物理學(xué)中常用的高斯與類高斯型積分

王 蒙，陶俊琦，程劍劍，鄭 華

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710119)

本文旨在基于大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對常用的高斯及類高斯型積分做系統(tǒng)的闡述，給出相應(yīng)的求解方法和通用積分結(jié)果. 以期助力學(xué)生學(xué)習(xí)與教職人員教授相關(guān)內(nèi)容.

1 高斯與類高斯型積分

本節(jié)中，我們將對不同的高斯與類高斯型積分進行計算與討論，遵循由簡到難、由特殊到一般的邏輯.

1.1 高斯型積分I=e-αx2dx,(α>0,α∈R)

在高斯與類高斯型積分中，非常重要的一個積分是

(1)

考慮α為實數(shù)的情況.為保證式(1)積分收斂，要求α>0. 式(1)無法利用牛頓萊布尼茲公式求出原函數(shù)對積分進行計算. 但可以通過構(gòu)造的方法，建立式(1)與二維積分的聯(lián)系，然后利用常用積分就可以計算了. 具體過程如下

(2)

對式(2)中r的積分進行變量代換，容易看出是一個指數(shù)函數(shù)積分. 因此

(3)

此積分過程中體現(xiàn)了一個重要的思想，在當(dāng)前維度下如果解決不了問題時，可以發(fā)散性的將問題向高維轉(zhuǎn)化.某些特殊函數(shù)的生成函數(shù)，也應(yīng)用了這一思想，在此我們不做詳細(xì)論述[7].

下面討論3個常用的高斯型積分.

(a) 當(dāng)α=1時，由式(3)可得

(4)

(b) 將式(3)的積分限變成0到正無窮，由式(3)的積分函數(shù)是偶函數(shù)可得

(5)

(c) 將式(3)的積分限變成0到正無窮且α=1

(6)

1.2 Γ函數(shù)與高斯型積分

Γ函數(shù)與高斯型積分具有直接的聯(lián)系[8-10].在實變函數(shù)中，Γ函數(shù)的通常定義如下

(7)

Γ函數(shù)具有如下性質(zhì)

Γ(x+1)=xΓ(x)

(8)

將Γ函數(shù)式(7)的積分變量t作積分變量代換，令t=u2.可得

(9)

為便于文章后面的討論，將式(9)改寫為

(10)

可見，當(dāng)x=0時，式(10)右邊為高斯型積分式(6)，故有

(11)

這是我們熟知的結(jié)果.

1.3 高斯型積分

下面將考慮幾個不同積分限的高斯型積分.

與高斯分布相關(guān)的物理量的計算中，很常用的一類積分為

(12)

當(dāng)n為奇數(shù)時，由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，可得

(13)

當(dāng)n為偶數(shù)時，取n=2k(k為自然數(shù))，式(12)變成

(14)

我們將以k=1為例，通過3種方法來計算I(2),然后給出積分式(14)的通用公式.

(a) 計算積分I(2)常用的方法為分部積分法

(15)

已經(jīng)利用了高斯型積分式(3)的結(jié)果.如果k值取更大，用分部積分法計算式(14)會比較繁瑣.

(b) 另一種方法計算積分I(2)，可以將α看成變量

(16)

此方法比分部積分法簡潔，更重要的是其可以很容易給出積分式(14)的通用公式

(17)

雙階乘定義:(2n-1)!!≡1·3……(2n-3)(2n-1).

(c) 更簡潔的方法是將I(2)與Γ函數(shù)式(10)聯(lián)系，可得

(18)

(19)

最后的結(jié)果已經(jīng)利用Γ函數(shù)的性質(zhì)式(8).此方法避免了(b)中對α求導(dǎo)的過程.

綜上所述，式(12)的積分結(jié)果為

(20)

其中k為自然數(shù).

由上節(jié)可知，將高斯積分與Γ函數(shù)聯(lián)系是很簡潔的方法.與式(20)類似的過程可得

(21)

其中k為自然數(shù).

1.4 類高斯型積分I=e-α(x+c)2dx

現(xiàn)在來計算類高斯型積分

(22)

其中α與c可以是復(fù)數(shù)，考慮到積分的收斂性，要求Re(α)>0. 這與1.1與1.3中要求α為實數(shù)不一樣，我們稱之為類高斯型積分.

由于類高斯型積分已經(jīng)涉及到了復(fù)數(shù)，有些計算過程會用到“數(shù)學(xué)物理方法”中的留數(shù)定理[11].為使討論更為清晰，我們分以下幾種情況：

(a)α與c均為實數(shù): 這種情況與1.1的討論很相似，唯一的差別是高斯函數(shù)的對稱中心在x=-c.可以通過積分變量代換將式(22)變成式(3)

(23)

(b)α為實數(shù)，c為純虛數(shù)：這種情況下需要用到留數(shù)定理. 不失一般性的可以令c=ib，b為正實數(shù). 在復(fù)平面上選擇積分路徑如圖1所示.

圖1 復(fù)平面積分路徑

被積函數(shù)f(z)=e-αz2在積分區(qū)域內(nèi)是解析的.由留數(shù)定理可得

∮e-αz2dz=0

(24)

可將積分式(24)沿長方形閉合區(qū)域?qū)懗?部分之和

(25)

在R→∞，第三項與待求積分有簡單的關(guān)系:

(26)

(27)

當(dāng)b為負(fù)實數(shù)時，在復(fù)平面上將積分路徑選在下半平面，其余過程與b為正實數(shù)類似，可以得到同樣的積分結(jié)果.

(c)α為復(fù)數(shù)，c為實數(shù)：α為復(fù)數(shù)時，與1.1中α為實數(shù)時類似，可以得到

(28)

(29)

(d)α為復(fù)數(shù)，c為純虛數(shù)：與1.4 (b)中計算過程類似并利用1.4(c)的積分結(jié)果，可得

(30)

(e)α與c均為復(fù)數(shù)：此種情況是最一般的情況. 利用1.4 (a)中的積分變量代換，可以將復(fù)數(shù)c的實部消除，這時積分就變成了1.4 (d)中的積分. 因此，積分結(jié)果為

(31)

1.5 類高斯型積分I=eim(x+c)2dx

(32)

不失一般性的，先考慮m為正實數(shù). 在復(fù)平面上eimz2解析，利用留數(shù)定理可得

∮eimz2dz=0

(33)

可在復(fù)平面上選擇如圖2所示積分路徑.

圖2 復(fù)平面積分路徑

可將積分式(33)寫成三部分之和

(34)

當(dāng)R→∞時，式(34)第一項為I/2, 其中I為待求積分；第二項積分為0，計算如下

(35)

第三項積分為

(36)

由式(34)可得

(37)

當(dāng)m為負(fù)實數(shù)時，在復(fù)平面上將積分路徑選在下半平面，其余過程與m為正實數(shù)類似.為方便，我們讓m=-m′(m′>0)，可得

(38)

(39)

(b)c為純虛數(shù):不失一般性的可以令c=ib，b為正實數(shù). 在復(fù)平面上選擇積分路徑如圖1所示，同1.4(b)類似有

(40)

當(dāng)R→∞時，式(40)第一項可以利用1.5(a)的結(jié)果，第三項等于負(fù)的待求積分，考察第二項與第四項的模可以發(fā)現(xiàn)總有一項是發(fā)散的. 因此，此種情況下待求積分是發(fā)散的.

(c)c為復(fù)數(shù):此種情況是最一般的情況. 利用1.4(a)中的積分變量代換，可以將復(fù)數(shù)c的實部消除，這時積分就變成了1.5(b)中的積分. 同樣的道理，此時積分是發(fā)散的.

1.6 高斯與類高斯型積分的討論

通過觀察式(3)，式(31)與式(39)的積分結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)高斯與類高斯積分結(jié)果均可寫成高斯積分結(jié)果的形式，只是需要限定α的輻角范圍：

(a) Re(α)>0,α∈C,c∈C

(41)

需要限定arg(α)∈(-π/2,π/2), 注意α為實數(shù)時其輻角為0.

(b) Re(α)=0,α∈C,c∈R

(42)

需要限定arg(α)=-π/2或arg(α)=π/2.

2 高斯與類高斯型積分在物理學(xué)中的應(yīng)用

為將上面討論的高斯及類高斯型積分與物理學(xué)科中的實際問題聯(lián)系起來,在此我們將選擇不同物理學(xué)科中的幾個具體問題，來展示不同形式的高斯及類高斯型積分的應(yīng)用實例.所選問題的物理內(nèi)涵及重要性，讀者均可從相應(yīng)的教科書中查閱.

2.1 熱力學(xué)與統(tǒng)計物理[3]

熱力學(xué)與統(tǒng)計物理中，在討論麥克斯韋速度分布律及能量均分定理時，需要計算分子速率的平均及分子速率平方的平均 (見文獻[3]中197-200頁).為避免重復(fù)計算，我們可先得到速率n次方的平均的通用式

(43)

(44)

(45)

因此方均根速率為

(46)

2.2 量子力學(xué)[1,2,12]

在量子力學(xué)中，高斯與類高斯型積分有著廣泛應(yīng)用.

(b) 量子力學(xué)中，對同一個問題，可以選擇在不同的表象中求解. 一般情況下，解薛定諤方程是在坐標(biāo)表象中進行的，但對有些問題在動量表象中求解更方便(見文獻[12]中卷一108-113頁). 一維諧振子既可以在坐標(biāo)表象也可以在動量表象中精確求解，且在坐標(biāo)表象中得到的波函數(shù)與在動量表象中得到相應(yīng)的波函數(shù)之間可以通過傅立葉變換聯(lián)系. 以一維諧振子在動量表象中的基態(tài)波函數(shù)與其在坐標(biāo)表象中的基態(tài)波函數(shù)為例

(47)

由于一維諧振子在坐標(biāo)表象中基態(tài)波函數(shù)是高斯函數(shù)，傅立葉變換時會出現(xiàn)類高斯型積分

(48)

(c) 費曼路徑積分作為量子力學(xué)(矩陣力學(xué)與波動力學(xué)之外)的另一種理論形式,其核心是如何計算量子系統(tǒng)的傳播子.在費曼路徑積分計算自由粒子傳播子的過程中，會用到1.5中討論的類高斯型積分.自由粒子傳播子的計算需要計算兩個高斯函數(shù)乘積的積分(見文獻[12]卷二176頁)，如下

(49)

其中為α、β純虛數(shù).

3.3 光學(xué)[6,11,13]

(50)

分別對比式(50)中等式左邊與右邊的實部與虛部可得

(51)

(52)

2.4 量子光學(xué)[14]

(53)

(54)

(55)

3 小結(jié)