基于連續(xù)三角模方冪的模糊蘊(yùn)涵關(guān)于三角模與三角余模的分配方程

付伊嘉, 周紅軍

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710119)

0 引言

模糊蘊(yùn)涵在包括模糊形態(tài)學(xué)、圖像處理、詞語(yǔ)計(jì)算、數(shù)據(jù)挖掘、粗糙集、模糊關(guān)系方程等在內(nèi)的諸多模糊數(shù)學(xué)分支中扮演著重要的角色[1–7]。因此，很多學(xué)者致力于模糊蘊(yùn)涵的研究，并且促進(jìn)了模糊蘊(yùn)涵的快速發(fā)展。根據(jù)構(gòu)造方法，模糊蘊(yùn)涵可分為(S,N)-蘊(yùn)涵、R-蘊(yùn)涵、QL-蘊(yùn)涵、Yager 蘊(yùn)涵以及序和蘊(yùn)涵[8–10]。最近，文獻(xiàn)[11–14]中基于連續(xù)三角模的冪提出了T-冪蘊(yùn)涵。文獻(xiàn)[15–17]對(duì)這類(lèi)蘊(yùn)涵的一些重要性質(zhì)做了深入研究，T-冪蘊(yùn)涵的重要性在于其可以滿足一些特殊的性質(zhì)，這使得它在近似推理的應(yīng)用中是不可或缺的，本文也將說(shuō)明T- 冪蘊(yùn)涵不同于其他各類(lèi)模糊蘊(yùn)涵。

各類(lèi)模糊蘊(yùn)涵關(guān)于三角模和三角余模的分配方程是重要的研究方向，主要包括如下四類(lèi)分配方程，它們分別是二值命題邏輯中相應(yīng)重言式的模糊化，在刻畫(huà)邏輯代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)和解決模糊系統(tǒng)中推理規(guī)則爆炸問(wèn)題中均起著重要作用[18–19]

其中I是模糊蘊(yùn)涵，T、T1、T2是三角模，S、S1、S2是三角余模。目前主要研究成果有：

1) 文獻(xiàn)[20]給出了當(dāng)I是(S,N)-蘊(yùn)涵、R-蘊(yùn)涵、QL-蘊(yùn)涵時(shí)，分配方程(1)～(4)的解；

2) 文獻(xiàn)[9]給出了序和蘊(yùn)涵關(guān)于三角模和三角余模的四類(lèi)分配方程的解；

3) 文獻(xiàn)[21]研究了四類(lèi)分配方程在I取一些特殊的R-蘊(yùn)涵和S-蘊(yùn)涵時(shí)，T與S的結(jié)構(gòu)刻畫(huà)；

4) 文獻(xiàn)[22]研究了當(dāng)I是由嚴(yán)格三角模生成的R-蘊(yùn)涵時(shí)，分配方程I(x,S(y,z)) =S(I(x,y),I(x,z))的求解問(wèn)題；

5) 文獻(xiàn)[23–24]分別將四類(lèi)分配方程中的三角模T和三角余模S推廣到可表示一致模的情形，當(dāng)T和S都是給定的可表示一致模時(shí)，刻畫(huà)了模糊蘊(yùn)涵I滿足式(1)和式(2)時(shí)的結(jié)構(gòu)；他們也刻畫(huà)了當(dāng)T1=T2都是嚴(yán)格三角模時(shí)，分配方程(3)的求解問(wèn)題，并且研究了當(dāng)S1和S2都是冪零三角余?；蛘邍?yán)格三角余模時(shí)，模糊蘊(yùn)涵I滿足(4)式時(shí)的結(jié)構(gòu)。

此外，關(guān)于聚合算子的分配方程也得到大量的研究，文獻(xiàn)[25–26]研究了分配方程關(guān)于一致模和聚合算子的求解問(wèn)題，文獻(xiàn)[27]研究了分配性方程關(guān)于冪等一致模的求解問(wèn)題.

本文研究T-冪蘊(yùn)涵關(guān)于一般三角模和三角余模的四類(lèi)分配方程成立的充要條件。論文內(nèi)容安排如下：第1 節(jié)回顧本文需要的預(yù)備知識(shí)，包括三角模、三角余模、模糊蘊(yùn)涵、T-冪蘊(yùn)涵、模糊否定等。第2 節(jié)給出T-冪蘊(yùn)涵關(guān)于一般三角模和三角余模的四類(lèi)分配方程成立的充要條件。第3 節(jié)討論T-冪蘊(yùn)涵與其他已知模糊蘊(yùn)涵的關(guān)系。第4 節(jié)對(duì)本文作以簡(jiǎn)要總結(jié)并且對(duì)未來(lái)工作進(jìn)行展望。

1 預(yù)備知識(shí)

為便于閱讀，下面回顧本文中用到的一些基本概念和性質(zhì)。

定義1[28]稱二元函數(shù)T: [0,1]2→[0,1]是三角模，若T滿足交換律與結(jié)合律，關(guān)于兩個(gè)變?cè)獑握{(diào)不減，并且以1 為單位。

表1 給出了幾種常用的三角模。

表1 常用的三角模

若三角模T滿足，對(duì)任意的x ∈[0,1], T(x,x)=x，則T=TM。

定義2[28]稱二元函數(shù)S:[0,1]2→[0,1]是三角余模，若S滿足交換律與結(jié)合律，關(guān)于兩個(gè)變?cè)獑握{(diào)不減，并且以0 為單位。

表2 給出了幾個(gè)常用的三角余模。

表2 常用的三角余模

若三角余模S滿足，對(duì)任意的x ∈[0,1], S(x,x)=x，則S=SM。

定義3[29]稱二元函數(shù)I:[0,1]2→[0,1]是模糊蘊(yùn)涵，若對(duì)于任意x,y,z ∈[0,1]，I滿足以下條件：

(I1) 當(dāng)x ≤y時(shí)，I(y,z)≤I(x,z)；

(I2) 當(dāng)y ≤z時(shí)，I(x,y)≤I(x,z)；

(I3)I(0,0)=1；

(I4)I(1,1)=1；

(I5)I(1,0)=0。

全體模糊蘊(yùn)涵之集記為FI。從以上定義知，任一模糊蘊(yùn)涵I滿足以下兩條性質(zhì)，分別稱為左邊界條件和右邊界條件：

(LB)I(0,y)=1, y ∈[0,1]；

(RB)I(x,1)=1, x ∈[0,1]。

定義4[28]稱一元函數(shù)N: [0,1]→[0,1]是模糊否定，若N(0) = 1, N(1) = 0，并且N是單調(diào)不增的。

1) 稱模糊否定N是標(biāo)準(zhǔn)模糊否定，若對(duì)于任意x ∈[0,1], N(x) = 1-x，記為N=NC。

2) 令

則N?是模糊否定，且N?是最大的模糊否定。

定義5[30]設(shè)I是模糊蘊(yùn)涵，T是三角模，N是模糊否定，稱I滿足：

1) 單位元性質(zhì)(NP)，若對(duì)于任意y ∈[0,1]，有I(1,y)=y；

2) 置換性質(zhì)(EP)，若對(duì)于任意x,y,z ∈[0,1]，有I(x,I(y,z))=I(y,I(x,z))；

3) 恒等性質(zhì)(IP)，若對(duì)于任意x ∈[0,1]，有I(x,x)=1；

4) 序性質(zhì)(OP)，若對(duì)于任意x,y ∈[0,1], I(x,y)=1 當(dāng)且僅當(dāng)x ≤y；

5) 關(guān)于N的逆否性質(zhì)(CP(N))，若對(duì)任意x,y ∈[0,1]，有I(x,y)=I(N(y),N(x))；

6)T的輸入原則(LIT)，若對(duì)于任意x,y,z ∈[0,1]，有I(T(x,y),z)=I(x,I(y,z))；

7)T傳遞性，若對(duì)于任意x,y,z ∈[0,1]，有T(I(x,y),I(y,z))≤I(x,z)。

設(shè)T是連續(xù)三角模，根據(jù)T的連續(xù)性和結(jié)合性，可以用通常的遞歸方式定義元素x ∈[0,1]基于三角模T的整數(shù)冪

定理1[29]設(shè)T:[0,1]2→[0,1]是二元函數(shù)，則以下兩條等價(jià)：

(i)T是連續(xù)的阿基米德三角模；

(ii)T有連續(xù)的加法生成子t，即存在一個(gè)滿足t(1) = 0 的連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù)t: [0,1]→[0,∞]，使得對(duì)于任意x,y ∈[0,1]，有T(x,y) =t-1(min((t(x)+t(y)),t(0))。三角模的加法生成子在相差正常數(shù)倍的意義下是唯一的。

定理2[29]設(shè)T是連續(xù)的阿基米德三角模，t:[0,1]→[0,∞]是T的加法生成子，則：

1)T是嚴(yán)格三角模，當(dāng)且僅當(dāng)t(0)=∞；

2)T是冪零三角模，當(dāng)且僅當(dāng)t(0)＜∞。

引理1[17]設(shè)T是連續(xù)三角模，IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵。

1) 若T=TM，則

其中0＜a ＜1。

4) 若T=TL，則

為便于第3 節(jié)說(shuō)明T-冪蘊(yùn)涵不同于其他已有各類(lèi)模糊蘊(yùn)涵，這里再回憶其他各類(lèi)模糊蘊(yùn)涵的定義。

定義9[28]稱二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是(S,N)-蘊(yùn)涵，若存在三角余模S和模糊否定N，使得對(duì)于任意x,y ∈[0,1], I(x,y) =S(N(x),y)。為明確起見(jiàn)，將上述I記為IS,N。如果N是強(qiáng)模糊否定，那么稱I為強(qiáng)模糊蘊(yùn)涵或者S-蘊(yùn)涵。

定義10[28]稱二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是QL-蘊(yùn)涵，若存在三角模模T，三角余模S和模糊否定N，使得對(duì)于任意x,y ∈[0,1], I(x,y) =S(N(x),T(x,y))。為明確起見(jiàn)，將上述I記為IT,S,N。

定義11[28]稱二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是R-蘊(yùn)涵，若存在三角模T，使得對(duì)于任意x,y ∈[0,1], I(x,y)=sup{t ∈[0,1]|T(x,t)≤y}。為明確起見(jiàn)，將上述I記為IT。

2 T-冪蘊(yùn)涵的分配方程

由文獻(xiàn)[29]中7.2 節(jié)可知，若模糊蘊(yùn)涵I滿足(NP)，那么I滿足分配方程(1)～(4)的充要條件分別是對(duì)應(yīng)分配方程中的T=TM, S=SM。f-蘊(yùn)涵，g-蘊(yùn)涵，(S,N)-蘊(yùn)涵，QL-蘊(yùn)涵以及R-蘊(yùn)涵都滿足(NP)，然而T-冪蘊(yùn)涵不滿足(NP)，因此，T-冪蘊(yùn)涵與其他已知模糊蘊(yùn)涵四類(lèi)分配方程成立的充要條件的證明方法是不同的。文獻(xiàn)[29]僅僅給出了f-蘊(yùn)涵、g-蘊(yùn)涵、(S,N)-蘊(yùn)涵、QL-蘊(yùn)涵以及R-蘊(yùn)涵關(guān)于三角模和三角余模的四類(lèi)分配方程成立的充要條件，本節(jié)將完善文獻(xiàn)[29]的7.2 節(jié)關(guān)于模糊蘊(yùn)涵分配方程的內(nèi)容，給出T-冪蘊(yùn)涵關(guān)于一般三角模和三角余模的四類(lèi)分配方程成立的充要條件。

2.1 分配方程(1)

定理3 設(shè)T是三角模，S是三角余模，ITM是由TM生成的T-冪蘊(yùn)涵，則(T,S,ITM)滿足(1)式，當(dāng)且僅當(dāng)S=SM。

證明 =?設(shè)(T,S,ITM)滿足(1)式，x ∈[0,1]，則由(1)式，可得

所以S(x,x)≤x。由于S是三角余模，可知S(x,x)≥x，因此，S(x,x) =x，那么S=SM。

綜上，證得(T,SM,ITM)滿足(1)式。

定理4 設(shè)T*是三角模，S是三角余模，T是連續(xù)阿基米德三角模，IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵，則(T*,S,IT)滿足(1)式，當(dāng)且僅當(dāng)T*=TM, S=SM。

證明 =?設(shè)t是T的加法生成子，(T*,S,IT)滿足(1)式，x ∈[0,1]，則由(1)式，可得

綜上證得(TM,SM,IT)滿足(1)式。

例1 設(shè)T是三角模，S是三角余模，ITP是由TP生成的T-冪蘊(yùn)涵，ITL是由TL生成的T-冪蘊(yùn)涵。由于TP, TL是連續(xù)的阿基米德三角模，所以由定理4 可知：

(i) (T,S,ITP)滿足(1)式，當(dāng)且僅當(dāng)T=TM, S=SM；(ii) (T,S,ITL)滿足(1)式，當(dāng)且僅當(dāng)T=TM, S=SM。

定理5 設(shè)T= (〈aα,bα,Tα〉)α∈A是連續(xù)的序和三角模，其中Tα是連續(xù)的阿基米德三角模，α ∈A。設(shè)IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵，T*是三角模，S是三角余模，則(T*,S,IT)滿足(1)式，當(dāng)且僅當(dāng)T*=TM, S=SM。

證明 =?假設(shè)(T*,S,IT)滿足(1)式，對(duì)于任意α ∈A, tα是Tα的加法生成子。任取x ∈[0,1]，由(1)式，可得

因此IT(SM(x,y),z)=1，且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(1,1)=1；否則

從而IT(SM(x,y),z)=1，且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(1,1)=1；

② 若x ≤ z且y ＞ z，則SM(x,y) = max(x,y) =y ＞ z，并且IT(x,z) =1, IT(y,z)=0。因此IT(SM(x,y),z)=0，且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(1,0)=0；

③ 若y ≤z且x ＞z，則與上述情況類(lèi)似；

④ 若x ＞z且y ＞z，則SM(x,y) = max(x,y)＞z，并且IT(x,z) =IT(y,z) =0。因此IT(SM(x,y),z)=0，且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(0,0)=0；

2) 存在α0∈A，使得z ∈[aα0,bα0]，根據(jù)x, y與區(qū)間[aα0,bα0]之間的大小關(guān)系，再討論以下五種情況：

① 若x,y/∈∪α0∈A[aα0,bα0]，則根據(jù)x, y, aα0, bα0之間的大小關(guān)系，再討論以下四種子情況：

(a) 若x ≤aα0，并且y ≤aα0，則SM(x,y)≤aα0≤z，從而IT(x,z)=IT(y,z)=1，因此IT(SM(x,y),z)=1，并且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(1,1)=1；

(b) 若x ＞bα0，并且y ＞bα0，則SM(x,y)＞bα0≥z，從而IT(SM(x,y),z)=0，并且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(0,0)=0；

(c) 若y ≤aα0，并且x ＞bα0，則IT(SM(x,y),z)=0，并且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(0,1)=0；

(d) 若x ≤ aα0，并且y ＞ bα0，則與上述子情況類(lèi)似，仍有(TM,SM,IT)滿足(1)式；

②x ∈[aα0,bα0]且y/∈[aα0,bα0]，再討論以下兩種子情況：

2.2 分配方程(2)

命題1[29]設(shè)二元函數(shù)I:[0,1]2→[0,1]，則以下兩條等價(jià)：

(i)I關(guān)于第一變?cè)獑握{(diào)不增，即I滿足(I1)；

(ii)I滿足分配方程I(min(x,y),z)=max(I(x,z),I(y,z))。

注1 由命題1 可知，當(dāng)T=TM, S=SM時(shí)，對(duì)于任意模糊蘊(yùn)涵I，三元組(TM,SM,I)都滿足(2)式，從而(TM,SM,IT)也滿足(2)式。

接下來(lái)刻畫(huà)當(dāng)T*和IT都是固定的，三元組(T*,S,IT)滿足(2)式時(shí)三角余模S的結(jié)構(gòu)。下面的命題是自明的。

命題2 設(shè)T*=TM是三角模，S是三角余模，則：

(i) 若ITM是由TM生成的T-冪蘊(yùn)涵，則三元組(T*,S,ITM)都滿足(2)式；

(ii) 設(shè)T是連續(xù)阿基米德三角模，IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵，則(T*,S,IT)滿足(2)式，當(dāng)且僅當(dāng)S=SM；

(iii) 設(shè)T= (〈aα,bα,Tα〉)α∈A是連續(xù)的序和三角模，IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵，則(T*,S,IT)滿足(2)式，當(dāng)且僅當(dāng)S=SM。

定理6 設(shè)S是三角余模，T是連續(xù)阿基米德三角模，IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵，則(T,S,IT)滿足(2)式，當(dāng)且僅當(dāng)S=SL。

顯然成立。綜上證得三元組(T,SL,IT)滿足(2)式。

例2 設(shè)S是三角余模，IT是由連續(xù)三角模T生成的T-冪蘊(yùn)涵。由于TP、TL是連續(xù)的阿基米德三角模，所以由定理6 可知：

(i) 若T=TP，則(T,S,IT)滿足(2)式，當(dāng)且僅當(dāng)S=SL；

若x,y,z=bα，顯然

若x,y,z/∈∪α∈A[aα,bα]，易證(T,SL,IT)滿足(2)式。綜上證得(T,SL,IT)滿足(2)式。

推論1 設(shè)S是三角余模，T*是三角模，IT是由連續(xù)的三角模T生成的T-冪蘊(yùn)涵，則有：

(i) 若T*=TP, T=TL或T*=TL, T=TP，則不存在S，使得三元組(T*,S,IT)滿足(2)式；

(ii) 若T*是連續(xù)的阿基米德三角模，T是連續(xù)的非平凡序和三角模，則不存在S，使得三元組(T*,S,IT)滿足(2)式；

(iii) 若T*是連續(xù)的非平凡序和三角模，T是連續(xù)的阿基米德三角模，則不存在S，使得三元組(T*,S,IT)滿足(2)式。

證明 (i) 若T*=TP, T=TL，假設(shè)存在S，使得三元組(TP,S,ITL)滿足(2)式。若x ＞z, y ＞z且TP(x,y)＞z，則

2.3 分配方程(3)

所以T2(λ,λ)=λ；若x,y=bα，顯然T2(1,1)=1；若x,y/∈∪α∈A[aα,bα]，顯然T2(0,0)=0。綜上證得T2=TM。

?= 下證(TM,TM,IT)滿足(3)式。根據(jù)元素x與區(qū)間[aα,bα]的關(guān)系，分為兩種情況：x/∈[aα,bα]和x ∈[aα,bα]。

1) 若對(duì)于任意α ∈A, x/∈[aα,bα]，根據(jù)x, y, z之間的大小關(guān)系，再討論以下四種情況：

① 若x ≤y且x ≤z，如果存在α0∈A，使得y,z ∈[aα0,bα0]，可知TM(y,z)≥aα0＞x，因此IT(x,TM(y,z)) = 1，且TM(IT(x,y),IT(x,z)) =TM(1,1) = 1；否則TM(y,z) = min(y,z)≥x，因此IT(x,TM(y,z)) = 1，且TM(IT(x,y),IT(x,z)) =TM(1,1)=1；

② 若x ≤z且x ＞y，則TM(y,z) = min(y,z) =y ＜x，因此IT(x,TM(y,z)) =0，且TM(IT(x,y),IT(x,z))=TM(0,1)=0；

③ 若x ≤y且x ＞z，則與上述情況類(lèi)似；

④ 若x ＞y且x ＞z，則TM(y,z) = min(y,z)＜x，因此IT(x,TM(y,z)) = 0，且TM(IT(x,y),IT(x,z))=TM(0,0)=0。

2.4 分配方程(4)

定理11 設(shè)I是滿足(OP)的模糊蘊(yùn)涵，S是三角余模，并且I滿足I(x,S(y,z)) =S(I(x,y),I(x,z))，那么三角余模S是冪等的，或不是正的。證明 若S是冪等的，則S=SM，任何模糊蘊(yùn)涵滿足

另一方面，令S/=SM，那么存在y ∈(0,1)，使得S(y,y)＞y，因?yàn)閷?duì)于任意x ∈(y,S(y,y))，I滿足I(x,S(y,z)) =S(I(x,y),I(x,z))，通過(guò)(OP)可得I(x,y) =y0＜1，并且

因此，三角余模S不是正的。

分配方程(3)式和(4)式中，由于三角余模T和三角模S是對(duì)偶的，因此，由定理8 和定理9 可得以下兩條定理。

定理12 設(shè)S1, S2是連續(xù)的三角余模，ITM是由TM生成的T-冪蘊(yùn)涵，則(S1,S2,ITM)滿足(4)式，當(dāng)且僅當(dāng)S1=SM。

定理13 設(shè)S1, S2是連續(xù)的三角余模，T是冪零三角模，IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵，則(S1,S2,IT)滿足(4)式，當(dāng)且僅當(dāng)S1=S2=SM。

注2 若定理13 中的T是嚴(yán)格三角模且有連續(xù)的加法生成子t，則T是正的。由定理11 可知，S2是T的對(duì)偶三角余模，因此，不存在三角余模S1，使得三元組(S1,S2,IT)滿足(4)式。

例4 設(shè)S1, S2是連續(xù)的三角余模，ITL是由TL生成的T-冪蘊(yùn)涵，由于TL是冪零三角模，由定理13 可知(S1,S2,ITL)滿足(4)式，當(dāng)且僅當(dāng)S1=S2=SM。

定理14 設(shè)T= (〈aα,bα,Tα〉)α∈A是連續(xù)的序和三角模，IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵，S1, S2是三角余模，則(S1,S2,IT)滿足(4)式，當(dāng)且僅當(dāng)S1=S2=SM。

證明 證明過(guò)程和定理10 類(lèi)似。

稱等式(p ∧q)→r ≡(p →(q →r))為輸入定律，它是經(jīng)典邏輯中的重言式。如上重言式的模糊化由下式給出

其中I是模糊蘊(yùn)涵，T是三角模[20]。

注3[20]如果模糊蘊(yùn)涵I關(guān)于任何三角模T滿足(6)，通過(guò)T的可交換性，那么I滿足(EP)。因?yàn)門(mén)-冪蘊(yùn)涵不滿足(EP)，那么它一定不滿足(6)。

3 T-冪蘊(yùn)涵與幾類(lèi)模糊蘊(yùn)涵的關(guān)系

下面，我們研究T-冪蘊(yùn)涵與f-蘊(yùn)涵、g-蘊(yùn)涵、(S,N)-蘊(yùn)涵、QL-蘊(yùn)涵，以及R-蘊(yùn)涵的關(guān)系。

命題3 設(shè)f是f-生成子，且f(0)=∞，If是f-生成子生成的f-蘊(yùn)涵，則If一定不是T-冪蘊(yùn)涵。

證明 假設(shè)存在連續(xù)三角模T滿足If(x,y)=IT(x,y)，則對(duì)于任意x,y ∈[0,1]，有

由于f(0) =∞，當(dāng)x=y= 0 時(shí)，有f-1(0·f(0)) =f-1(∞) = 0。然而IT(x,y) =IT(0,0)=1，矛盾！所以If一定不是T-冪蘊(yùn)涵。

命題4 設(shè)g是g-生成子，Ig是g-生成子生成的g-蘊(yùn)涵，則Ig一定不是T-冪蘊(yùn)涵。證明 假設(shè)存在連續(xù)三角模T，使得Ig(x,y) =IT(x,y)，則對(duì)于任意的x,y ∈[0,1]，有

矛盾！因此，Ig一定不是T-冪蘊(yùn)涵。

命題5 設(shè)S是三角余模，N是模糊否定，I是由S和N生成的(S,N)-蘊(yùn)涵，則I一定不是T-冪蘊(yùn)涵。

證明 設(shè)存在三角模S和模糊蘊(yùn)涵N，使得IS,N=IT，則對(duì)于任意x,y ∈[0,1]，有

取x= 1, y ∈(0,1)，則由文獻(xiàn)[15]中的命題8 知，IS,N(1,y) =y/= 0 =IT(1,y)。因此，(S,N)-蘊(yùn)涵一定不是T-冪蘊(yùn)涵。

命題6 設(shè)T是三角模，S是三角余模，N是模糊否定，I是由T、S、N構(gòu)成的QL-蘊(yùn)涵，則I一定不是T-冪蘊(yùn)涵。

證明 由文獻(xiàn)[28]中例2.6.4 給出下表3，在以下七種情況下，T、S以及N構(gòu)成的QL-蘊(yùn)涵都不是T-冪蘊(yùn)涵。

表3 常用QL-蘊(yùn)涵中的T, S 與N

4 結(jié)束語(yǔ)

本文較系統(tǒng)研究了T-冪蘊(yùn)涵關(guān)于一般三角模和三角余模的四類(lèi)分配方程成立的充分必要條件，并說(shuō)明了T-冪蘊(yùn)涵是新的一類(lèi)模糊蘊(yùn)涵。今后，將關(guān)注由一致模等其他聚合算子如何利用方冪生成模糊蘊(yùn)涵，并研究相應(yīng)模糊蘊(yùn)涵關(guān)于一致模的分配性方程等。