再談“PT 對(duì)稱的非厄米體系的能譜性質(zhì)”

閆茂玉，陳 兵

(山東科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院應(yīng)用物理系，山東 青島 266590)

眾所周知, 量子力學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是5個(gè)基本假設(shè),即波函數(shù)公設(shè)、微觀粒子動(dòng)力學(xué)公設(shè)、算符公設(shè)、測量公設(shè)、全同粒子公設(shè). 其中, 算符公設(shè)提出量子力學(xué)中的力學(xué)量必須用厄米算符表示, 這是因?yàn)槎蛎姿惴谋菊髦禐閷?shí)數(shù), 是可觀測量. 而且量子態(tài)在厄米哈密頓量中隨時(shí)間的演化是幺正變換, 保證幾率守恒律[1], 然而對(duì)于PT對(duì)稱(宇稱-時(shí)間反演對(duì)稱)的非厄米系統(tǒng)也可以具有實(shí)數(shù)本征譜[2]. 文獻(xiàn)[3]基于PT對(duì)稱的一維緊束縛模型討論了體系虛數(shù)勢能對(duì)其能譜的影響, 但文章只討論了偶數(shù)格點(diǎn)系統(tǒng)能譜變化的特點(diǎn). 本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上, 對(duì)PT 對(duì)稱的非厄米體系的能譜性質(zhì)重新進(jìn)行了討論.

1 PT對(duì)稱的非厄米模型

為了文章的完整性, 我們從文獻(xiàn)[3]建立的一維緊束縛模型出發(fā)重新進(jìn)行問題的討論. 系統(tǒng)的哈密頓量為

(1)

其中γ為虛數(shù)勢的強(qiáng)度,t為相鄰格點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度的大小,N為系統(tǒng)格點(diǎn)的總數(shù).

(3)

(4)

對(duì)應(yīng)的本征值為

λk=-2tcosk

(5)

式中k=mπ/(N+1),m∈[1,N]表示系統(tǒng)的波矢.

下面討論γ≠0時(shí)對(duì)系統(tǒng)能譜的影響. 設(shè)本征態(tài)的形式解為

(6)

將其代入哈密頓(1)的本征方程不難發(fā)現(xiàn), 系統(tǒng)的本征值λk在形式上仍然保持式(5)的形式, 但波矢k則由下式確定

γ2sin [k(N-1)]+t2sin [k(N+1)]=0

(7)

2 PT對(duì)稱系統(tǒng)能譜的討論

如文獻(xiàn)[2]所指出的,PT對(duì)稱系統(tǒng)的能譜受虛數(shù)勢γ的取值的影響. 主要表現(xiàn)為|γ|的取值存在臨界值|γc|, 當(dāng)|γ|<|γc|時(shí)系統(tǒng)的本征值存在N個(gè)純實(shí)數(shù)解; 當(dāng)γ=γc時(shí)系統(tǒng)的本征值出現(xiàn)合并; 當(dāng)|γ|>|γc|時(shí), 系統(tǒng)PT對(duì)稱性出現(xiàn)破缺, 反映出來的結(jié)果是系統(tǒng)的本征值存在N-2個(gè)純實(shí)數(shù)解,另外2個(gè)以共軛復(fù)數(shù)對(duì)的形式存在. 因此, 臨界值|γc|是非厄米相變發(fā)生的臨界點(diǎn), 也稱例外點(diǎn). |γc|的取值與N的奇偶性有關(guān)：

(8)

接下來我們?cè)敿?xì)討論當(dāng)|γ|=|γc|=t時(shí), 系統(tǒng)能譜的性質(zhì). 由于|γc|的取值與N奇偶性有關(guān), 所以我們將分成兩個(gè)方面分別進(jìn)行討論.

2.1 N為偶數(shù)

取|γ|=|γc|=t, 式(7)可簡化為

sin (kN)cosk=0

(9)

不難得出方程的解為k=π/2或k=mπ/N,m∈[1,N-1]. 因?yàn)镹為偶數(shù), 所以當(dāng)m=N/2時(shí),系統(tǒng)存在兩個(gè)完全相同的波矢:k=π/2. 該波矢值對(duì)應(yīng)的本征態(tài)和本征值完全相同, 這一點(diǎn)與厄米系統(tǒng)所反映出來的性質(zhì)有很大的不同(在厄米系統(tǒng)中，簡并能級(jí)的本征態(tài)是正交的).

為了清楚的展示γ取值對(duì)能譜的影響, 圖1展示了N= 4系統(tǒng)的本征能量與γ的函數(shù)關(guān)系, 其中圖1(a)展示了本征值的實(shí)數(shù)部分, 圖1(b) 展示了本征值的虛數(shù)部分. 可以發(fā)現(xiàn), 當(dāng)|γ|

本征能量的實(shí)數(shù)部分 本征能量的虛數(shù)部分圖1 N=4系統(tǒng)的本征能量與虛數(shù)在位勢γ的函數(shù)關(guān)系

2.2 N為奇數(shù)

Nsin (kN)cosk-cos (kN)sink=0

(10)

上式為超越方程, 波矢k沒有明確的表達(dá)形式. 因?yàn)镹為奇數(shù), 不難發(fā)現(xiàn)k=π/2仍是方程(7)式的解, 此波矢對(duì)應(yīng)能量為零的本征值. 圖2展示了N=5系統(tǒng)的本征能量與γ的函數(shù)關(guān)系. 可以發(fā)現(xiàn), 當(dāng)系統(tǒng)處在精確PT對(duì)稱相時(shí), 5個(gè)本征值均為純實(shí)數(shù). 當(dāng)系統(tǒng)處在PT對(duì)稱破缺相時(shí), 系統(tǒng)3個(gè)本征值為純實(shí)數(shù), 2個(gè)為純虛數(shù)解; 在例外點(diǎn), 系統(tǒng)有3個(gè)本征態(tài)出現(xiàn)合并. 這一點(diǎn)與N為偶數(shù)的情況有所不同, 其原因在于當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)始終存在一個(gè)與γ取值無關(guān)的能量為零的本征值.

通過對(duì)比圖1和圖2的結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，在該模型中無論格點(diǎn)數(shù)的奇偶，只有兩個(gè)能級(jí)經(jīng)歷實(shí)數(shù)到虛數(shù)的轉(zhuǎn)換.

圖2 N=5系統(tǒng)的本征能量與虛數(shù)在位勢γ的函數(shù)關(guān)系

3 結(jié)論

本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上詳細(xì)討論了PT對(duì)稱的一維緊束縛系統(tǒng)中虛勢對(duì)其能譜的影響, 補(bǔ)充了當(dāng)系統(tǒng)維度為奇數(shù)時(shí), 虛數(shù)在位勢對(duì)能譜影響的討論. 結(jié)果表明系統(tǒng)的能譜性質(zhì)受虛數(shù)在位勢的取值的影響: 當(dāng)|γ|取值小于臨界值|γc|時(shí), 系統(tǒng)的本征值全部為實(shí)數(shù)解; 在例外點(diǎn), 系統(tǒng)的本征值出現(xiàn)合并; 當(dāng)|γ|取值大于|γc|時(shí), 系統(tǒng)有兩個(gè)能量本征值由實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樘摂?shù), PT對(duì)稱發(fā)生自發(fā)破缺. 此外, 臨界值|γc|的取值還與系統(tǒng)維度的奇偶性有關(guān), 在熱力學(xué)極限下,N→∞,γc的取值將趨于一致.

上述現(xiàn)象出現(xiàn)的原因是γ的取值雖然不影響哈密頓量的PT對(duì)稱性, 但會(huì)對(duì)哈密頓量本征態(tài)的PT對(duì)稱性產(chǎn)生影響. 當(dāng)|γ|取值小于臨界值|γc|時(shí), 系統(tǒng)的所有本征態(tài)都具有PT對(duì)稱性, 此時(shí)所有的本征值為實(shí)數(shù). 當(dāng)|γ|取值大于臨界值|γc|時(shí), 部分本征態(tài)的PT對(duì)稱性發(fā)生破缺(即該本征態(tài)不再具有PT對(duì)稱性), 這些對(duì)稱性破缺的本征態(tài)對(duì)應(yīng)的本征值轉(zhuǎn)變?yōu)榧兲摂?shù), 其余保持PT對(duì)稱性的本征態(tài)對(duì)應(yīng)的本征值仍為實(shí)數(shù).