雙曲線模型在地鐵隧道道床沉降監(jiān)測中的應(yīng)用

◇三亞水文地質(zhì)工程地質(zhì)勘察院 劉 偉

隨著城市經(jīng)濟(jì)不斷發(fā)展和地面交通量的飽和，地鐵已成為現(xiàn)今現(xiàn)代化必不可少的公共交通。但是，運(yùn)營期的軌道長時(shí)間使用，難免會(huì)發(fā)生軌道道床沉降，過大的沉降變形會(huì)危及到列車的行駛安全，因此進(jìn)行科學(xué)的、有針對(duì)性的地鐵隧道道床的沉降監(jiān)測的同時(shí)，還要建立模型進(jìn)行道床沉降分析預(yù)報(bào)，提前采取預(yù)防措施。本文結(jié)合武漢某地鐵監(jiān)測實(shí)例，對(duì)地鐵隧道道床沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析研究，對(duì)變形預(yù)報(bào)的幾種常用模型，進(jìn)行了簡要介紹，分析比較了其優(yōu)勢與不足，分析比較了模型的適用性，結(jié)果表明雙曲線模型用于沉降預(yù)測的精度較高。

20世紀(jì)中葉以來，隨著城市化進(jìn)展速度不斷的加快，各國城市人口增長迅猛，城市建設(shè)規(guī)?？涨皵U(kuò)張。伴隨而來的便是城市地面交通量呈急劇增長的態(tài)勢，地面交通已經(jīng)不堪重負(fù)，導(dǎo)致了城市交通堵塞，人們出行難，用車難等一系列問題。所以為了緩解地面交通問題，合理開發(fā)和利用地下空間，使其為公共交通服務(wù)成了全世界共同關(guān)注的課題。有人說:“19世紀(jì)是橋梁誕生的世紀(jì)，20世紀(jì)是高層建筑蓬勃發(fā)展的世紀(jì)，那么21世紀(jì)則是人類開發(fā)和利用地下空間的世紀(jì)”。

然而，與其他地下工程相似，地鐵隧道一般建在軟弱的第四紀(jì)沖積土層，且地質(zhì)情況較為復(fù)雜，地下各類管線交錯(cuò)穿插，十分密集。施工又不可避免的穿越城市相較繁華的商業(yè)中心。所以必將引起地鐵隧道道床，甚至整個(gè)地鐵隧道的縱向沉降，一定范圍內(nèi)的變形沉降可視為正常情況。然而變形沉降量超過了正常情況下的變形界限，尤其是不均勻沉降。將會(huì)引起地鐵隧道道床發(fā)生沉降變形，給地鐵正常運(yùn)行帶來隱患。所以為了避免由于不均勻沉降對(duì)地鐵隧道造成的巨大危害，保護(hù)隧道道床及隧道的整體結(jié)構(gòu)，避免周圍建筑物受影響，必須對(duì)地鐵隧道道床進(jìn)行沉降監(jiān)測，對(duì)監(jiān)測數(shù)據(jù)及時(shí)分析反饋，提前采取措施，防止事故發(fā)生。

1 常用的預(yù)報(bào)模型

目前常用的用于地鐵隧道道床沉降的預(yù)測方法主要有：雙曲線模型，冪多項(xiàng)式模型，時(shí)間序列模型和灰色模型。

1.1 雙曲線模型

在使用該模型時(shí)有一個(gè)默認(rèn)的近似假設(shè)，即沉降量與時(shí)間成雙曲線關(guān)系。在作圖時(shí)將“沉降—時(shí)間”作為時(shí)間起點(diǎn)的時(shí)間零點(diǎn)，沉降曲線的關(guān)系是滿足雙曲線公式，因此時(shí)間與沉降之間的關(guān)系雙曲線表示。

兩邊取倒數(shù)得：

其中：

總的來說，雙曲線模型清晰易懂，簡單實(shí)用?？山鉀Q地鐵隧道道床的非線性沉降問題。該模型在應(yīng)用于地鐵隧道道床的沉降預(yù)測方面并取得了良好的效果。并且沉降達(dá)到一定穩(wěn)定程度后，模型效果更加準(zhǔn)確。

1.2 冪多項(xiàng)式模型

此模型一般用在路堤沉降的預(yù)測，很少有研究人員將該模型用在地鐵隧道道床的沉降預(yù)測中，直到劉加灣[10]首次在其論文中將冪多項(xiàng)式用在地鐵隧道沉降預(yù)測中，并取得很好的預(yù)測效果，其原理是：地鐵隧道道床沉降量隨著時(shí)間的增大而不斷增大，但其增長速度會(huì)逐漸減小并趨于某一定值。同樣，沉降量的倒數(shù)和時(shí)間倒數(shù)也必須滿足：當(dāng)時(shí)間不斷往后推移，即時(shí)間不斷增大時(shí)，時(shí)間倒數(shù)減小，那么沉降的倒數(shù)也相應(yīng)的減小，那么沉降量便會(huì)增加。

利用該模型時(shí)參數(shù)得求解可以利用Excel求得，方便快捷，但是冪多項(xiàng)式模型只是一種純數(shù)學(xué)模型，可以用來計(jì)算，不能用來分析地鐵隧道道床沉降的機(jī)理等實(shí)際問題。

1.3 時(shí)間序列模型

通過觀測數(shù)據(jù)的整個(gè)過程我們可以發(fā)現(xiàn)，不管采取時(shí)間排序還是空間位置排序，這兩種方法之間都會(huì)存在不同程度的自相關(guān)關(guān)系，但是我們常用來處理該類數(shù)據(jù)的方法都假設(shè)他們之間沒有相關(guān)性，都是獨(dú)立的數(shù)據(jù)，因此從嚴(yán)格意義而言這種方法的處理方式不符合該此類項(xiàng)目的數(shù)據(jù)處理，所以需要新的方法來解決。此次介紹的方法是一種動(dòng)態(tài)的處理方法，誕生于20世紀(jì)20年代的一種方法，經(jīng)過后來的發(fā)展，廣泛用于多個(gè)領(lǐng)域。最大的優(yōu)點(diǎn)在于觀測得到的數(shù)據(jù)是不連續(xù)的，但是在觀測過程中需要考慮到時(shí)間順序，通過分析前面所得的數(shù)據(jù)可以初步也測后面的結(jié)果，利用所得的數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行建立數(shù)學(xué)模型，用來分析具有的相關(guān)特征。它與通常所用的回歸模型有很大的區(qū)別：主要區(qū)別在于回歸模型用來分析某一個(gè)隨機(jī)變量與其他變量之間的關(guān)系，但對(duì)于某一時(shí)間序列下所獲得的一組數(shù)據(jù)表示其之間的相關(guān)關(guān)系，此外，一般而言在實(shí)際的生產(chǎn)工程中的情況都是很復(fù)雜的，不能用某一條曲線或者某一個(gè)公式來展示，因此我們需要利用在這個(gè)隨機(jī)過程中所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)之間的關(guān)系來表示特殊的規(guī)律。

在所有的時(shí)間序列的不同時(shí)刻的隨機(jī)變量，彼此之間有相互關(guān)系，因此這就是一種較復(fù)雜的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)模型。

1.4 灰色模型

我國著名學(xué)者鄧聚龍教授于20世紀(jì)80年代提出了一種新的用來解決信息不完善的分析方法，稱之為灰色模型，經(jīng)過后期的發(fā)展已經(jīng)得到了很廣泛的應(yīng)用。一般傳統(tǒng)的方法認(rèn)為系統(tǒng)產(chǎn)生的過程就是隨機(jī)變量產(chǎn)生的過程，從統(tǒng)計(jì)角度概率論出發(fā)，對(duì)所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，但是如果對(duì)于該過程中所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)較少，不具有統(tǒng)計(jì)的最劇本要求時(shí)，該種方法的使用就遇到了困難，需要新的方法來解決。灰色分析法將隨機(jī)過程認(rèn)為是在一定范圍內(nèi)變化的灰色過程，經(jīng)再次此過程產(chǎn)生的雜亂的數(shù)據(jù)整理為一定的數(shù)列數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上做研究。即用有些數(shù)據(jù)是已經(jīng)知道的，有些數(shù)據(jù)是不知道的樣本數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，通過對(duì)這些“小樣本”數(shù)據(jù)進(jìn)行開發(fā)研究，提取有用的信息的過程。雖然灰色理論產(chǎn)生的數(shù)據(jù)是雜亂無章的，但具有整體功能，因此灰數(shù)的產(chǎn)生就是尋找規(guī)律。

Gm（1，1）灰色模型是灰色系統(tǒng)理論里的基本模型，其原理是將一些隨機(jī)上下波動(dòng)的離散數(shù)據(jù)序列進(jìn)行累加生成有規(guī)律的數(shù)據(jù)序列，然后進(jìn)行建模預(yù)測。地鐵沉降監(jiān)測的數(shù)據(jù)通常都是非等時(shí)距的時(shí)間序列，因此在建立灰色模型前，首先要對(duì)沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將其轉(zhuǎn)化為等時(shí)距數(shù)據(jù)序列。

2 工程實(shí)例

結(jié)合武漢某地鐵四期的道床實(shí)測數(shù)據(jù)，利用經(jīng)典曲線方法構(gòu)建地鐵隧道道床沉降的雙曲線模型，從而對(duì)該隧道道床的沉降變形趨勢做預(yù)測。

（1）構(gòu)建雙曲線模型：

（2）取首期觀測時(shí)間，即3月11日為時(shí)間零點(diǎn)，這時(shí)認(rèn)為它的沉降變形量為零，為雙曲線模型的起始點(diǎn)（0，0）。

（3）以R1為例，計(jì)算其雙曲線模型，令：

已知第一期為時(shí)間零點(diǎn)，令第二期相對(duì)于第一期沉降記作2過程，第三期相對(duì)于第一期沉降記作3過程，第四期相對(duì)于第一期沉降記作4過程。則。

已知一周期為20天，則：

第二期相對(duì)于第一期，第三期相對(duì)于第一期，第四期相對(duì)于第一期的沉降量。所以沉降量如下：

其中：

所以帶入式子可求得：

所以可求得：

帶入式（9）得雙曲線模型：

所以計(jì)算到這就可以得出R1的雙曲線沉降預(yù)報(bào)模型，將任意時(shí)刻的帶入，便可得知該時(shí)刻的R1的道床沉降量。

按照此方法，可以將所有監(jiān)測點(diǎn)的沉降預(yù)測模型求出來如下：

表1 各點(diǎn)的沉降預(yù)測曲線

驗(yàn)證模型是否正確：

現(xiàn)已知第五期的實(shí)際觀測高程，如表2第五列所示。令第五期觀測距第一期觀測間隔為，則易知。帶入求得的雙曲線模型，可得以下結(jié)果：

表2 各點(diǎn)的預(yù)計(jì)和實(shí)測高程以及預(yù)計(jì)和實(shí)際沉降量結(jié)果

其中，第五期實(shí)際高程表示實(shí)際觀測結(jié)果，第五期預(yù)計(jì)高程表示通過雙曲線預(yù)報(bào)模型求得的理論高程，第五期相對(duì)于第一期預(yù)計(jì)沉降量表示表示通過雙曲線預(yù)報(bào)模型計(jì)算出來的第五期相對(duì)于第一期的理論沉降量,第五期相對(duì)于第一期的實(shí)際沉降量為第五期高程與第一期高程之間的差值。

通過計(jì)算，我們可以把所有點(diǎn)的沉降趨勢用雙曲線模型表示出來，并繪制第五期相對(duì)于第一期的預(yù)計(jì)和實(shí)際沉降量對(duì)比如圖1所示。

圖1 第五期相對(duì)于第一期的預(yù)計(jì)和實(shí)際沉降量對(duì)比圖

可以看出，除了R2，R3兩個(gè)點(diǎn)的預(yù)計(jì)沉降量和實(shí)際沉降量相差較大，大約差了1 mm～1.5 mm。剩下的監(jiān)測點(diǎn)預(yù)計(jì)沉降累積量和實(shí)際沉降累積量大致相同。這就證明了雙曲線模型用在地鐵隧道道床沉降預(yù)測具有可行性。

3 結(jié)語

雙曲線沉降預(yù)測計(jì)算方法是以現(xiàn)場實(shí)測沉降數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，并結(jié)合沉降隨時(shí)間的變化曲線、沉降量的變化趨勢情況，對(duì)地鐵隧道道床的最終沉降進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測效果較好，計(jì)算誤差較小，能夠較為準(zhǔn)確的預(yù)測地鐵隧道道床沉降量。在上述計(jì)算過程中，基本上沒有涉及到土體的各項(xiàng)物理和力學(xué)性質(zhì)參數(shù)，能夠適用于各種工程地質(zhì)條件，計(jì)算過程簡單快捷，廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程的最終沉降預(yù)測。