壽命型產(chǎn)品序貫試驗(yàn)方案計(jì)算與分析

李大偉，姜本正，肖 冰

（解放軍91550 部隊(duì)，遼寧 大連 116023）

0 引言

可靠性是產(chǎn)品重要的質(zhì)量屬性［1］。為了檢驗(yàn)產(chǎn)品是否滿足可靠性指標(biāo)要求，使其更好地完成規(guī)定的功能，需要開(kāi)展可靠性驗(yàn)收試驗(yàn)。在制定試驗(yàn)方案時(shí)，序貫試驗(yàn)因?yàn)榫哂锌焖龠M(jìn)行判決、減少平均試驗(yàn)時(shí)間等優(yōu)點(diǎn)［2］，所以在工程中得到了廣泛的應(yīng)用，形成了多份相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)［3-4］。

由于序貫試驗(yàn)方案的工程優(yōu)點(diǎn)，自從20 世紀(jì)40 年代Wald 提出序貫概率比抽樣檢驗(yàn)方法以來(lái)，許多學(xué)者對(duì)序貫試驗(yàn)方案進(jìn)行了大量的研究，比如文獻(xiàn)［5］針對(duì)成敗型產(chǎn)品，通過(guò)調(diào)整接收- 拒收判決線，在雙方風(fēng)險(xiǎn)不變的情況下，降低了最大試驗(yàn)數(shù)；文獻(xiàn)［6］在Bayes 理論框架下，推導(dǎo)了成敗型產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)表達(dá)式，給出了判決準(zhǔn)則。目前，相關(guān)研究［7-8］集中于對(duì)序貫試驗(yàn)方案判決準(zhǔn)則進(jìn)行改進(jìn)，但是對(duì)于其判決概率基礎(chǔ)模型研究相對(duì)較少。實(shí)際上，序貫試驗(yàn)方案采取“邊試驗(yàn)邊判決”的檢驗(yàn)方式，造成存在多個(gè)判決時(shí)刻，導(dǎo)致其接收- 拒收判決概率模型、風(fēng)險(xiǎn)表達(dá)式等均較為繁瑣，工程中往往采取近似的方法給出結(jié)果，不利于深入理解序貫試驗(yàn)方案的確定過(guò)程。為此，文獻(xiàn)［9］以GJB899A-2009《可靠性鑒定和驗(yàn)收試驗(yàn)》規(guī)定的序貫試驗(yàn)方案8 為例，利用圖解法給出了其接收概率處理過(guò)程，得到了精確計(jì)算結(jié)果。雖然結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)一致，但是作者并沒(méi)有建立接收- 拒收概率模型的一般表達(dá)式，不利于進(jìn)一步推廣到其他序貫試驗(yàn)方案中。文獻(xiàn)［10］雖然利用矩陣法給出了壽命型產(chǎn)品序貫試驗(yàn)方案的精確計(jì)算方法，但是缺少對(duì)模型概率意義的解釋，且該方法對(duì)矩陣和概率知識(shí)要求較高，不利于直觀理解序貫試驗(yàn)方案判決時(shí)刻的工程意義及確定內(nèi)涵。由此可見(jiàn)，雖然序貫試驗(yàn)較為成熟，工程中為了便于使用，相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)直接給出了可供查詢的使用表格，但是其基礎(chǔ)模型（即特征量解析表達(dá)式）研究相對(duì)較少。特別是序貫試驗(yàn)的概率計(jì)算較為繁瑣，實(shí)際使用中主要利用近似或舉例的方法，對(duì)相應(yīng)的特征量計(jì)算過(guò)程進(jìn)行了說(shuō)明，需要進(jìn)一步研究才能推廣到一般情況。顯然，這不利于準(zhǔn)確理解序貫試驗(yàn)內(nèi)涵，無(wú)法掌握序貫試驗(yàn)的物理意義和適用范圍，給實(shí)際工作帶來(lái)了一定的不利影響。

為了解決上述問(wèn)題，本文以壽命型產(chǎn)品為研究對(duì)象，開(kāi)展了序貫試驗(yàn)方案基礎(chǔ)理論研究。利用概率方法，本文對(duì)序貫試驗(yàn)中接收和拒收對(duì)應(yīng)的事件定義進(jìn)行了分解、確定，建立了其接收- 拒收判決概率的基礎(chǔ)模型，給出了雙方風(fēng)險(xiǎn)、OC 曲線和平均試驗(yàn)時(shí)間等特征量的解析表達(dá)式，并進(jìn)一步解釋了序貫試驗(yàn)的物理意義。同時(shí)，通過(guò)與定時(shí)截尾試驗(yàn)方案進(jìn)行比較，說(shuō)明了序貫試驗(yàn)方案的工程特點(diǎn)，研究結(jié)論不僅有助于深入理解序貫試驗(yàn)方案內(nèi)涵，而且能夠掌握其適用范圍，從而保證可靠性驗(yàn)收試驗(yàn)?zāi)軌蛴行蜷_(kāi)展。

1 序貫試驗(yàn)方案概率建模

1.1 序貫試驗(yàn)方案描述

序貫試驗(yàn)方案采取“邊試驗(yàn)邊判決”的檢驗(yàn)形式，因此，其試驗(yàn)方案往往采取表1 的形式給出。

表1 序貫試驗(yàn)方案示意表

表1 中，ti，r表示產(chǎn)品發(fā)生第i 次故障的拒收時(shí)刻，即第i 次故障發(fā)生時(shí)刻小于ti，r時(shí)，則拒收該產(chǎn)品；ti，a表示產(chǎn)品發(fā)生第i 次故障的接收時(shí)刻，即第i次故障發(fā)生時(shí)刻大于ti，a時(shí)，則接收該產(chǎn)品。當(dāng)?shù)趇次故障發(fā)生時(shí)刻在［ti，r，ti，a］之間時(shí)，則無(wú)法作出判決，需要繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)。表1 中所列的判決時(shí)間為產(chǎn)品可靠性指標(biāo)要求中最低可接受值θ1的倍數(shù)。

根據(jù)序貫試驗(yàn)方案的判決準(zhǔn)則，每次發(fā)生故障都會(huì)參考判決時(shí)間，判斷是否結(jié)束試驗(yàn)，因此，可以近似認(rèn)為判決時(shí)間為試驗(yàn)結(jié)束時(shí)刻。此時(shí)，為了便于建立序貫試驗(yàn)方案的判決概率模型，本文按照判決時(shí)間的數(shù)值大小對(duì)表1 所示的序貫試驗(yàn)方案進(jìn)行重新描述，具體如表2 所示。表中，判決時(shí)刻滿足t1＜t2＜…＜tn。

表2 序貫試驗(yàn)方案判決時(shí)刻示意表

表2 通過(guò)判決時(shí)刻，反映了產(chǎn)品可能結(jié)束試驗(yàn)的時(shí)刻。由于不同序貫試驗(yàn)方案在具體判決準(zhǔn)則方面存在差異，因此，為了便于后文描述，對(duì)表2 作出以下說(shuō)明：

1.2 接收- 拒收判決概率模型

對(duì)于壽命型產(chǎn)品，往往選取其壽命分布為指數(shù)分布，即產(chǎn)品的工作時(shí)間t 滿足下式

式中，θ 為產(chǎn)品的平均故障間隔時(shí)間（即可靠性真值）。為了分析試驗(yàn)方案的特性，通常θ 表示為產(chǎn)品可靠性指標(biāo)要求中最低可接受值θ1的倍數(shù)。

根據(jù)指數(shù)分布與泊松分布的關(guān)系，壽命型產(chǎn)品在工作時(shí)間t 內(nèi)發(fā)生k 次故障的規(guī)律滿足下式

在掌握壽命型產(chǎn)品故障發(fā)生規(guī)律后，利用表2所描述的判決時(shí)刻，對(duì)序貫試驗(yàn)方案接收- 拒收概率進(jìn)行建模。

1.2.1 接收概率模型

1.2.2 拒收概率模型

針對(duì)具體的序貫試驗(yàn)方案，根據(jù)判決時(shí)刻tj與拒收時(shí)刻ti，r之間的關(guān)系，利用式（6），能夠得到產(chǎn)品的拒收概率滿足下式

顯然，序貫試驗(yàn)方案接收- 拒收概率基礎(chǔ)模型的建立，有助于理解各個(gè)判決時(shí)刻對(duì)應(yīng)的物理意義，并可推廣到序貫試驗(yàn)方案的一般情況，為準(zhǔn)確掌握序貫試驗(yàn)方案的特點(diǎn)和適用范圍奠定了基礎(chǔ)。

2 序貫試驗(yàn)方案特征量建模

2.1 雙方風(fēng)險(xiǎn)

在掌握序貫試驗(yàn)方案接收- 拒收判決概率模型后，結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)定義，給出生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)實(shí)際值α'和使用方風(fēng)險(xiǎn)實(shí)際值β'的解析表達(dá)式，即

式中，θ0、θ1分別為可靠性指標(biāo)中的規(guī)定值和最低可接受值。顯然，雙方風(fēng)險(xiǎn)與序貫試驗(yàn)方案的接收概率密切相關(guān)。

由于序貫試驗(yàn)方案采取“邊試驗(yàn)邊判決”的檢驗(yàn)方式，因此，其雙方風(fēng)險(xiǎn)為不同判決時(shí)刻接收概率的累加和，如式（8）所示。這說(shuō)明：1）序貫試驗(yàn)方案是在給定雙方風(fēng)險(xiǎn)的情況下，將風(fēng)險(xiǎn)逐步進(jìn)行分解，以此確定判決時(shí)刻，并保證各判決時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)之和滿足指標(biāo)要求；2）序貫試驗(yàn)方案的風(fēng)險(xiǎn)與定時(shí)截尾試驗(yàn)方案的風(fēng)險(xiǎn)有所不同，由于后者判決時(shí)刻是唯一的，因此，定時(shí)截尾試驗(yàn)方案僅需要保證截尾時(shí)刻雙方風(fēng)險(xiǎn)滿足指標(biāo)要求即可。從目標(biāo)規(guī)劃角度來(lái)看，可以近似理解為序貫試驗(yàn)方案的約束條件要多于定時(shí)截尾試驗(yàn)方案。

2.2 OC 曲線

OC 曲線反映了在給定序貫試驗(yàn)方案后，產(chǎn)品平均故障間隔時(shí)間的真值與接收概率的關(guān)系，利用接收概率（5），容易得到曲線滿足下式

2.3 平均試驗(yàn)時(shí)間

對(duì)于序貫試驗(yàn)方案，試驗(yàn)結(jié)束有兩種方式：接收和拒收。根據(jù)兩種結(jié)束方式，分別獲得平均試驗(yàn)時(shí)間。

2.3.1 產(chǎn)品接收時(shí)平均試驗(yàn)時(shí)間

根據(jù)序貫試驗(yàn)方案的判決準(zhǔn)則，對(duì)產(chǎn)品作出接收判決只能在判決時(shí)刻，因此，利用式（4），能夠得到產(chǎn)品接收時(shí)的平均試驗(yàn)時(shí)間ETTa滿足下式

2.3.2 產(chǎn)品拒收時(shí)平均試驗(yàn)時(shí)間

由于產(chǎn)品故障發(fā)生的隨機(jī)性，產(chǎn)品能夠在任意時(shí)刻發(fā)生故障，當(dāng)產(chǎn)品故障次數(shù)滿足對(duì)應(yīng)的拒收故障次數(shù)時(shí)，試驗(yàn)會(huì)因?yàn)榫苁斩Y(jié)束，因此，利用式（6），能夠得到產(chǎn)品拒收時(shí)的平均試驗(yàn)時(shí)間ETTr滿足下式

綜上，得到序貫試驗(yàn)方案的平均試驗(yàn)時(shí)間滿足下式

3 算例分析

本節(jié)以GJB899A-2009《可靠性鑒定和驗(yàn)收試驗(yàn)》規(guī)定的序貫試驗(yàn)方案6 為例，給出本文方法的處理過(guò)程和結(jié)果，以進(jìn)一步說(shuō)明方法的可行性。

序貫試驗(yàn)方案6 針對(duì)鑒別比d=3（即θ0=3θ1）和雙方風(fēng)險(xiǎn)α=β=0.2 的產(chǎn)品進(jìn)行考核，判決準(zhǔn)則具體內(nèi)容如表3 所示。

表3 方案6 接收-拒收判決標(biāo)準(zhǔn)

3.1 判決時(shí)刻表

利用表3，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的判決時(shí)刻表，具體如表4所示。

表4 方案6 判決時(shí)刻表

3.2 接收- 拒收概率

由表4 可知，接收時(shí)刻共有3 個(gè)，利用式（4），得到不同時(shí)刻接收概率為

拒收時(shí)刻共有4 個(gè)，利用式（6），得到不同時(shí)刻拒收概率為

3.3 雙方風(fēng)險(xiǎn)

利用式（8），能夠得到方案6 所對(duì)應(yīng)的雙方風(fēng)險(xiǎn)實(shí)際值，具體為

雙方風(fēng)險(xiǎn)實(shí)際值與標(biāo)準(zhǔn)［4］給出的數(shù)值較為相近。

3.4 OC 曲線

利用式（9），能夠得到產(chǎn)品平均故障間隔時(shí)間真值與接收概率之間的關(guān)系（即OC 曲線），具體如圖1 所示。

圖1 方案6 的OC 曲線

該曲線與標(biāo)準(zhǔn)［4］給出的OC 曲線較為吻合，并反映了產(chǎn)品平均故障間隔時(shí)間真值越高，接收概率越大的規(guī)律。

3.5 平均試驗(yàn)時(shí)間

利用式（12），能夠得到方案6 的平均試驗(yàn)時(shí)間，具體為ETT=2.581θ1。該值與文獻(xiàn)［9］給出的數(shù)值較為相近，進(jìn)一步說(shuō)明方法的準(zhǔn)確性。

3.6 與標(biāo)準(zhǔn)型定時(shí)截尾方案的比較

針對(duì)該產(chǎn)品，GJB899A-2009《可靠性鑒定和驗(yàn)收試驗(yàn)》規(guī)定的方案17（標(biāo)準(zhǔn)型定時(shí)截尾方案）同樣可以進(jìn)行考核。由于采取定時(shí)截尾，方案17 對(duì)應(yīng)的平均試驗(yàn)時(shí)間為4.3θ1，顯然，要高于方案6 的平均試驗(yàn)時(shí)間2.581θ1。這說(shuō)明相比標(biāo)準(zhǔn)型定時(shí)截尾方案，序貫截尾試驗(yàn)方案具有作出判決需要平均試驗(yàn)時(shí)間較短的優(yōu)點(diǎn)。

綜上，本節(jié)通過(guò)對(duì)實(shí)際方案進(jìn)行計(jì)算分析，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性，并從理論上對(duì)序貫試驗(yàn)方案的工程優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行了驗(yàn)證和解釋，有利于工程人員對(duì)序貫試驗(yàn)方案的理解，使試驗(yàn)組織實(shí)施更加有序。

4 結(jié)論

本文對(duì)壽命型產(chǎn)品序貫試驗(yàn)方案基礎(chǔ)模型進(jìn)行了研究，取得了以下結(jié)論：1）建立了序貫試驗(yàn)方案不同判決時(shí)刻的接收- 拒收概率解析模型，并將其推廣到一般情況，有助于準(zhǔn)確掌握序貫試驗(yàn)方案的確定過(guò)程，為理解其內(nèi)涵奠定了基礎(chǔ)；2）給出了序貫試驗(yàn)方案特征量（雙方風(fēng)險(xiǎn)、OC 曲線和平均試驗(yàn)時(shí)間）的解析表達(dá)式，為理解其特點(diǎn)和適用范圍提供了理論支撐；3）通過(guò)算例分析，驗(yàn)證了本文模型的正確性，并與定時(shí)截尾方案進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步說(shuō)明了序貫試驗(yàn)方案的工程優(yōu)點(diǎn)。