全彈性平面運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的高精度運(yùn)動(dòng)控制和振動(dòng)抑制算法研究

付曉東， 陳 力

(福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州 350108)

1 引 言

空間機(jī)器人主要用來(lái)協(xié)助宇航員艙外作業(yè)、搭建空間站、回收失效衛(wèi)星和清理軌道垃圾等，其動(dòng)力學(xué)與控制的研究備受學(xué)者關(guān)注[1-4]。為擴(kuò)大空間機(jī)器人的工作范圍，機(jī)械臂安裝于移動(dòng)支座上，支座沿桁架組裝而成的導(dǎo)軌移動(dòng)，由于臂桿自重或負(fù)載等外部因素的沖擊，易使導(dǎo)軌振動(dòng)[5](本文將基座、導(dǎo)軌和航天器統(tǒng)稱為彈性基座，其彈性主要由導(dǎo)軌振動(dòng)引起)。而機(jī)械臂具有桿長(zhǎng)、質(zhì)輕和重載等特性，其抗彎剛度偏低，尤其抓捕外部載荷及后續(xù)一體化操作時(shí)易誘發(fā)臂桿的軸向變形與振動(dòng)[6，7]。另外，考慮發(fā)射成本及預(yù)期任務(wù)要求，關(guān)節(jié)處的驅(qū)動(dòng)裝置一般采用諧波驅(qū)動(dòng)柔輪，雖節(jié)省成本卻引入了關(guān)節(jié)柔性[8]。空間機(jī)器人的彈性可以抵御外部沖擊，提高系統(tǒng)的緩沖減振作用，但彈性振動(dòng)也是影響系統(tǒng)控制精度和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素，尤其構(gòu)件自振產(chǎn)生的沖擊能量互相影響，造成機(jī)器人抖動(dòng)甚至損傷設(shè)備，因此考慮空間機(jī)器人彈性影響并抑制其振動(dòng)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在空間機(jī)器人彈性抑振及運(yùn)動(dòng)控制方面取得一定成果。文獻(xiàn)[9]討論了彈性基座機(jī)器人基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)輸出反饋控制。文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了應(yīng)用于柔性臂空間機(jī)器人的魯棒自適應(yīng)控制。文獻(xiàn)[11]探究了柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人基于觀測(cè)器的雙時(shí)間尺度控制。文獻(xiàn)[12]分析了彈性基座和柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人建模及運(yùn)動(dòng)控制算法。上述研究主要考慮基座和關(guān)節(jié)和臂某一類或兩類構(gòu)件彈性的影響，而基座、關(guān)節(jié)和臂全彈性系統(tǒng)的研究亟待進(jìn)一步積累與完善。全彈性空間機(jī)器人是基座和關(guān)節(jié)剛性運(yùn)動(dòng)與基座、關(guān)節(jié)和臂彈性振動(dòng)相互耦合的高度復(fù)雜非線性系統(tǒng)，振動(dòng)互相影響，而且彈性抑制器又互為外部激勵(lì)，所以全彈性系統(tǒng)多重振動(dòng)同步抑制及高精度運(yùn)動(dòng)控制具有一定難度。

另外，空間機(jī)器人軟硬件開(kāi)發(fā)、設(shè)計(jì)、制造、運(yùn)行以及維護(hù)成本高昂，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、占用儲(chǔ)存空間少、計(jì)算量小且精度高的控制器很有必要。比例微分(PD)控制使用PD線性反饋控制律，保證系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，且控制器容易設(shè)計(jì)，至今在工業(yè)機(jī)器人控制中廣泛應(yīng)用。而為了提高機(jī)器人的控制品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)周期信號(hào)的高精度跟蹤，重復(fù)學(xué)習(xí)控制受到學(xué)者重視[13，14]，由于周期性信號(hào)易進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)逼近，并且多數(shù)信號(hào)在中低頻段占有較大比例的功率，所以可以解析周期信號(hào)為有限維傅里葉級(jí)數(shù)，再結(jié)合傳統(tǒng)的PD算法與有限維重復(fù)控制，設(shè)計(jì)應(yīng)用于航天工業(yè)的運(yùn)動(dòng)有限維PD重復(fù)學(xué)習(xí)控制器，用N個(gè)線性振蕩器和一個(gè)積分器并聯(lián)的結(jié)構(gòu)估計(jì)系統(tǒng)中模型不確定性與其引起的擾動(dòng)，不同于傳統(tǒng)的基于內(nèi)模的重復(fù)控制器，運(yùn)動(dòng)有限維PD重復(fù)學(xué)習(xí)控制能有效避免嚴(yán)格的穩(wěn)定條件與緩慢收斂問(wèn)題，且規(guī)律簡(jiǎn)單，不依賴模型信息，易于實(shí)現(xiàn)。

為此，本文基于基座、關(guān)節(jié)和臂全彈性空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了改進(jìn)的運(yùn)動(dòng)有限維PD重復(fù)學(xué)習(xí)控制算法及雙重柔性振動(dòng)線性二次最優(yōu)抑制方案構(gòu)成的總控制算法，實(shí)現(xiàn)剛性軌跡高精度追蹤的同時(shí)，抑制基座、關(guān)節(jié)和臂多層彈性振動(dòng)。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的可行性。

2 基座、關(guān)節(jié)、臂全彈性空間機(jī)器人建模分析

2.1 全彈性空間機(jī)器人模型的建立

基座、關(guān)節(jié)和臂全彈性空間機(jī)器人由載體B0、前柔性桿B1和后柔性桿B2組成，如圖1所示。其中，基座彈性部分視為無(wú)質(zhì)量的線性伸縮彈簧，剛度系數(shù)kb取定值；柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化為無(wú)慣量的線性扭簧[15]，剛度系數(shù)km i取定值；柔性桿采用歐拉-伯努力梁理論與假想模態(tài)法分析，等效為簡(jiǎn)支梁，抗彎剛度EIi取定值，vi(t)為t時(shí)刻桿Bi在任意截面處的橫向彈性變形(i=1,2)。建立慣性坐標(biāo)系OXY與各分體的連體坐標(biāo)系Ojxjyj(j=0,1,2)，令OC 0為載體B0的質(zhì)心(與O0重合)，OC為系統(tǒng)總質(zhì)心，Oi為連接Bi - 1與Bi的旋轉(zhuǎn)鉸幾何中心(i=1,2)。q0為基座相對(duì)于Z軸的轉(zhuǎn)角，qb為載體與桿B1鉸接處彈性變形量，qi為桿Bi的相對(duì)轉(zhuǎn)角，qm i為關(guān)節(jié)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角?；鶡o(wú)振動(dòng)時(shí)，OC 0與O1的距離為l0。關(guān)節(jié)鉸Oi處電機(jī)轉(zhuǎn)子質(zhì)量不計(jì)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)為Jm i。

圖1 基座、關(guān)節(jié)和臂全彈性空間機(jī)器人

忽略微弱重力的影響，根據(jù)系統(tǒng)在慣性坐標(biāo)系中的幾何位置關(guān)系、假設(shè)模態(tài)法和動(dòng)量守恒定律，采用拉格朗日方程，建立載體位置不控和姿態(tài)受控全彈性空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型為

(1)

(2，3)

2.2 模型奇異攝動(dòng)分解

由于全彈性空間機(jī)器人基座、關(guān)節(jié)和臂桿的振動(dòng)互相耦合，同時(shí)抑制三類構(gòu)件的振動(dòng)難度很大，為此，將基座和關(guān)節(jié)的彈性振動(dòng)看作快變子變量，臂桿的振動(dòng)、基座姿態(tài)和關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)看作慢變子變量，采用奇異攝動(dòng)理論，將系統(tǒng)解耦為慢和快變子系統(tǒng)。令τn s∈R2 × 1為慢變子控制器，τn f∈R2 × 1為快變子控制器。設(shè)計(jì)電機(jī)驅(qū)動(dòng)總控制器為

τm=(E+Ac)τn-Acτ

(4)

式中E∈R2 × 2為單位矩陣，Ac∈R2 × 2為對(duì)稱正定柔性補(bǔ)償矩陣，τn=τn s+τn f。

(5)

dξf/dtf=Afξf+Bfτn f

(6)

2.3 剛性子系統(tǒng)模型及其特性

(7)

子系統(tǒng)式(7)具有如下結(jié)構(gòu)特性[16]。

特性1慣性矩陣M(x)對(duì)稱正定有界，即

λm(M)=y=2≤yTM(x)y≤λM(M)=y=2

(?y∈R3 × 1)

式中λm(·)和λM(·)分別為矩陣最小和最大特征值。

特性2科氏力和離心力矩陣C∈R3 × 3滿足

C(x,y)z=C(x,z)y(?y,z∈R3 × 1)

特性4存在正常數(shù)kM,kC 1和kC 2對(duì)于任意矢量x,y,z,x1,y1,x2,y2∈R3 × 1滿足關(guān)系式

其中，kM,kC 1和kC 2的取值參考文獻(xiàn)[16]。

特性5c1(x1,y1)與C(x1,y1)z有相似特性，即

其中，kC 3,kC 4和kC 5的取值參考文獻(xiàn)[16]。

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 慢變子系統(tǒng)控制算法分析

3.1.1 運(yùn)動(dòng)有限維PD重復(fù)學(xué)習(xí)控制

以T為周期的二次連續(xù)可微期望軌跡qd(t)用有限維傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為

(8)

參考信號(hào)qd(t)二次連續(xù)可微，根據(jù)式(8)，得qd(t)高階項(xiàng)范數(shù)的有限上界

(9)

設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)有限維PD重復(fù)學(xué)習(xí)控制器PDRC(finite -dimensional PD repetitive control)為

(10)

(k=1,…,N)(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式(14)取范數(shù)，并根據(jù)特性2～4得

(16)

(17)

將式(9)代入式(17)得

(18)

(19)

(k=0,1,…，N)(20)

(21)

(22)

(23)

將式(20～23)代入式(10)，再將結(jié)果與式(19)代入式(13)，得閉環(huán)系統(tǒng)誤差方程

(24)

(26，27)

定理對(duì)于剛性子系統(tǒng)式(7)，若控制器增益滿足

λm(KP)+αλm(KD)>α2λM(M)

(28)

(29，30)

(31)

則PDRC可保證系統(tǒng)的全局漸進(jìn)收斂，即

(32)

證明用李雅普諾夫第二法證明上述定理，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

(33)

(34)

式(33)沿式(24)求微分，并代入式(34)得

(35)

將式(24～27)代入式(35)，應(yīng)用特性3得

(36)

式中

3.1.2 改進(jìn)的運(yùn)動(dòng)有限維PD重復(fù)學(xué)習(xí)控制

使用虛擬力概念，修正原有的期望軌跡，生成混合軌跡qh，設(shè)計(jì)改進(jìn)的運(yùn)動(dòng)有限維PD重復(fù)學(xué)習(xí)算法，以實(shí)現(xiàn)軌跡追蹤控制與臂彈性振動(dòng)抑制雙重作用。引入虛擬力F∈R3 × 1，定義eh=qh-qd，由指令發(fā)生器式(37)生成。

(37)

式中c,d∈R3 × 3為常正定對(duì)角矩陣。

令混合誤差er=q-qh，將控制器式(10～12)中qd,e和zk分別替換為qh,er和zk r，得改進(jìn)后的PDRC為

(38)

(k=1,…,N)(39)

(40)

(41)

設(shè)計(jì)虛擬力F為

(42)

式中Rs為性能指標(biāo)函數(shù)中F對(duì)應(yīng)的加權(quán)矩陣，Ps為對(duì)應(yīng)黎卡提方程的解。

令ξs和Ns(t)滿足

(?qs∈Rn)(43)

3.2 快變子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

(44)

4 仿真算例

控制情形1關(guān)閉所有彈性抑制器，即關(guān)閉虛擬力控制式(42)及快變系統(tǒng)控制式(44)，運(yùn)用式(4，10～12)所示的算法仿真。

控制情形2開(kāi)啟所有彈性抑制器，運(yùn)用式(4，38～40，42，44)所示的算法仿真。

圖2為兩種控制情形下基座姿態(tài)和關(guān)節(jié)軌跡追蹤曲線。圖3為基座與關(guān)節(jié)彈性振動(dòng)在兩種控制情形下的抑制對(duì)比曲線。圖4為兩種控制情形下的柔性桿抑振對(duì)比曲線。

圖2 兩種控制情形下基座姿態(tài)與關(guān)節(jié)的軌跡追蹤曲線

圖3 兩種控制情形下基座姿態(tài)與關(guān)節(jié)振動(dòng)對(duì)比曲線

圖4 兩種控制情形下機(jī)械臂振動(dòng)對(duì)比曲線

從圖2～圖4可以看出，在關(guān)閉彈性主動(dòng)抑制的控制情形1控制下，機(jī)器人基座和關(guān)節(jié)剛性運(yùn)動(dòng)軌跡追蹤精度偏低，如圖2(a)所示，同時(shí)基座、兩關(guān)節(jié)和兩桿振動(dòng)明顯，如圖3(a)和圖4(a)所示。采用本文設(shè)計(jì)的控制情形2的算法，能實(shí)現(xiàn)軌跡精確追蹤，如圖2(b)所示，并有效抑制基座、兩關(guān)節(jié)和兩桿彈性振動(dòng)，如圖3(b)和圖4(b)所示。

圖5 跟蹤誤差收斂曲線

5 結(jié) 論

為了抑制基座、關(guān)節(jié)和臂全彈性空間機(jī)器人多層彈性振動(dòng)，并獲得更高的軌跡跟蹤精度，本文利用質(zhì)心定理、假設(shè)模態(tài)法與拉格朗日方程建立彈性基座、柔性關(guān)節(jié)和柔性臂空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，并根據(jù)奇異攝動(dòng)法，將模型分解為慢和快變子系統(tǒng)。然后，以全彈性空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了改進(jìn)的PD重復(fù)學(xué)習(xí)慢變子控制器及線性最優(yōu)多重柔性減振快變子控制器。通過(guò)仿真驗(yàn)證可知，設(shè)計(jì)的控制方案可以同時(shí)抑制不同構(gòu)件的彈性振動(dòng)，并且設(shè)計(jì)的方案控制規(guī)律簡(jiǎn)單，占用存儲(chǔ)空間少，控制精度可達(dá)-5.5數(shù)量級(jí)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)期望信號(hào)的高品質(zhì)追蹤。