固定機(jī)械結(jié)合面法向接觸剛度分形模型*

譚文兵，蘭國生，張學(xué)良，孫 萬，溫淑花，陳永會

(太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

0 引言

機(jī)械結(jié)構(gòu)中結(jié)合面不僅分布廣泛，而且起著重要的作用，尤其在各種高精密設(shè)備中，結(jié)合面接觸剛度對整機(jī)的精度和性能有重要影響，有研究表明，機(jī)床60%～80%剛度[1]，來自結(jié)合面，而機(jī)床總剛度直接影響著零件的加工精度?？梢?，對結(jié)合面接觸剛度的研究意義重大。

對于機(jī)械結(jié)合面接觸剛度的研究，文獻(xiàn)[2]應(yīng)用分形理論，首次提出了尺度獨(dú)立的結(jié)合面法向接觸剛度分形模型。文獻(xiàn)[3]結(jié)合修正的W-M函數(shù)，建立了考慮域擴(kuò)展因子影響的結(jié)合面法向剛度改進(jìn)模型，之后人們對結(jié)合面接觸剛度模型做了進(jìn)一步的研究[4-6]，然而均未考慮結(jié)合面微凸體的彈塑性變形，僅考慮了微凸體的彈性和塑性變形。文獻(xiàn)[7]提出了考慮微凸體彈塑性變形階段影響的結(jié)合面剛度模型，并分析了相關(guān)因素對結(jié)合面剛度的影響，然而存在的問題是，該模型微凸體彈塑性變形階段的變形機(jī)制是以插值法得到，不能準(zhǔn)確表達(dá)該階段的真實(shí)規(guī)律，且與文獻(xiàn)[8]得到的結(jié)果存在一定的誤差。文獻(xiàn)[9]應(yīng)用文獻(xiàn)[8]的研究成果，建立了考慮微凸體彈塑性變形影響的結(jié)合面剛度統(tǒng)計(jì)學(xué)模型。文獻(xiàn)[10-12]應(yīng)用文獻(xiàn)[8]的研究成果，分別提出了考慮微凸體彈塑性變形影響的結(jié)合面法向剛度二維分形模型和切向剛度分形模型，以及結(jié)合面法向剛度三維分形模型，并通過仿真得到了相應(yīng)的結(jié)論，但是均未充分考慮微凸體彈塑性接觸變形階段接觸載荷和接觸剛度與接觸面積間的力學(xué)關(guān)系。此外，文獻(xiàn)[13]基于結(jié)合面基本分形理論，對結(jié)合面微凸體彈性接觸變形階段法向剛度的計(jì)算存在問題，主要體現(xiàn)在法向剛度的計(jì)算過程中：對于MB分形模型，忽略了結(jié)合面上單個(gè)微凸體在法向上的壓縮變形過程，而在橫向上表現(xiàn)為微凸體間不斷融合形成更大的微凸體，即目標(biāo)接觸點(diǎn)接觸面積在橫向上不斷融合增大，從這里可以看出，文獻(xiàn)[13]中計(jì)算得到的彈性階段剛度的理論計(jì)算并不是單個(gè)微凸體上的法向剛度。文獻(xiàn)[12,14]也存在同樣的問題。

鑒于此，基于結(jié)合面基本分形理論，應(yīng)用極限的思想，對結(jié)合面單個(gè)微凸體彈性階段法向剛度進(jìn)行修正；基于文獻(xiàn)[8]的研究成果，應(yīng)用結(jié)合面基本分形理論，考慮了單個(gè)微凸體彈塑性變形階段接觸載荷、接觸剛度與接觸面積間的力學(xué)關(guān)系，對該階段單個(gè)微凸體法向載荷以及法向剛度算法進(jìn)行了改進(jìn)，進(jìn)而建立了結(jié)合面法向接觸剛度分形模型。通過與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，表明所建模型能較好的預(yù)測固定結(jié)合面靜剛度。

1 微凸體的接觸變形

1.1 微凸體彈性接觸變形階段

圖1為結(jié)合面微凸體與剛性平面接觸前后變形示意圖，微凸體處于彈性接觸狀態(tài)時(shí)，變形量為δ，接觸面積a以及接觸載荷pe的關(guān)系為：

a=πRδ

(1)

(2)

(a) 接觸前 (b) 接觸后 圖1 理想剛性平面與微凸體接觸

1.2 微凸體彈塑性接觸變形階段

微凸體彈性臨界變形量為[15]：

(3)

當(dāng)微凸體變形量δ>δc時(shí)，開始出現(xiàn)屈服現(xiàn)象。研究結(jié)果表明[8]，在δc≤δ≤110δc，微凸體發(fā)生彈塑性變形，細(xì)分為兩個(gè)區(qū)域，對應(yīng)的變形量，微接觸面積以及載荷間的變形機(jī)制為：

當(dāng)δc≤δ≤6δc時(shí)

(4)

(5)

當(dāng)6δc≤δ≤110δc時(shí)

(6)

(7)

1.3 微凸體塑性變形階段

當(dāng)δ>δp=110δc時(shí)，微凸體處于塑性接觸狀態(tài)，微接觸面積與載荷為：

a=2πRδ

(8)

pp=2πRδH=Ha

(9)

2 結(jié)合面基本分形理論

結(jié)合面微接觸點(diǎn)的面積密度分布函數(shù)為[16]：

(10)

(11)

此時(shí)微凸體變形量為：

(12)

(13)

2.1 微凸體彈性接觸變形階段法向剛度修正算法

圖2為微凸體已發(fā)生變形的輪廓，對于接觸長度為l(或者說接觸面積為a)的微凸體，其任意時(shí)刻的變形量δu與接觸面積au的關(guān)系可表達(dá)為[17]：

(14)

(15)

則當(dāng)接觸面積為a時(shí)，法向接觸剛度為：

(16)

圖2 微凸體的變形輪廓

可見經(jīng)修正算法得到的結(jié)合面單個(gè)微凸體的法向接觸剛度與經(jīng)典彈性赫茲接觸理論得到的相統(tǒng)一，即與式(2)對變形量的求導(dǎo)結(jié)果一致。則由式(1)、式(16)可得，當(dāng)接觸面積為a時(shí)，結(jié)合面微凸體彈性接觸變形階段法向接觸剛度為：

(17)

由式(1)、式(2)、式(11)可得當(dāng)接觸面積為a時(shí)，法向接觸載荷為：

(18)

2.2 微凸體彈塑性階段法向載荷和剛度改進(jìn)算法

2.2.1 彈塑性接觸變形第一階段法向載荷的計(jì)算

將式(4)代入式(5)得：

(19)

進(jìn)而將式(3) 、式(11)、式(12)代入式(19)得微凸體彈塑性一區(qū)法向接觸載荷分形表達(dá)式為：

(20)

這里需要說明的是，基于文獻(xiàn)[8]提出的分形模型[10-12]均未考慮單個(gè)微凸體在彈塑性接觸變形階段其法向載荷與接觸面積間的關(guān)系，即式(4)與式(5)。本文考慮了法向載荷與接觸面積間的關(guān)系，基于式(19)，進(jìn)而得到單個(gè)微凸體彈塑性接觸變形第一階段法向接觸載荷分形表達(dá)式。與文獻(xiàn)[10-12]對應(yīng)表達(dá)式不同，在各個(gè)參數(shù)的指數(shù)上相區(qū)別。

2.2.2 彈塑性接觸變形第一階段法向剛度的計(jì)算

由式(5)得：

(21)

將式(4)代入式(5)得：

(22)

進(jìn)而由式(3)、式(11)、式(12)可得彈塑性一區(qū)接觸剛度分形表達(dá)式為：

(23)

基于文獻(xiàn)[8]提出的結(jié)合面法向剛度分形模型[10,12]未考慮單個(gè)微凸體在彈塑性接觸變形階段其法向剛度與接觸面積間的關(guān)系，即式(4)與式(21)，在此考慮了法向剛度與接觸面積間的關(guān)系，基于式(22)，進(jìn)而得到單個(gè)微凸體彈塑性接觸變形第一階段法向接觸剛度分形表達(dá)式。與文獻(xiàn)[10,12]對應(yīng)表達(dá)式不同，可在各個(gè)參數(shù)的指數(shù)上加以區(qū)別。

2.2.3 彈塑性接觸變形第二階段法向載荷與法向剛

度的計(jì)算

彈塑性第二階段法向載荷及法向剛度算法類同彈塑性接觸變形第一階段。將式(3)、式(6)、式(11)、式(12)代入式(7)，得微凸體彈塑性接觸變形第二階段法向載荷為：

(24)

由式(3)、式(6)、式(7)、式(11)、式(12)可得微凸體彈塑性接觸變形第二階段法向剛度為：

(25)

3 結(jié)合面法向接觸剛度模型

結(jié)合面實(shí)際總接觸面積為：

(26)

將式(10)代入式(26)得：

(27)

結(jié)合面總法向接觸剛度為：

(28)

將式 (10)、式(17)、式(23)、式(25)代入式(28)得：

(29)

結(jié)合面總法向載荷為：

(30)

將式(9)、式(10)、 式(18)、 式(19) 、式(24)代入式(30)得：

當(dāng)1

(31)

當(dāng)D=1.5時(shí)

(32)

將式(29)、式(31)、式(32)無量綱化得：

(33)

當(dāng)1

P*=

(34)

當(dāng)D=1.5時(shí)

(35)

式中，

g4(D)=

由式(34)、式(35)可見：本文模型中處于彈塑性接觸變形第一、第二階段的微凸體總載荷以及塑性接觸階段總載荷表達(dá)式形式統(tǒng)一；由式(33)可見：處于彈塑性接觸變形第一、第二階段的微凸體總剛度表達(dá)式形式統(tǒng)一，這與文獻(xiàn)[10-12]模型對應(yīng)關(guān)系式相區(qū)別。

4 模型的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用文獻(xiàn)[6]中的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。構(gòu)成結(jié)合面的上下接觸粗糙面材料均為灰鑄鐵，無潤滑介質(zhì)，材料彈性模量E1=E2=130 GPa，泊松比為v1=v2=0.25,材料硬度為H1=H2=231 MPa。表1和表2分別為粗糙表面參數(shù)和等效粗糙表面參數(shù)。

表1 粗糙表面參數(shù)

表2 等效粗糙表面參數(shù)

(a) 結(jié)合面l理論與實(shí)驗(yàn)剛度值

(b) 結(jié)合面2理論與實(shí)驗(yàn)剛度值圖3 模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比

圖3為配合接觸對1和配合接觸對2的理論預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值的對比結(jié)果，可見，模型預(yù)測值和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)趨勢相同，總體上，相較于JZZ模型[14]和Wang模型[6]，所建模型預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值更為接近，對結(jié)合面接觸剛度的預(yù)測得到了一定的提高。對于配合接觸對1，如圖3a所示，當(dāng)法向載荷小于1.136 MPa時(shí)，理論預(yù)測值小于實(shí)驗(yàn)值，當(dāng)法向載荷大于1.136 MPa時(shí)，理論預(yù)測值大于實(shí)驗(yàn)值。對于配合接觸對2，如圖3b所示，當(dāng)法向載荷大于1.136 MPa且小于2.273 MPa時(shí)，理論預(yù)測值大于實(shí)驗(yàn)值，當(dāng)法向載荷小于1.136 MPa且大于2.273 MPa時(shí)，理論預(yù)測值小于實(shí)驗(yàn)值。本文模型未考慮結(jié)合面微凸體間的相互作用、摩擦因素是造成誤差的重要因素，因此有待做進(jìn)一步完善。

5 結(jié)論

基于結(jié)合面基本分形理論，通過對結(jié)合面單個(gè)微凸體彈性階段法向剛度以及對結(jié)合面單個(gè)微凸體彈塑性接觸變形階段的法向載荷以及法向剛度的改進(jìn)，建立了包含彈性、彈塑性、塑性三種變形機(jī)制的結(jié)合面法向接觸剛度分形模型。所建模型預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值的對比結(jié)果驗(yàn)證了理論改進(jìn)算法的有效性，所建模型能較好的預(yù)測結(jié)合面法向接觸剛度。

所建模型沒有考慮結(jié)合面間的潤滑介質(zhì)，且潤滑介質(zhì)對結(jié)合面接觸剛度存在顯著影響，所以模型不適于預(yù)測有潤滑介質(zhì)存在的情形。