1/n 冷儲(chǔ)備系統(tǒng)可靠性評估通用模型*

李志強(qiáng)，曾 翔，顧鈞元，徐廷學(xué)

（1.解放軍91388 部隊(duì)，廣東 湛江 524024；2.海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001）

0 引言

復(fù)雜系統(tǒng)中每個(gè)元件都具有很高的可靠度，如果想進(jìn)一步提高單個(gè)元件的可靠度，難度大、成本高、成效不明顯。因此，提高復(fù)雜系統(tǒng)可靠性水平的普遍方式就是采用冗余設(shè)計(jì)［1-2］。對于難以停機(jī)維修的復(fù)雜系統(tǒng)，如處于極端環(huán)境條件下的裝置、必須長期處于運(yùn)行狀態(tài)的設(shè)備、停機(jī)將帶來巨大經(jīng)濟(jì)損失的系統(tǒng)，采用冗余設(shè)計(jì)是保證系統(tǒng)高可靠性最有效、最直接的方法。在并聯(lián)系統(tǒng)中，冗余結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)包括3 種方式：熱儲(chǔ)備方式，當(dāng)工作元件工作時(shí)，儲(chǔ)備元件也工作；溫儲(chǔ)備方式，當(dāng)工作元件工作時(shí)，儲(chǔ)備元件處于休眠狀態(tài)；冷儲(chǔ)備方式，當(dāng)工作元件工作時(shí)，儲(chǔ)備元件不工作。其中，已有諸多學(xué)者針對熱儲(chǔ)備系統(tǒng)進(jìn)行了深入研究［3-6］。因此，冗余設(shè)計(jì)的研究重點(diǎn)逐漸從熱儲(chǔ)備系統(tǒng)延伸到溫儲(chǔ)備系統(tǒng)和冷儲(chǔ)備系統(tǒng)領(lǐng)域［7-11］。

相比于熱儲(chǔ)備系統(tǒng)，冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中備份元件具有接近于0 的失效率，系統(tǒng)具有最高的可靠度。溫儲(chǔ)備系統(tǒng)作為熱儲(chǔ)備系統(tǒng)和冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的折中選擇，比熱儲(chǔ)備系統(tǒng)消耗較少的電源、元件具有較低的失效率，比冷儲(chǔ)備系統(tǒng)備份元件模式轉(zhuǎn)換更迅速。李振等［12］提出了將溫儲(chǔ)備系統(tǒng)和冷儲(chǔ)備系統(tǒng)近似于熱儲(chǔ)備系統(tǒng)的可靠性歸一計(jì)算方法。在溫儲(chǔ)備系統(tǒng)中，儲(chǔ)備件在儲(chǔ)備期間失效率相對工作狀態(tài)時(shí)低，但是，其失效率是確實(shí)存在的。在冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中，儲(chǔ)備件失效率為0，應(yīng)用該近似算法進(jìn)行可靠性評估時(shí)因參數(shù)設(shè)置的不同而出現(xiàn)不同程度的誤差。此外，近似算法中假設(shè)元件的故障失效時(shí)間服從指數(shù)分布，對于不同分布類型的失效函數(shù)無法應(yīng)用文獻(xiàn)［12］中的方法進(jìn)行確定。鑒于復(fù)雜系統(tǒng)中，元件壽命主要服從指數(shù)分布模型、正態(tài)分布模型和威布爾分布模型，本文建立的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)可靠性評估通用模型以這3 種分布類型為對象展開研究。

1 模型構(gòu)建

如圖1 所示，n 元件冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)故障樹模型，其中，元件A1為初始元件，元件A2～An為冷儲(chǔ)備元件。假設(shè)所有元件統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，所有儲(chǔ)備元件從左到右依次使用，當(dāng)所有元件失效時(shí)，冷儲(chǔ)備系統(tǒng)失效。當(dāng)元件A1在T1時(shí)刻失效時(shí)，元件A2代替A1繼續(xù)工作運(yùn)行，當(dāng)元件A2在T1+T2時(shí)刻失效時(shí)，元件A3代替A2繼續(xù)運(yùn)行，依此類推。假設(shè)元件更換瞬間完成，時(shí)間段T1，T2，…服從獨(dú)立同分布。因此，在冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中作出如下假設(shè)：

1）冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中所有元件統(tǒng)計(jì)獨(dú)立；

2）任務(wù)期間冷儲(chǔ)備系統(tǒng)不可維修；

3）冷儲(chǔ)備系統(tǒng)元件之間沒有共因失效，即儲(chǔ)備元件在使用之前不會(huì)發(fā)生失效；

4）系統(tǒng)故障檢測完全可靠；

5）冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中儲(chǔ)備元件啟動(dòng)失效的概率為0，基于此，冷儲(chǔ)備元件相對于熱儲(chǔ)備元件和溫儲(chǔ)備元件更為可靠；

6）冷儲(chǔ)備系統(tǒng)及其元件均為二狀態(tài)，即工作運(yùn)行狀態(tài)與故障失效狀態(tài)。

圖1 具有n 個(gè)元件的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)

用Sn表示冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中第n 個(gè)元件失效時(shí)的時(shí)間，則有：

根據(jù)大數(shù)定理［13］，有：

式中，μ 表示冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中每個(gè)元件的平均失效時(shí)間。

根據(jù)中心極限定理，Sn的近似正態(tài)分布為：

式中，σ 表示Ti的標(biāo)準(zhǔn)差。

則冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的不可靠度近似為：

式中，Φ（·）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的分布函數(shù)。

2 不同分布模型的可靠性評估方法

2.1 指數(shù)分布模型

基于近似評估模型式（4），故障失效時(shí)間服從指數(shù)分布的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)不可靠度表示為：

式中，μ 為冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中元件的平均失效時(shí)間，σ 為Ti的標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)系統(tǒng)中元件的故障失效時(shí)間服從指數(shù)分布時(shí)，μ=σ，erf（·）為誤差函數(shù)，有：

作為對比，建立圖1 所示冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，如下頁圖2 所示。

圖2 冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的Markov 模型

由于冷儲(chǔ)備系統(tǒng)處于各個(gè)狀態(tài)的概率值之和等于1，即：

應(yīng)用拉氏變換與反拉氏變換即可求解Markov模型，確定冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的不可靠度函數(shù)［14-15］：

2.2 正態(tài)分布模型

應(yīng)用近似評估模型式（4），確定元件故障失效時(shí)間服從正態(tài)分布時(shí)冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的不可靠度函數(shù)：

依此類推，即可確定由n 個(gè)元件組成的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)不可靠度函數(shù)：

由于每個(gè)元件的故障失效時(shí)間服從相同正態(tài)分布，冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的不可靠度表示為：

2.3 威布爾分布模型

威布爾分布的概率密度函數(shù)表示為：

式中，η 為尺度參數(shù)，β 為形狀參數(shù)。

當(dāng)β＜1 時(shí)，元件的失效率隨時(shí)間增加而逐漸降低，這一趨勢在元件的早期失效期比較明顯；當(dāng)β=1時(shí)，元件的失效率為常數(shù)，此時(shí)的威布爾分布函數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布函數(shù)；當(dāng)β＞1 時(shí)，元件的失效率隨時(shí)間逐漸增加，這一階段的元件出現(xiàn)不同程度的退化或者老化。

威布爾分布函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為：

代入式（19），威布爾分布函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)一步表示為：

因此，當(dāng)元件服從威布爾分布時(shí)，冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的近似不可靠度函數(shù)表示為：

當(dāng)β=2 時(shí)，冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的不可靠度函數(shù)為：

鑒于Markov 模型難以對威布爾分布函數(shù)建模，應(yīng)用積分法確定冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的不可靠度：

3 可靠性評估通用模型仿真分析

3.1 指數(shù)分布模型

假設(shè)冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中元件的平均失效時(shí)間為μ=1 000、配 置 的 元 件 數(shù) 分 別 為n=2、n=5、n=10 和n=40，應(yīng)用式（5）、式（11）確定冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的近似不可靠度函數(shù)與精確不可靠度函數(shù)，曲線如圖3 所示。作為定量分析，選取冷儲(chǔ)備系統(tǒng)不同時(shí)間點(diǎn)的不可靠度值，并計(jì)算精確值與近似值之間的誤差，如表1 所示。從圖3 和表1 可以看出，近似值與精確值之間誤差不大，式（5）可以作為冷儲(chǔ)備不可靠度的近似評估方法。隨著系統(tǒng)儲(chǔ)備元件的增加，冷儲(chǔ)備系統(tǒng)精確值與近似值之間的誤差逐漸降低，即近似評估方法越精確。

3.2 正態(tài)分布模型

假設(shè)冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中元件的平均失效時(shí)間為μ=1 000、標(biāo)準(zhǔn)差σ=200、配置的元件數(shù)分別為n=2 和n=3，應(yīng)用式（13）、式（16）確定冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的近似不可靠度函數(shù)與精確不可靠度函數(shù)，對比結(jié)果如下頁圖4 所示。冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中不同時(shí)間點(diǎn)的不可靠度值以及精確值與近似值之間的誤差，如表2 所示。從圖4 和表2 可以看出，近似值與精確值幾乎重合，式（13）可以作為冷儲(chǔ)備系統(tǒng)不可靠度的近似評估方法。計(jì)算機(jī)系統(tǒng)運(yùn)行環(huán)境為Intel i7-7700H Q 處理器、8.00 G 內(nèi)存、256 G 固態(tài)硬盤，當(dāng)元件為n=2 時(shí)，式（16）的整個(gè)仿真過程運(yùn)行時(shí)間約為4 s，當(dāng)元件為n=3 時(shí)，式（16）的整個(gè)仿真過程運(yùn)行時(shí)間約為82 s。隨著元件數(shù)量的增加，多重積分的計(jì)算越復(fù)雜、計(jì)算量越大，因此，當(dāng)元件數(shù)量較多時(shí)可以考慮用近似評估方法式（13）進(jìn)行代替。

圖3 指數(shù)分布模型不可靠度曲線

表1 指數(shù)分布函數(shù)仿真結(jié)果對比

圖4 正態(tài)分布模型不可靠度曲線

表2 正態(tài)分布函數(shù)仿真結(jié)果對比

3.3 威布爾分布模型

假設(shè)冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中元件的平均失效時(shí)間為μ=1 000、威布爾模型的形狀參數(shù)β=2、配置的元件數(shù)分別為n=2 和n=3，應(yīng)用式（21）、式（23）確定冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的近似不可靠度函數(shù)與精確不可靠度函數(shù)，對比結(jié)果如圖5 所示。冷儲(chǔ)備系統(tǒng)不同時(shí)間點(diǎn)的不可靠度值以及精確值與近似值之間的誤差，如表3 所示。從圖5 和表3 可以看出，近似值與精確值之間誤差不大，式（21）可以作為冷儲(chǔ)備系統(tǒng)不可靠度的近似評估方法。當(dāng)元件為n=2 時(shí)，式（23）的整個(gè)仿真過程運(yùn)行時(shí)間約為63 s，當(dāng)元件為n=3 時(shí)，式（23）的整個(gè)仿真過程運(yùn)行時(shí)間約為902 s。隨著元件數(shù)量的增加，多重積分的計(jì)算越復(fù)雜、計(jì)算量越大，因此，當(dāng)元件數(shù)量較多時(shí)可以考慮用近似評估方法式（21）進(jìn)行代替。

圖5 威布爾分布模型不可靠度曲線

表3 正態(tài)分布函數(shù)仿真結(jié)果對比

4 結(jié)論

針對冷儲(chǔ)備系統(tǒng)近似于熱儲(chǔ)備系統(tǒng)時(shí)，可靠性評估結(jié)果受參數(shù)設(shè)置影響大、且元件壽命必須服從指數(shù)分布的問題，從冷儲(chǔ)備系統(tǒng)工作原理出發(fā)進(jìn)行模型構(gòu)建，提出了通用評估方法：

1）對于元件壽命服從指數(shù)分布的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)，當(dāng)儲(chǔ)備元件增加時(shí)，其可靠性評估的精確值與近似值之間的誤差逐漸降低；

2）對于元件壽命服從正態(tài)分布和指數(shù)分布的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)，可靠性近似評估方法相對于原始方法計(jì)算簡單，便于在工程上推廣應(yīng)用；

3）由于當(dāng)前只針對1/n 冷儲(chǔ)備系統(tǒng)進(jìn)行分析研究，因此，下一步將在此基礎(chǔ)上深入分析k/n 冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的可靠性評估通用方法。