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    阿勒泰地區(qū)降水時(shí)間序列的多重分形特征分析

    2021-04-29 02:44:14周天祥
    關(guān)鍵詞:布爾津福海阿勒泰

    周天祥 陳 晶

    (1.紹興文理學(xué)院 機(jī)械與電氣工程學(xué)院,浙江 紹興 312000;2.紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院,浙江 紹興 312000)

    自然界存在著許多復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)過(guò)程,這些復(fù)雜的相互作用通過(guò)一系列看似嘈雜且不穩(wěn)定的信號(hào)表現(xiàn)出來(lái),通??梢允褂梅蔷€性微分方程來(lái)描述這些過(guò)程.一些非線性系統(tǒng)的時(shí)間序列信號(hào)存在著顯著的分形特征[1],即局部時(shí)間序列與整個(gè)時(shí)間序列完全相同或近似.經(jīng)過(guò)許多不同領(lǐng)域?qū)W者的努力,這種現(xiàn)象目前在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)、地質(zhì)學(xué)以及氣象學(xué)等學(xué)科的復(fù)雜系統(tǒng)中均有發(fā)現(xiàn)[2-5].大氣中存在很多不規(guī)則的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)(如大氣湍流),可將其視為在各種尺度的天氣系統(tǒng)相互作用下的復(fù)雜系統(tǒng),這些相互作用將導(dǎo)致在許多時(shí)空尺度上氣象參數(shù)以近似隨機(jī)的方式波動(dòng).Pielke等人[6]使用非線性微分方程對(duì)氣象過(guò)程進(jìn)行建模,但是數(shù)值方法與現(xiàn)實(shí)情況仍存在差距.

    降水的時(shí)空變化對(duì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、水資源管理以及生態(tài)系統(tǒng)有著深刻的影響,同時(shí)也是氣候變化的重要參考指標(biāo).降雨量依賴(lài)于大氣過(guò)程的多樣性變化,并由于自然過(guò)程的復(fù)雜性在不同的時(shí)空尺度上呈現(xiàn)出隨機(jī)波動(dòng).一些學(xué)者基于統(tǒng)計(jì)學(xué)如Mann-Kendall秩次相關(guān)檢驗(yàn)、Pettitt檢驗(yàn)、Buishand檢驗(yàn)等方法對(duì)降水時(shí)間序列的變化趨勢(shì)進(jìn)行評(píng)價(jià)[7-9],然而這些方法無(wú)法捕捉降水時(shí)間序列復(fù)雜非線性行為中的潛在特征.隨著非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展,多重分形級(jí)聯(lián)模型逐漸被應(yīng)用于研究天氣與氣候變化.Lovejoy和Mandel-brot[10]發(fā)現(xiàn)降雨區(qū)域的云層邊界投影到地面的形狀為分形圖形,并且降水序列的時(shí)空結(jié)構(gòu)服從雙曲線分布,從而確立了分形理論在氣象學(xué)的適用性.Telesca等人[11]應(yīng)用去趨勢(shì)波動(dòng)分析方法(DFA)對(duì)阿根廷中部地區(qū)近60年的降水時(shí)間序列進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)了降水時(shí)間序列中的標(biāo)度不變性以及長(zhǎng)程相關(guān)性.然而DFA方法適用于描述單個(gè)標(biāo)度指數(shù),許多復(fù)雜系統(tǒng)中的信號(hào)并非表現(xiàn)出簡(jiǎn)單的單分形特征,而是在不同的時(shí)間尺度上具有不同的分形結(jié)構(gòu),即多重分形行為.多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析方法(MF-DFA)能更加精確地描述復(fù)雜系統(tǒng)可能存在的多個(gè)分形特征[12].Kalamaras等人[13]應(yīng)用MF-DFA方法對(duì)希臘克里特島沿海氣象站的氣溫觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)該地區(qū)的氣溫時(shí)間序列表現(xiàn)出多重分形特征,并且氣溫時(shí)間序列為長(zhǎng)期正相關(guān).Olsson[14]運(yùn)用概率密度函數(shù)以及功率譜分析了降水時(shí)間序列所服從的冪律分布,選取的不同統(tǒng)計(jì)矩階數(shù)隨尺度而變化證明該地區(qū)的降水時(shí)間序列具有多重分形特征.新疆北部地區(qū)水資源稀缺,降雨量的變化對(duì)該地區(qū)農(nóng)牧業(yè)的生產(chǎn)至關(guān)重要.本文基于新疆北部阿勒泰地區(qū)1961至2015年的逐月降雨量數(shù)據(jù),對(duì)該降水時(shí)間序列的分形特征和變化趨勢(shì)運(yùn)用MF-DFA方法進(jìn)行了詳細(xì)分析.

    1 研究區(qū)域概況及數(shù)據(jù)源

    本文研究資料來(lái)源于額爾齊斯河流域標(biāo)準(zhǔn)氣象站觀測(cè)數(shù)據(jù)[15],研究的三個(gè)地點(diǎn)分別位于新疆北部阿爾泰地區(qū)的阿勒泰氣象站(47.73 °N,88.08 °E)、福海氣象站(47.12 °N,87.47 °E)、布爾津氣象站(47.70 °N,86.87 °E),所在位置已在圖1中標(biāo)明.該區(qū)域深居歐亞大陸腹地,屬于溫帶大陸性氣候,冬季在強(qiáng)大的蒙古高壓控制下氣候寒冷干燥,年平均降水量在100 mm左右,降水多集中在夏季,冬季降雨量較春秋季節(jié)更多.三個(gè)觀測(cè)站的降水資料數(shù)據(jù)的時(shí)間范圍為1961年1月至2015年12月,觀測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)間尺度為月.

    2 MF-DFA原理

    分形是指局部與整體之間具有某種方式相似的形狀,即局部片段與整體之間具有自相似性,目前分形理論已從狹義的幾何對(duì)象擴(kuò)展至廣義分形.Mandelbrot[16]在研究美國(guó)棉花價(jià)格的變化時(shí)發(fā)現(xiàn)價(jià)格時(shí)間序列的短期波動(dòng)與長(zhǎng)期的變化趨勢(shì)存在標(biāo)度不變性,因而發(fā)現(xiàn)了時(shí)間序列中的自相似現(xiàn)象.若分形維隨時(shí)間尺度的不同而發(fā)生變化,則該時(shí)間序列具備多重分形特性.多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析方法(MF-DFA)由Kandelhardt等人[12]在消除趨勢(shì)波動(dòng)分析(DFA)方法的基礎(chǔ)上拓展得到,能更加精確地描述復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,具體計(jì)算方法如下:

    第一步,首先對(duì)降水時(shí)間序列xi(i=1,2,…,n)求取累積離差序列:

    (1)

    第二步,將Yi使用長(zhǎng)度為s的Ns=int(N/s)個(gè)互不重疊的區(qū)間,對(duì)于每個(gè)長(zhǎng)度為s的區(qū)間進(jìn)行最小二乘擬合,得到該區(qū)間的局部趨勢(shì)多項(xiàng)式y(tǒng)v(s).對(duì)Yi上的每個(gè)子區(qū)間v計(jì)算局部均方誤差F2(v,s):

    圖1 研究區(qū)域所在位置

    (2)

    第三步,第qth階波動(dòng)函數(shù)可表示為:

    (3)

    第四步,對(duì)指定的q階值可使用下式確定波動(dòng)函數(shù)的標(biāo)度系數(shù):

    Fq(s)∝sH(q)

    (4)

    式中H(q)為廣義Hurst指數(shù),其取值范圍為[0,1],H(q)越接近1,表明時(shí)間序列存在的噪聲越少,趨勢(shì)越明顯.當(dāng)H=0.5時(shí),序列變化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),序列之間不相關(guān),表明當(dāng)前降水時(shí)間序列的趨勢(shì)不會(huì)影響未來(lái)的情況;當(dāng)H(q)>0.5時(shí),表明當(dāng)前降水時(shí)間序列與未來(lái)增量之間為正相關(guān);當(dāng)H(q)<0.5時(shí),表明當(dāng)前的降水時(shí)間序列與未來(lái)增量之間為負(fù)相關(guān).若H(q)指為常數(shù)時(shí)表明時(shí)間序列為單分形的情況,當(dāng)H(q)指數(shù)隨q值的增大而減小時(shí)表明時(shí)間序列屬于多重分形情況[17].

    第五步,計(jì)算多重分形標(biāo)度系數(shù)τ(q)滿(mǎn)足下列關(guān)系式:

    τ(q)=qH(q)-1

    (5)

    第六步,根據(jù)Legendre變換,多重分形奇異譜函數(shù)f(α)滿(mǎn)足下式:

    f(α)=qα-τ(q)

    (6)

    其中α=?τ(q)/?(q)為奇異性指數(shù),奇異譜的譜寬(Δα=αmax-αmin)描述了多重分形的程度,譜寬越大表明多重分形程度越高,降水時(shí)間序列波動(dòng)越劇烈.若時(shí)間序列具有多重分形屬性,其奇異譜將呈現(xiàn)為倒拋物線形[18].Δf=f(αmin)-f(αmax)表示最大概率子集與最小概率子集的分形差異,Δf可以反映時(shí)間序列的變化趨勢(shì),Δf<0表明未來(lái)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的向低數(shù)值方向發(fā)展的概率較大[19].

    3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

    本文選取新疆阿勒泰地區(qū)的阿勒泰、福海、布爾津三個(gè)氣象觀測(cè)站的逐月觀測(cè)數(shù)據(jù),每個(gè)降水觀測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)間序列長(zhǎng)度都是660.由圖2可知,三個(gè)地區(qū)的歷年逐月降雨量基本都不足100 mm,降水時(shí)間序列全都表現(xiàn)出非線性、非平穩(wěn)性的特點(diǎn).福海地區(qū)降雨量最少,且在1984年出現(xiàn)一次大降水天氣,降水量超過(guò)了100 mm.阿勒泰地區(qū)降雨量趨勢(shì)受季節(jié)變化影響明顯,夏季降雨量要明顯高于其他季節(jié),因此應(yīng)先將原始的降水時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為隨機(jī)游走結(jié)構(gòu)[20]以剔除季節(jié)更替帶來(lái)的影響.通過(guò)對(duì)三個(gè)氣象站的降水時(shí)間序列xi計(jì)算累積離差(式2)可得到隨機(jī)游走的降水時(shí)間序列Yi,如圖3所示,總體上降水累積離差序列在20世紀(jì)60年代至90年代呈下降趨勢(shì),而在60年代末和80年代出現(xiàn)了兩個(gè)小幅震蕩的時(shí)期,90年代后又呈增加趨勢(shì).

    (a)阿勒泰 (b)福海 (c)布爾津

    (a)阿勒泰 (b)福海 (c)布爾津

    對(duì)三個(gè)地區(qū)降水隨機(jī)游走時(shí)間序列Yi按照時(shí)間尺度s進(jìn)行分割,為防止多項(xiàng)式過(guò)擬合降水時(shí)間序列從而導(dǎo)致剩余波動(dòng)接近于0,時(shí)間尺度s應(yīng)滿(mǎn)足不小于多項(xiàng)式擬合階數(shù),同時(shí)最大時(shí)間尺度應(yīng)是時(shí)間序列劃分區(qū)間的個(gè)數(shù)大于10個(gè)[21].統(tǒng)計(jì)矩階數(shù)q的取值范圍對(duì)多重分形譜的計(jì)算十分關(guān)鍵,q值過(guò)大會(huì)導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間呈指數(shù)增大,q值過(guò)小時(shí)多重分形譜的波動(dòng)會(huì)很大[22].由此本文選取Yi的子區(qū)間長(zhǎng)度s=(6∶66),按照經(jīng)驗(yàn)取q=(-10∶10),利用式(3)對(duì)不同取值的統(tǒng)計(jì)矩階數(shù)q計(jì)算波動(dòng)函數(shù)Fq(s).波動(dòng)函數(shù)Fq(s)關(guān)于時(shí)間尺度s在特定統(tǒng)計(jì)矩階數(shù)q=(-10,0,10)下的雙對(duì)數(shù)圖像如圖4所示,所有q值情況下的波動(dòng)函數(shù)Fq(s)關(guān)于時(shí)間尺度s都近似為線性關(guān)系,這表明三個(gè)地區(qū)的降水時(shí)間序列都符合冪律分布,同時(shí)也證明了降水時(shí)間序列的內(nèi)部波動(dòng)演化并非隨機(jī)行為,而是由遠(yuǎn)距離的某些特征有序引發(fā).另外,從圖4可以明顯看出,回歸線的斜率明顯隨q值的增大而減小,由式(4)可知該斜率即為廣義Hurst指數(shù),圖4中的擬合方程以及可決系數(shù)見(jiàn)表1.q值描述了局部波動(dòng)均方根占整體的比重[21],當(dāng)q值為正時(shí),廣義Hurst指數(shù)表示大波動(dòng)的標(biāo)度行為,q值為負(fù)時(shí),廣義Hurst指數(shù)表示小波動(dòng)的標(biāo)度行為,對(duì)于較小的時(shí)間尺度s受降水時(shí)間序列波動(dòng)幅度影響較大,而在較大的時(shí)間尺度上降水時(shí)間序列的波動(dòng)幅度將被削弱[22].由圖2(b)可以看出,福海地區(qū)的降水時(shí)間序列出現(xiàn)過(guò)一次大降水天氣情況,同時(shí)其累積離差分布也存在多個(gè)波動(dòng)趨勢(shì),降水時(shí)間序列受大的波動(dòng)控制,因此其廣義Hurst指數(shù)變化范圍最大(ΔH(q)=0.57).

    (a)阿勒泰 (b)福海 (c)布爾津

    廣義Hurst指數(shù)可用于判斷降水時(shí)間序列的分形特征以及長(zhǎng)程相關(guān)性.如圖5所示,三個(gè)地區(qū)的Hurst指數(shù)關(guān)于q為非線性關(guān)系,說(shuō)明三個(gè)地區(qū)的降水時(shí)間序列都存在多重分形特征.當(dāng)q值為2時(shí),廣義Hurst指數(shù)與經(jīng)典的Hurst指數(shù)相同,此時(shí)阿勒泰、福海、布爾津地區(qū)降水時(shí)間序列的廣義Hurst指數(shù)分別為0.56、0.50、0.52,因此當(dāng)q∈[-10,2]時(shí),H(q)>0.5,三個(gè)地區(qū)的降水時(shí)間序列都具有長(zhǎng)期正相關(guān)性.由圖5可知,阿勒泰與布爾津的降水時(shí)間序列的長(zhǎng)程相關(guān)性明顯強(qiáng)于其他福海地區(qū),表明未來(lái)的該地區(qū)降水趨勢(shì)將與當(dāng)前保持一致.

    表1 降水時(shí)間序列廣義Hurst指數(shù)的計(jì)算

    圖5 降水時(shí)間序列的廣義Hurst指數(shù)

    根據(jù)(式11)計(jì)算三個(gè)地區(qū)降水時(shí)間序列的多重分形譜如圖6所示,其多重分形譜均呈倒拋物線形,分形譜的最大值對(duì)應(yīng)為q=0時(shí).由表2可知,福海地區(qū)的譜寬最大,Δα=0.96,因此該地區(qū)降水時(shí)間序列的多重分形程度要強(qiáng)于阿勒泰以及布爾津地區(qū),并且其降水時(shí)間序列波動(dòng)幅度最劇烈.阿勒泰氣象站和布爾津氣象站的譜寬比較接近,因此其多重分形程度也相似.阿勒泰和福海的降水時(shí)間序列的譜高度Δf<0,表明這兩個(gè)地區(qū)未來(lái)降雨量可能有降低的趨勢(shì).布爾津地區(qū)降水時(shí)間序列的譜高度Δf>0,因此未來(lái)該地區(qū)降雨量增加的概率較大.

    表2 降水時(shí)間序列的多重分形參數(shù)

    (a)阿勒泰 (b)福海 (c)布爾津

    4 結(jié)論

    本文通過(guò)對(duì)新疆北部阿勒泰地區(qū)的阿勒泰、福海、布爾津三個(gè)氣象站的1961年至2015年的逐月降雨量時(shí)間序列的變化進(jìn)行多重分形檢驗(yàn),結(jié)論如下:

    (1)根據(jù)MF-DFA方法的檢驗(yàn)結(jié)果,三個(gè)地區(qū)的降水資料時(shí)間序列都表現(xiàn)出顯著的多重分形特征,符合冪律相關(guān)特性;

    (2)計(jì)算廣義Hurst指數(shù)發(fā)現(xiàn)降水時(shí)間序列在q<2時(shí)存在明顯的長(zhǎng)期正相關(guān),表明未來(lái)的降水趨勢(shì)具備可預(yù)測(cè)性;

    (3)福海地區(qū)的降水時(shí)間序列相比另外兩個(gè)地區(qū)的多重分形譜寬更大、波動(dòng)更強(qiáng)烈,表現(xiàn)出更強(qiáng)的多重分形程度;

    (4)對(duì)于長(zhǎng)期的降水時(shí)間序列使用MF-DFA方法,可以獲取其統(tǒng)計(jì)學(xué)的表征以便更好地理解其動(dòng)力學(xué)機(jī)制,為未來(lái)當(dāng)?shù)亟邓淖兓厔?shì)提供參考.

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