈目視線的相對速度,對虛擬制導(dǎo)律進(jìn)行跟蹤,得到了帶攻擊角約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[21]提出了一種新型的非奇異終端滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[22]設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)快速固定時間滑模制導(dǎo)律,可以從任何初始角度以期望的攻擊角擊中目標(biāo)。文獻(xiàn)[23]提出了一種由觀測階段和攻擊階段組成的兩階段最優(yōu)制導(dǎo)律,并將最優(yōu)制導(dǎo)律與切換項(xiàng)結(jié)合,使之能夠滿足攻擊角約束和視場角約束。文獻(xiàn)[24]基于二階滑模設(shè)計(jì)了一種考慮駕駛儀動力學(xué)的攻擊角約束制導(dǎo)律,并使用反步法設(shè)計(jì)滑模面,有效消除了抖振。文獻(xiàn)[25]基于非均勻快速終端滑模面理論和二階滑?？刂评碚?設(shè)計(jì)了滿足攻擊角約束的具有耦合項(xiàng)的非奇異快速終端三維二階滑模導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[26]考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和問題,并基于制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)了一種滿足攻擊角約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[27]針對運(yùn)動目標(biāo)提出一種攻擊角約束的制導(dǎo)律,該制導(dǎo)律分為兩個階段,第一個階段采用非奇異終端滑模制導(dǎo)律使導(dǎo)彈在有限時間內(nèi)以期望的攻擊角攻擊虛擬目標(biāo),第二個階段使用比例導(dǎo)引法,使導(dǎo)彈以恒定的航跡角攻擊目標(biāo)。文獻(xiàn)[28]重點(diǎn)考慮剩余飛行時間估計(jì)問題,并針對基于終端滑模控制的攻擊角約束制導(dǎo)律,提出了一種剩余飛行時間估計(jì)方法。文獻(xiàn)[29]基于非奇異終端滑?？刂评碚撎岢隽艘环N滿足攻擊角度和攻擊時間的制導(dǎo)律,并基于預(yù)測攔截點(diǎn)設(shè)計(jì)了剩余飛行時間估計(jì)方法。

本文針對導(dǎo)彈以一定落角攻擊裝甲車輛等地面移動目標(biāo)問題,推導(dǎo)了彈目相對運(yùn)動模型,在偏置比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上,結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)理論,推導(dǎo)出基于偏置比例導(dǎo)引的落角約束滑模制導(dǎo)律,基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了參數(shù)自適應(yīng)的冪次趨近律,并結(jié)合實(shí)際工程應(yīng)用對趨近律參數(shù)進(jìn)行了進(jìn)一步設(shè)計(jì),減小了導(dǎo)引律在命中點(diǎn)附近的法向過載,進(jìn)一步提高了導(dǎo)引律的實(shí)際工程應(yīng)用價值,之后,考慮目標(biāo)機(jī)動信息無法準(zhǔn)確測量的問題,引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended states observer, ESO),將目標(biāo)機(jī)動造成的彈目視線角速率分量看作擾動量進(jìn)行觀測,從而對目標(biāo)速度進(jìn)行估計(jì),最后對本文提出的制導(dǎo)律的性能進(jìn)行了仿真分析。

1 彈目相對運(yùn)動模型

假設(shè)目標(biāo)沿水平面運(yùn)動,導(dǎo)彈從空中對目標(biāo)進(jìn)行打擊,如圖1所示,M為導(dǎo)彈,T為目標(biāo),q為彈目視線角,水平基準(zhǔn)線沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到彈幕視線上時為正,θM為導(dǎo)彈的彈道傾角,r為彈目距離,VM為導(dǎo)彈飛行速度,VT為目標(biāo)運(yùn)動速度,目標(biāo)向ox軸正向運(yùn)動時為正。

圖1 彈目相對運(yùn)動模型

由圖1可推導(dǎo)出彈目相對運(yùn)動模型為

(1)

2 基于偏置比例導(dǎo)引的落角約束滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 滑模面設(shè)計(jì)

以法向過載ay為控制指令,偏置比例導(dǎo)引律的形式為

(2)

(3)

對式(3)的兩邊從t1到t2進(jìn)行積分,得

(4)

式中,θM2、q2分別為t2時刻導(dǎo)彈的彈道傾角和彈目視線角；θM1、q1分別為t1時刻導(dǎo)彈的彈道傾角和彈目視線角。將式(4)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換,得

(5)

將當(dāng)前時刻t和終端時刻tf的各個變量的值代入式(5),得

(6)

式中,θMf為命中點(diǎn)處導(dǎo)彈的彈道傾角,通常將落角定義為命中點(diǎn)處導(dǎo)彈的俯仰角,在攻角較小時,俯仰角與彈道傾角近似相等,故本文將θMf作為期望的終端落角;qf為終端彈目視線角。為滿足終端落角約束,在命中點(diǎn)處,希望彈道傾角滿足(θM-θMf)→0,同時,希望彈目視線角滿足(q-qf)→0。當(dāng)滿足這兩個條件時,有

(7)

故將滑模面取為

s=VM(θMf-θM)-KVM(qf-q)

(8)

由式(7)可知,當(dāng)s趨近于0時,導(dǎo)彈將以期望的彈道傾角θMf擊中目標(biāo)。

2.2 趨近律設(shè)計(jì)

則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x0附近大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。將條件2拓展為

(9)

式中,β>0;0<λ<1。對式(9)兩邊從0到系統(tǒng)穩(wěn)定時刻ts積分,得

(10)

(11)

系統(tǒng)在該平衡點(diǎn)上是全局有限時間收斂的,且收斂時間ts≤V1-λ(0)/(β(1-λ))。

冪次趨近律的基本形式為

(12)

式中,k為趨近速率系數(shù),k>0,

(13)

(14)

將式(13)代入式(14),得

(15)

為使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂,將式(9)與式(15)聯(lián)立,得

(16)

(17)

對于式(11),將ts取為剩余飛行時間tgo, 可以得到

(18)

tgo的估算方法如圖2所示。

圖2 tgo的估算方法

(19)

(20)

將式(20)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換,得

(21)

將式(12)代入式(21),即可得到基于偏置比例導(dǎo)引的落角約束滑模制導(dǎo)律為

(22)

(23)

α是一個可調(diào)參數(shù),當(dāng)α取值較大時,系統(tǒng)會更快地趨近于滑模面,導(dǎo)彈的彈道傾角會更快地趨近于期望落角,在命中點(diǎn)附近的過載指令會更小,但同時最大法向過載指令也會相應(yīng)地增大;當(dāng)α取值較小時,系統(tǒng)趨近于滑模面的速度會更慢,同時最大法向過載指令較小,但命中點(diǎn)附近的過載指令會變得較大。

在實(shí)際工程應(yīng)用中,若在命中點(diǎn)附近導(dǎo)彈的法向過載較大,則會導(dǎo)致導(dǎo)彈的攻角較大,容易使導(dǎo)彈在命中目標(biāo)時發(fā)生跳彈,進(jìn)而影響導(dǎo)彈對目標(biāo)的毀傷效果[10],故往往希望命中點(diǎn)附近的過載指令趨近于0。同時,為降低導(dǎo)彈設(shè)計(jì)與制造成本,往往希望導(dǎo)彈的需用過載在滿足導(dǎo)彈戰(zhàn)術(shù)技術(shù)要求的前提下盡可能小,即希望導(dǎo)彈在飛行過程中的過載指令較小。故本文將α設(shè)計(jì)為隨時間逐漸變化的時變變量,在初期α取值較小,以減小過載指令,在末期α取值較大,以減小導(dǎo)彈在命中點(diǎn)附近的過載。α的具體變化規(guī)律為

(24)

式中,tgo0為根據(jù)末制導(dǎo)段初始時刻的彈目信息計(jì)算的剩余飛行時間。

3 基于ESO的目標(biāo)速度估計(jì)

本文推導(dǎo)的制導(dǎo)律中需要用到目標(biāo)速度VT,而在實(shí)際工程應(yīng)用中,往往很難準(zhǔn)確地對目標(biāo)的運(yùn)動信息進(jìn)行量測,故需要對目標(biāo)速度進(jìn)行估計(jì)。本文將目標(biāo)機(jī)動對彈目視線角速率造成的影響看作附加在系統(tǒng)中的擾動,引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對其進(jìn)行估計(jì),從而達(dá)到對目標(biāo)速度VT進(jìn)行估計(jì)的目的。

將式(1)的第二式改寫為

(25)

式(25)中等式右邊的第二項(xiàng)與目標(biāo)速度有關(guān),令[VTsin(-q)]/r=Δf,則有

(26)

設(shè)z1=q,z2為擴(kuò)展的新狀態(tài)變量,z2=Δf,設(shè)計(jì)線性ESO為

(27)

式中，

目標(biāo)速度的估計(jì)值為

(28)

根據(jù)文獻(xiàn)[30]所述,ESO中的參數(shù)β1、β2可選為

(29)

在實(shí)際應(yīng)用ESO對目標(biāo)速度進(jìn)行估計(jì)時,隨著導(dǎo)彈接近目標(biāo),彈目距離越來越小,由目標(biāo)機(jī)動所引起的擾動會變得越來越大,且由于在命中點(diǎn)附近彈目距離r接近于0,由式(28)計(jì)算得到的目標(biāo)速度估計(jì)值與真實(shí)值會有較大偏差,故當(dāng)彈目距離小于一較小值rn時,不再對目標(biāo)速度進(jìn)行觀測,認(rèn)為目標(biāo)在停止觀測后的時間Δt內(nèi)的運(yùn)動速度變化值為小量,并對觀測器的觀測帶寬ωo進(jìn)行處理,使之隨彈目距離變化而變化,變化規(guī)律如下:

(30)

式中,ωo1和ωo2的取值應(yīng)與實(shí)際系統(tǒng)相匹配。本文中取ωo1=10,ωo2=100。

4 仿真分析

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律的性能,選取幾種制導(dǎo)律與本文所推導(dǎo)的制導(dǎo)律進(jìn)行對比仿真分析。

(1) 制導(dǎo)律1(簡稱為BPNG)

文獻(xiàn)[10]提出的基于落角約束的偏置比例導(dǎo)引律:

(2) 制導(dǎo)律2(簡稱為OPNG)

文獻(xiàn)[11]提出的落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律:

為表述方便,將本文推導(dǎo)的制導(dǎo)律簡稱為SM-BPNG。取偏置比例導(dǎo)引系數(shù)K=4。在4種場景下對3種制導(dǎo)律進(jìn)行對比仿真分析。4種場景的仿真初始條件分別如下。

(1) 場景1:導(dǎo)彈飛行速度為270 m/s,初始彈道傾角為0°,期望的終端落角θMf=-60°,導(dǎo)彈的初始位置為(0 m,1 000 m);目標(biāo)靜止,位置為(3 000 m,0 m)。

(2) 場景2:導(dǎo)彈飛行速度為270 m/s,初始彈道傾角為0°,期望終端落角θMf=-60°。導(dǎo)彈初始位置為(0 m,1 000 m);目標(biāo)朝x軸正向運(yùn)動,速度為50 m/s,初始位置為(3 000 m,0 m)。

(3) 場景3:導(dǎo)彈飛行速度為270 m/s,初始彈道傾角為0°,期望的終端落角θMf=-70°。導(dǎo)彈的初始位置為(0 m,1 000 m);目標(biāo)朝x軸正方向做勻加速運(yùn)動,加速度大小為3 m/s2,初始速度大小為0 m/s,初始位置為(2 000 m,0 m)。

(4) 場景4:導(dǎo)彈飛行速度為270 m/s,初始彈道傾角為0°,期望的終端落角θMf=-60°。導(dǎo)彈的初始位置為(0 m,1 000 m);目標(biāo)朝x軸正方向做變加速運(yùn)動,初始速度為-20 m/s,加速度為[10sin(0.5t)] m/s2,初始位置為(3 000 m,0 m)。

圖3～圖5分別為上述4種場景下,3種導(dǎo)引律的彈道曲線、法向過載曲線和彈目視線角速率曲線。

圖3 3種制導(dǎo)律的彈道曲線

圖4 3種制導(dǎo)律的法向過載曲線

圖5 3種制導(dǎo)律的彈目視線角速率曲線

從圖3中可以看出,在命中點(diǎn)附近,SM-BPNG的彈道比另外兩種制導(dǎo)律的彈道更加平直,同時,SM-BPNG的彈道要更高,飛行距離更長。

從圖4中可以看出,在上述4種場景下,BPNG和OPNG的需用法向過載均較大,SM-BPNG的需用法向過載在3種導(dǎo)引律中是最小的;SM-BPNG在彈道前段的法向過載較其他兩種制導(dǎo)律而言更大,能夠充分發(fā)揮導(dǎo)彈的機(jī)動能力,而BPNG和OPNG的法向過載在彈道前段較小,在命中點(diǎn)附近均較大,達(dá)到了限幅值,較大的法向過載意味著較大的攻角,在實(shí)際工程應(yīng)用中,若導(dǎo)彈的彈道傾角與俯仰角相差較大,則會增加發(fā)生跳彈的概率,降低對目標(biāo)的打擊效果,而SM-BPNG在命中點(diǎn)附近的法向過載較小,在實(shí)際工程應(yīng)用中能夠較好地發(fā)揮導(dǎo)彈對目標(biāo)的毀傷效果。

從圖5中可以看出，4種場景下BPNG的視線角速率均逐漸增大,在命中點(diǎn)附近趨于無窮大;OPNG在命中點(diǎn)附近的彈目視線角速率在場景4中有收斂至0的趨勢,在其他3種場景中均逐漸增大;在4種場景下,SM-BPNG在命中點(diǎn)附近的視線角速率都是3種制導(dǎo)律中最小的。這說明在彈道后段,SM-BPNG的彈道較為平直,能夠使導(dǎo)彈在彈道后段具有較為充裕的機(jī)動能力。

圖6為上述4種場景下,SM-BPNG中的ESO對目標(biāo)速度的估計(jì)值與實(shí)際目標(biāo)速度,其中,z1的初值取為初始彈目視線角,z2的初值取0,參數(shù)a取0.5,δ取0.05。

圖6 目標(biāo)速度的ESO估計(jì)值與真實(shí)值

從圖6中可以看出,在目標(biāo)靜止、勻速運(yùn)動、勻加速運(yùn)動和變加速運(yùn)動時,對目標(biāo)速度的估計(jì)值均能夠快速地收斂到目標(biāo)速度的真實(shí)值附近,本文所設(shè)計(jì)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器能夠?qū)δ繕?biāo)速度進(jìn)行較為準(zhǔn)確的估計(jì)。

表1與表2列出了4種場景下3種導(dǎo)引律的落角與脫靶量。

表1 3種制導(dǎo)律的落角

表2 3種制導(dǎo)律的脫靶量

從表1和表2中可以看出,在4種場景下,3種導(dǎo)引律的脫靶量均較小;在目標(biāo)靜止或做勻加速運(yùn)動時,3種導(dǎo)引律的終端落角與期望落角的偏差均較小,但當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行勻加速運(yùn)動或變加速運(yùn)動時,OPNG的終端落角與期望落角的偏差較大,無法較好地滿足落角要求。

相比較而言,BPNG和SM-BPNG的終端落角都能較好地滿足期望落角要求,但BPNG需要準(zhǔn)確地測量目標(biāo)的運(yùn)動速度,而在實(shí)際工程應(yīng)用中,目標(biāo)的運(yùn)動信息往往無法準(zhǔn)確知曉,這大大增加了BPNG在實(shí)際工程應(yīng)用中的局限性;SM-BPNG和OPNG都不需要用到目標(biāo)的速度信息,但OPNG在目標(biāo)進(jìn)行勻加速運(yùn)動和變加速運(yùn)動時無法較好地滿足落角要求;除此之外,SM-BPNG的需用過載在3種制導(dǎo)律中最小,可以降低導(dǎo)彈的設(shè)計(jì)和制造難度,并且SM-BPNG在命中點(diǎn)附近的法向過載最小,在實(shí)戰(zhàn)中可以較好地發(fā)揮導(dǎo)彈的穿甲與毀傷能力。另外,SM-BPNG的彈道前段中較彎曲,能充分發(fā)揮導(dǎo)彈的機(jī)動能力,彈道后段比較平直,彈目視線角速率較小,能夠使導(dǎo)彈具有較為充裕的機(jī)動能力。綜合而言,本文提出的基于偏置比例導(dǎo)引的落角約束滑模制導(dǎo)律能夠在需要用到相對較少的測量信息的同時保證較好的導(dǎo)引性能。

5 結(jié) 論

本文針對導(dǎo)彈攻擊裝甲車輛等地面移動目標(biāo)問題,首先建立了彈目相對運(yùn)動模型,在偏置比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上,應(yīng)用滑模變結(jié)構(gòu)控制理論,推導(dǎo)出了基于偏置比例導(dǎo)引的落角約束滑模制導(dǎo)律。之后,基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了參數(shù)自適應(yīng)的冪次趨近律,并分析了趨近律中的參數(shù)對彈道特性的影響,從實(shí)際工程應(yīng)用的角度出發(fā),對趨近律參數(shù)進(jìn)行了設(shè)計(jì)。然后,考慮目標(biāo)信息無法準(zhǔn)確測量的問題,引入ESO將目標(biāo)機(jī)動引起的彈目視線角速率分量當(dāng)做擾動量進(jìn)行觀測,從而實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)運(yùn)動速度的估計(jì)。最后,在4種不同的場景下,將本文提出的制導(dǎo)律與現(xiàn)有的幾種制導(dǎo)律進(jìn)行了對比分析。仿真結(jié)果表明,本文設(shè)計(jì)的基于偏置比例導(dǎo)引的落角約束滑模制導(dǎo)律能夠以期望的落角和較小的脫靶量打擊靜止目標(biāo)與機(jī)動目標(biāo)。