剃齒安裝誤差對(duì)傳動(dòng)特性的影響研究

蔡安江，李文博，劉 磊，劉立博

（西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710055）

1 引言

由于誤差存在導(dǎo)致剃齒刀和工件齒輪偏離理論安裝位置，實(shí)際剃齒加工坐標(biāo)系也發(fā)生偏差，影響剃齒加工平穩(wěn)性。而齒輪加工中的系統(tǒng)振動(dòng)是引起齒面誤差的重要原因，系統(tǒng)振動(dòng)越小，剃齒加工越平穩(wěn)，且剃齒加工傳動(dòng)特性能準(zhǔn)確的反映剃齒加工過(guò)程的系統(tǒng)平穩(wěn)性。因此，研究剃齒加工傳動(dòng)特性對(duì)提高齒輪加工質(zhì)量和減少傳動(dòng)系統(tǒng)的沖擊與振動(dòng)有著重要的指導(dǎo)意義[1]。

國(guó)內(nèi)外大量學(xué)者對(duì)安裝誤差的影響進(jìn)行了廣泛而深入的研究：文獻(xiàn)[2]通過(guò)齒輪接觸分析，提出了能有效改善傳動(dòng)誤差的方法；文獻(xiàn)[3]基于拓?fù)湫扌锡X面方程，建立了考慮安裝誤差的接觸分析模型，得到傳動(dòng)誤差和齒面接觸應(yīng)力與剪切力在不同安裝誤差情況下的分布特征；文獻(xiàn)[4]研究了不同安裝誤差下斜齒面齒輪的嚙合軌跡和傳動(dòng)誤差，通過(guò)調(diào)整軸向誤差來(lái)控制接觸軌跡，改善了齒輪的傳動(dòng)質(zhì)量；文獻(xiàn)[5-6]建立了考慮機(jī)床運(yùn)動(dòng)幾何誤差和安裝誤差模型，提出ETCA 方法，研究了機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差和安裝誤差對(duì)齒面加工質(zhì)量的影響規(guī)律。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要研究齒輪間傳動(dòng)，而針對(duì)剃齒加工的傳動(dòng)研究較少?；谔挲X加工原理，考慮剃齒刀齒面的容屑槽和切削刃存在建立了含剃齒安裝誤差的剃齒分析模型，在剃齒加工幾何坐標(biāo)系上引入安裝誤差，構(gòu)造新的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，推導(dǎo)了因安裝誤差引起的補(bǔ)償位移量。定量研究了剃齒安裝誤差對(duì)傳動(dòng)特性的影響規(guī)律，分析了剃齒加工傳動(dòng)誤差和傳動(dòng)比曲線，應(yīng)用有限元法驗(yàn)證了模型和理論的正確性，為提高剃齒加工質(zhì)量和效率提供理論依據(jù)。

2 含剃齒安裝誤差的剃齒分析模型

一般齒輪加工的安裝誤差主要有軸交角誤差ΔΣ、中心距誤差Δa和剃齒刀沿工件齒輪軸向的偏移誤差。剃齒加工存在軸向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，使得剃齒刀沿工件齒輪軸向的偏移誤差影響不大，故重點(diǎn)研究軸交角誤差和中心距誤差對(duì)剃齒加工傳動(dòng)特性的影響規(guī)律。

2.1 含剃齒安裝誤差的坐標(biāo)系

為便于推導(dǎo)，假設(shè)剃齒刀安裝位置為理論位置，則誤差均來(lái)自工件齒輪安裝位置。建立含安裝誤差的剃齒加工坐標(biāo)系，其中S（o-xyz）及Sp（op-xpypzp）是兩個(gè)空間固定的坐標(biāo)系，S1（o1-x1y1z1）和S2（o2-x2y2z2）分別是剃齒刀和工件齒輪固連的動(dòng)坐標(biāo)系，如圖1 所示。

圖1 含安裝誤差的剃齒加工坐標(biāo)系Fig.1 Shaving Coordinate System with Alignment Error

空間幾何關(guān)系可得各坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，此處僅列舉下述推導(dǎo)步驟需要的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。其中，坐標(biāo)系S′2與S1的變換關(guān)系為：

2.2 剃齒安裝誤差的影響分析

安裝誤差本質(zhì)上是實(shí)際安裝位置與理想位置出現(xiàn)偏離，導(dǎo)致工件齒輪和剃齒刀不再按照既定的傳動(dòng)比運(yùn)動(dòng)，故安裝誤差引起的位置誤差可歸結(jié)為位移誤差。通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)法，可推導(dǎo)補(bǔ)償位移量Δs來(lái)消除軸交角誤差ΔΣ 和中心距誤差Δa帶來(lái)的影響。設(shè)剃齒刀與工件齒輪兩齒面的瞬時(shí)空間接觸點(diǎn)為Mi點(diǎn)，n為齒面在Mi點(diǎn)的法線，安裝原始誤差矢量ΔWi可分解為法線n方向的分量和垂直于法線n方向的分量，如圖2 所示。

圖2 安裝誤差矢量圖Fig.2 Alignment Error Vector Diagram

由于安裝誤差ΔWi使得剃齒刀與工件齒輪在Mi點(diǎn)形成了法向間隙，為了消除這個(gè)間隙，需要一個(gè)補(bǔ)償位移Δs。Δs也可分解為平行于法線n方向和垂直于法線n方向。Δs在法線n方向的投影與矢量ΔWi在法線n方向的投影等大反向，矢量MiD和CMi在過(guò)Mi點(diǎn)的兩齒面的公切面上。則有：

式中：αi—矢量與法線n之間的夾角；βi—矢量ΔS與法線n之間的夾角。如果在安裝過(guò)程中存在k個(gè)安裝誤差，則有：

3 剃齒加工傳動(dòng)特性

剃齒加工傳動(dòng)特性能準(zhǔn)確反映剃齒刀和工件齒輪的傳動(dòng)性能，主要包括傳動(dòng)誤差、傳動(dòng)效率、傳動(dòng)能力和傳動(dòng)比等[7]。

3.1 傳動(dòng)誤差與傳動(dòng)比

傳動(dòng)誤差是描述齒輪傳動(dòng)性能的重要參數(shù)之一，剃齒加工傳動(dòng)誤差會(huì)直接影響到齒面成形誤差，而齒面誤差又會(huì)加劇齒輪傳動(dòng)誤差[8]。剃齒加工符合經(jīng)典嚙合原理，故齒輪間傳動(dòng)誤差的定義同樣適用于剃齒加工傳動(dòng)誤差，即剃齒刀轉(zhuǎn)過(guò)一定的角度時(shí)，工件齒輪對(duì)于理想轉(zhuǎn)動(dòng)角度的偏移。其計(jì)算公式為[9]：

3.2 安裝誤差對(duì)傳動(dòng)特性的影響

根據(jù)單一變量原則，選取不同的安裝誤差來(lái)定量研究其對(duì)剃齒加工傳動(dòng)特性的影響。剃齒刀與工件齒輪參數(shù)，如表1 所示。

表1 剃齒刀和工件齒輪基本參數(shù)Tab.1 Basic Parameters of Shaving Cutter and Workpiece Gear

3.2.1 軸交角誤差對(duì)傳動(dòng)特性的影響

剃齒加工的軸交角Σ 是影響剃削性能的一項(xiàng)重要因素，軸交角的大小決定了剃齒嚙合時(shí)的接觸區(qū)域形狀[9]。當(dāng)軸交角為0°時(shí)，理論上為線接觸，但實(shí)際上，由于接觸變形的存在而呈現(xiàn)以接觸橢圓短軸為寬，齒寬為長(zhǎng)的矩形；當(dāng)軸交角為90°時(shí)，接觸面變?yōu)檎叫?；軸交角在0°與90°間時(shí)，接觸區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅?。根?jù)單一變量原則，研究不同軸交角誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響，如圖3 所示。對(duì)傳動(dòng)比的影響，如圖4 所示。節(jié)圓是齒輪嚙合的一個(gè)重要概念，剃齒節(jié)圓處易產(chǎn)生齒形誤差，故重點(diǎn)考察節(jié)圓處的傳動(dòng)誤差和傳動(dòng)比，如圖5 所示。圖3 和圖4 表明：傳動(dòng)誤差隨軸交角誤差絕對(duì)值增大而增大；傳動(dòng)比隨著軸交角誤差的增大而減小，并在軸交角誤差為0 處達(dá)到理想傳動(dòng)比；圖5 中，節(jié)圓處（壓力角為0.3653）的傳動(dòng)誤差在軸交角誤差零值處對(duì)稱，表明傳動(dòng)誤差只和軸交角誤差大小有關(guān)，而與軸交角誤差方向無(wú)關(guān)；節(jié)圓處的傳動(dòng)比與軸交角誤差的大小和方向均有關(guān)?？梢?jiàn)，軸交角誤差會(huì)直接引起傳動(dòng)誤差，導(dǎo)致剃齒產(chǎn)生較大振動(dòng)，從而影響了剃齒加工質(zhì)量。

圖3 軸交角誤差下的傳動(dòng)誤差Fig.3 Transmission Error under Axis Angle Error

圖4 軸交角誤差下的傳動(dòng)比Fig.4 Transmission Ratio under Axis Intersection Error

圖5 軸交角誤差下節(jié)圓處的傳動(dòng)誤差和傳動(dòng)比Fig.5 Transmission Error and Transmission Ratio at Lower Pitch Circle of Axle Intersection Error

3.2.2 中心距誤差對(duì)傳動(dòng)特性的影響

安裝中心距是齒輪系統(tǒng)的重要參數(shù)之一[10]，安裝誤差的存在使得中心距發(fā)生變化，齒輪的實(shí)際嚙合線、齒輪系統(tǒng)剛度、阻尼等參數(shù)均發(fā)生變化[11]，這必然會(huì)引起剃齒加工的振動(dòng)沖擊。研究中心距誤差對(duì)剃齒過(guò)程中傳動(dòng)特性的影響，其傳動(dòng)誤差如圖6 所示，傳動(dòng)比，如圖7 所示。節(jié)圓處的傳動(dòng)特性，如圖8 所示。圖6 和圖7 表明：隨著中心距誤差絕對(duì)值增大，傳動(dòng)誤差隨之增大；傳動(dòng)比隨著中心距誤差增大而減?。辉谥行木嗾`差最大的剃齒刀齒頂位置處傳動(dòng)誤差達(dá)到最大值；傳動(dòng)比分別在中心距誤差達(dá)到最小和最大值時(shí)的齒頂和齒根處達(dá)到最大和最小值；同一中心距誤差下，齒頂位置的傳動(dòng)誤差最大；圖8（a）中，傳動(dòng)誤差隨中心距誤差絕對(duì)值增大而增大；圖8（b）中，傳動(dòng)比隨中心誤差增大而減小?？梢?jiàn)，中心距誤差會(huì)直接影響剃齒加工傳動(dòng)特性，從而影響加工質(zhì)量。結(jié)合圖3 至圖8 可得，軸交角誤差對(duì)剃齒加工傳動(dòng)特性的影響要比中心距誤差大。實(shí)際加工中首先按照軸交角誤差來(lái)調(diào)整機(jī)床能更合理地控制安裝誤差，有效提高齒面精度和減小剃齒加工的振動(dòng)沖擊。

圖6 中心距誤差下的傳動(dòng)誤差Fig.6 Transmission Error under Center Distance Error

圖7 中心距誤差下的傳動(dòng)比Fig.7 Transmission Ratio under Center Distance Error

圖8 中心距誤差下節(jié)圓處的傳動(dòng)誤差和傳動(dòng)比Fig.8 Transmission Error and Transmission Ratio at Pitch Circle Under Center Distance Error

4 剃齒動(dòng)態(tài)仿真對(duì)比

圖9 不同軸夾角剃齒加工傳動(dòng)特性曲線Fig.9 Transmission Characteristic Curve of Shaving with Different Shafts Angle

根據(jù)上述分析，應(yīng)用有限元法研究軸交角誤差對(duì)剃齒加工傳動(dòng)特性的影響。考慮到仿真分析收斂性及復(fù)雜性，采用局部模型代替全齒模型進(jìn)行分析[12]。為研究不同軸交角誤差對(duì)剃齒加工傳動(dòng)特性的影響，保持其他參數(shù)一致。分別建立軸交角誤差為0°、+0.2°、+0.5°、-0.2°和-0.5°五組分析模型，得到剃齒加工傳動(dòng)特性，如圖9 所示。圖9 表明：剃齒初始階段傳動(dòng)誤差和傳動(dòng)比曲線存在局部振蕩，表明此時(shí)加工過(guò)程存在較大的振動(dòng)。隨著軸交角誤差絕對(duì)值的增大，傳動(dòng)誤差曲線波動(dòng)峰值和收斂后的幅值均隨之增大；軸交角增大時(shí)，傳動(dòng)誤差曲線收斂速度更快，初期波動(dòng)幅值與后期平穩(wěn)后的幅值更??；傳動(dòng)誤差向負(fù)值方向偏移是因?yàn)榻佑|變形會(huì)導(dǎo)致工件齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)存在滯后，且隨著軸交角誤差絕對(duì)值增大，傳動(dòng)誤差向負(fù)方向偏移越明顯。傳動(dòng)比曲線隨軸交角誤差絕對(duì)值增大，收斂速度增加，但曲線的平穩(wěn)性下降，波動(dòng)周期增加。當(dāng)軸交角增大時(shí)，傳動(dòng)比曲線收斂速度慢，但曲線波動(dòng)的周期減小，波動(dòng)更加平緩。軸交角誤差絕對(duì)值增大，導(dǎo)致傳動(dòng)誤差與傳動(dòng)比曲線初期局部震蕩越明顯。說(shuō)明軸交角誤差絕對(duì)值增大會(huì)加強(qiáng)剃齒加工中的系統(tǒng)振動(dòng)，而系統(tǒng)振動(dòng)的增加會(huì)降低剃齒加工過(guò)程的平穩(wěn)性，引起較大的齒面成形誤差。因此，減小剃齒軸交角誤差能提高剃齒加工傳動(dòng)的平穩(wěn)性，有利于改善剃齒加工質(zhì)量。可見(jiàn)，仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果一致，表明了理論模型的正確性。

4 結(jié)論

針對(duì)剃齒安裝誤差導(dǎo)致剃齒加工平穩(wěn)性和齒面精度降低的問(wèn)題，建立含剃齒安裝誤差的剃齒分析模型，定量研究了安裝誤差對(duì)傳動(dòng)特性的影響規(guī)律，應(yīng)用有限元法分析了軸夾角誤差對(duì)剃齒加工傳動(dòng)特性的影響，得到如下結(jié)論：（1）剃齒加工傳動(dòng)特性分析表明：傳動(dòng)誤差隨著軸交角誤差絕對(duì)值增大而增大，傳動(dòng)比隨著軸交角誤差的增大單調(diào)下降；傳動(dòng)誤差在中心距誤差最大的剃齒刀齒頂處達(dá)到最大值；傳動(dòng)比在中心距誤差最小的齒頂處達(dá)到最大值，在中心距誤差最大的齒頂處達(dá)到最小值。（2）軸交角誤差對(duì)剃齒加工傳動(dòng)特性的影響要比中心距誤差大?？赏ㄟ^(guò)軸交角誤差來(lái)調(diào)整機(jī)床更有效地來(lái)控制安裝誤差所帶來(lái)的影響。（3）軸交角誤差絕對(duì)值越大傳動(dòng)誤差曲線向負(fù)方向偏移越明顯。表明軸交角誤差引起的接觸變形越大，從而導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)增加，加工平穩(wěn)性下降，加工質(zhì)量降低。