初始條件優(yōu)化的正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）預測模型

李 曄， 丁圓蘋

（河南農業(yè)大學信息與管理科學學院，鄭州 450002）

灰色系統(tǒng)理論自20世紀80年代創(chuàng)立以來，因其適用于“小樣本、貧信息”特征的數(shù)據(jù)建模而受到學者們的廣泛關注. 灰色預測模型是灰色系統(tǒng)理論的重要分支之一［1］，由于其只需要少量數(shù)據(jù)便可實現(xiàn)預測的特點，已被廣泛運用到工程、醫(yī)療、農業(yè)等多個領域［2-4］.

傳統(tǒng)灰色預測模型以實數(shù)作為研究對象，然而隨著科學技術的迅速發(fā)展，人們面臨的系統(tǒng)變得更加復雜，受認知程度所限，越來越多的數(shù)據(jù)不能以確切的數(shù)值表達，而區(qū)間灰數(shù)的表示方法則更符合人們對系統(tǒng)內數(shù)據(jù)的把握和認知［5］. 因此，建立面向區(qū)間灰數(shù)的預測模型已成為學者們的研究熱點之一. 現(xiàn)有文獻中，學者們利用“區(qū)間灰數(shù)白化”的思想，通過信息分解法［6-7］、幾何坐標轉換法［8-9］、灰色屬性法［10-13］將區(qū)間灰數(shù)序列轉化為實數(shù)序列，然后對實數(shù)序列建立灰色預測模型，再反推得到區(qū)間灰數(shù)上下界的模擬值和預測值. 但是，上述研究均是在灰數(shù)取值分布信息未知的前提下進行的.

在灰色系統(tǒng)理論中，作為描述一個灰數(shù)對其取值范圍內不同數(shù)值“偏愛程度”的白化權函數(shù)，在區(qū)間灰數(shù)預測中受到了學者們的深入研究. 文獻［14］定義了白化權函數(shù)已知的核與灰度，對已有研究中的核和灰度進行了拓展；文獻［15］在典型白化權函數(shù)已知的前提下，將區(qū)間灰數(shù)序列所蘊含的信息轉換為面積和中點坐標等實數(shù)序列，然后對實數(shù)序列建立灰色預測模型，有效解決了白化權函數(shù)已知的區(qū)間灰數(shù)預測問題；文獻［16］在文獻［15］的基礎上對區(qū)間灰數(shù)的白化過程進行了優(yōu)化，提出了含有遺傳算法的白化權函數(shù)已知的區(qū)間灰數(shù)預測模型；文獻［17］建立了三角白化權函數(shù)已知的區(qū)間灰數(shù)預測模型，并將其運用到黃河寧蒙河段巴彥高勒站的凌期日均流量預測；文獻［18］以灰色異構序列為建模對象，提出了白化權函數(shù)已知的灰色異構數(shù)據(jù)預測模型，并將其運用到災害應急物資需求預測. 前述文獻均是白化權函數(shù)已知的區(qū)間灰數(shù)預測模型，運用白化權函數(shù)對區(qū)間灰數(shù)的分布信息進行了補充，有效提高了模型的預測精度.

現(xiàn)實生活中大量的不確定性信息符合某種規(guī)律分布，而正態(tài)分布是存在最為廣泛的一種，具有普適性［19］.由于其可以用來描述不確定信息的取值概率情況，可被視為一種特殊的白化權函數(shù)，并運用到區(qū)間灰數(shù)預測模型. 文獻［19］通過正態(tài)分布隨機函數(shù)實現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)序列與實數(shù)序列的信息等效轉換，然后對正態(tài)分布隨機白化序列進行建模；文獻［20］結合區(qū)間灰數(shù)上下界與正態(tài)分布參數(shù)之間的轉換關系以及實數(shù)序列之間存在相互影響和相互制約的特點，建立區(qū)間灰數(shù)MGM（1，2）預測模型. 基于此，本文將以正態(tài)分布作為區(qū)間灰數(shù)的取值信息補充，構建正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)預測模型.

模型精度是判別建模有效性的標準之一，為提升灰色預測模型的建模精度，眾多學者對模型初始條件的優(yōu)化進行研究. 關于初始條件優(yōu)化主要有三種方法：①設置不同的初始值. 文獻［21］在傳統(tǒng)灰色預測模型求解初始條件的基礎上，增加修正項ε，對初始條件進行優(yōu)化；文獻［22］結合“新信息優(yōu)先原理”，將x(1)(n)作為初始值從而求得優(yōu)化的初始條件；文獻［23］在文獻［22］的基礎上進行改進，以x(1)(n)+ε 作為初始值求解初始條件. ②構建目標函數(shù). 文獻［24-25］結合模型的時間響應式，構建誤差平方和最小的目標函數(shù)，進而求得最優(yōu)初始條件；為體現(xiàn)初始條件優(yōu)化與模型精度檢驗的一致性原則，文獻［26］建立了相對誤差平方和最小的目標函數(shù)對初始條件進行優(yōu)化. ③構建初始條件表達式. 文獻［27］根據(jù)模型的時間響應式，結合“新信息優(yōu)先原理”，假設擬合序列經過原始點x(1)(1)和x(1)(n)，求得二者對應的初始條件表達式，并取其均值作為優(yōu)化的初始條件. 前述文獻中的初始條件優(yōu)化方法在一定程度上提高了模型的預測精度，但均忽略了對系統(tǒng)數(shù)據(jù)的充分利用，對于已經具有灰信息的區(qū)間灰數(shù)序列造成了信息浪費，影響建模精度.

綜上所述，本文基于不確定信息取值概率的正態(tài)分布，以非齊次指數(shù)形式變化的區(qū)間灰數(shù)序列為研究對象，建立正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）預測模型. 結合正態(tài)分布的參數(shù)特征，將區(qū)間灰數(shù)序列轉化為實數(shù)序列，并對實數(shù)序列建立NGM（1，1）模型. 鑒于初始條件對模型精度的影響，受文獻［27］中初始條件優(yōu)化方法的啟發(fā)，在充分利用數(shù)據(jù)信息的前提下，結合新信息優(yōu)先原理對初始條件進行優(yōu)化，最終反推區(qū)間灰數(shù)上下界的預測值.

1 基本概念

定義1［19］只知道取值范圍而不知道確切取值的數(shù)稱為灰數(shù)，既有下界xL又有上界xU的灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù)，記為?∈[xL,xU],xL＜xU.

定義2［19］用來描述一個灰數(shù)?∈[xL,xU]在其取值范圍[xL,xU]內對不同數(shù)值“偏愛”程度的函數(shù)，稱為區(qū)間灰數(shù)的白化權函數(shù). 若“偏愛”程度呈現(xiàn)正態(tài)分布特征，則稱為正態(tài)分布白化權函數(shù)，如圖1所示.

定義3［19］設連續(xù)型區(qū)間灰數(shù)?∈[xL,xU]，若真實值d ∈[xL,xU]的取值概率服從正態(tài)分布，即d～N(μ,σ2)，μ 為數(shù)學期望，σ2為方差，則稱?∈[xL,xU]為正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù).

圖1 正態(tài)分布白化權函數(shù)Fig.1 Whitening weight function of normal distribution

為NGM（1，1）模型的白化方程.

其中：a 為發(fā)展系數(shù)；b 為驅動項；c 為灰色作用量；D 為初始條件.

證明 根據(jù)式（2），在白化方程兩側同乘eat，并進行不定積分，即

則白化方程的解為

則灰色微分方程的時間響應式函數(shù)為

由x^(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1)得累減還原式為

2 模型構建

以區(qū)間灰數(shù)在取值范圍內的真實值取值概率呈正態(tài)分布作為信息補充，結合正態(tài)分布的參數(shù)特征，將區(qū)間灰數(shù)序列等效轉換為核序列和信息擴散度序列，以NGM（1，1）模型作為基礎模型對實數(shù)序列進行建模.由于模型精度受到初始條件的影響，在已有初始條件優(yōu)化方法的基礎上進行改進，充分利用所有的數(shù)據(jù)信息，求得各點對應的初始條件，并結合新信息優(yōu)先原理對初始條件賦權，進而構建初始條件優(yōu)化的正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）模型.

2.1 初始條件優(yōu)化

為了充分利用數(shù)據(jù)序列信息，本文考慮1-AGO序列中各個分量對預測模型的影響，在假設擬合點與原始點重合的情況下，計算各點對應的初始條件. 此外，基于新信息優(yōu)先原理，賦予新信息對應的初始條件較大的權重，舊信息對應的初始條件較小的權重，以初始條件的加權平均值作為預測序列優(yōu)化的初始條件，進而提升模型的預測性能.

設第k 個初始條件對應的權重為α(k)，其中

α(k)的變化滿足α(1)＜α(2)＜…＜α(n)，與新信息優(yōu)先原理下的權重設置原則一致，具有有效性.

命題1 綜合考慮全部數(shù)據(jù)序列信息，可得優(yōu)化的初始條件為

證明 根據(jù)式（4），可得

即

結合式（6）及新信息優(yōu)先原理，優(yōu)化的初始條件為

定理3 設B、Y 如定理1所述，則NGM（1，1）模型的白化方程在初始條件優(yōu)化下的解為

則灰色微分方程的時間響應式函數(shù)為

累減還原式為

2.2 正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）模型

由定義4可知，結合正態(tài)分布的參數(shù)特征，對正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)白化時，可以實現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)信息的等效轉換. 因此，可將正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)序列轉化為核序列和信息擴散度序列.

結合定義5，對實數(shù)序列分別建立初始條件優(yōu)化的NGM（1，1）預測模型，可得其累減還原式分別為：

其中：Dopt、a 和b 為初始條件優(yōu)化的核序列的NGM（1，1）預測模型的參數(shù)；D′opt、a′和b′為初始條件優(yōu)化的信息擴散度序列的NGM（1，1）預測模型的參數(shù).

根據(jù)定義4，推導還原得到區(qū)間灰數(shù)的上下界，即

2.3 建模步驟

初始條件優(yōu)化的正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）模型建模步驟如下：

Step1根據(jù)定義4，將區(qū)間灰數(shù)序列轉化為核序列和信息擴散度序列；

Step2根據(jù)定義5，分別建立核序列和信息擴散度序列的NGM（1，1）模型；

Step3結合式（6）～（9），對所建立的兩個NGM（1，1）模型的初始條件進行優(yōu)化；

Step4 根據(jù)式（13）～（14），求得核序列和信息擴散度序列的模擬值并推導區(qū)間灰數(shù)上下界.

3 算例分析

為證明本文模型的有效性和實用性，利用所建立的初始條件優(yōu)化的正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）模型對某航空公司2008—2018年的航空貨運量進行模擬和預測，數(shù)據(jù)源于文獻［29］. 為進一步檢驗模型的建模效果，同時利用文獻［30］中的模型進行建模. 原始數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 某航空公司2008—2018年航空貨運量Tab.1 The Air cargo volumes of an airline from 2008 to 2018

以2008—2017年的數(shù)據(jù)進行建模，對2018年的數(shù)據(jù)進行預測，具體步驟如下：Step1根據(jù)定義4，將區(qū)間灰數(shù)序列轉化為核序列和信息擴散度序列，得

Step2根據(jù)定義5，分別建立核序列和信息擴散度序列的NGM（1，1）模型，并結合式（8）～（11）對初始條件進行優(yōu)化，得

Step3再根據(jù)式（13）～（14）推導區(qū)間灰數(shù)上下界的模擬值. 具體數(shù)據(jù)見表2.

表2 航空貨運量的模擬、預測值及誤差Tab.2 Simulated values，forecast values and errors of the air cargo volumes

觀察表2，本文模型的上、下界平均相對誤差分別為2.637%和3.091%，預測誤差分別為0.754%和0.946%，均明顯優(yōu)于文獻［30］中的模型. 這主要是由于在建模方法方面，文獻［30］在缺乏區(qū)間灰數(shù)取值分布信息的情況下將區(qū)間灰數(shù)白化為實數(shù)序列，而本文以“不確定信息廣泛存在正態(tài)分布規(guī)律”作為區(qū)間灰數(shù)的取值信息補充，將區(qū)間灰數(shù)序列等效轉化為實數(shù)序列，“正態(tài)分布”取值信息的補充降低了區(qū)間灰數(shù)的灰性，有利于模型精度的提升；在模型選擇方面，文獻［30］選用擬合齊次指數(shù)增長的DGM（1，1）模型，本文選用既適用于齊次指數(shù)增長，也適用于非齊次指數(shù)增長的NGM（1，1）模型，相比較而言，本文選用的模型具有普適性，有利于數(shù)據(jù)變化規(guī)律的挖掘和發(fā)展趨勢的預測；在模型優(yōu)化方面，文獻［30］未對影響建模精度的初始條件進行優(yōu)化，而本文結合新信息優(yōu)先原理對初始條件進行優(yōu)化，從理論上既能提高建模精度又遵循了灰色系統(tǒng)建模的新信息優(yōu)先原則. 綜上所述，本文的建模方法有利于提升模型預測性能.

4 結語

區(qū)間灰數(shù)是一種具有灰信息的數(shù)據(jù)，與實數(shù)建模相比，區(qū)間灰數(shù)建模更為復雜. 本文在不確定信息廣泛存在正態(tài)分布的背景下，結合正態(tài)分布的參數(shù)特征，實現(xiàn)了區(qū)間灰數(shù)序列到實數(shù)序列的等效轉換，并分別建立實數(shù)序列的NGM（1，1）預測模型. 鑒于初始條件對模型精度的影響，充分利用數(shù)據(jù)序列信息及新信息優(yōu)先原理對其進行優(yōu)化. 最后，將模型應用于某航空公司2008—2018年的航空貨運量預測，結果表明本文所建立的初始條件優(yōu)化的正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）模型具有有效性和實用性.