基于大通訊時(shí)滯的二階多智能體系統(tǒng)的一致性分析

晉守博 魏章志 李耀紅

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 宿州 234000)

1 引言

多智能體系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于生物學(xué)、計(jì)算機(jī)、管理學(xué)和工程學(xué)等方面，如鳥群的飛行、蟻群的協(xié)同合作、魚群的巡游和無人機(jī)群表演等[1,2]，這些現(xiàn)象都可以利用多智能體系統(tǒng)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決。本文將研究定向通信拓?fù)湎?階多智能體系統(tǒng)的一致性與魯棒性，該問題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)計(jì)通信協(xié)議，并在該協(xié)議下分析隨著時(shí)間的變化，所有智能體是否能夠達(dá)到相同的狀態(tài)。自從一致性的定義在文獻(xiàn)[3]中被提出后,許多學(xué)者從不同的方面開始陸續(xù)關(guān)注該問題。最近，文獻(xiàn)[4,5]的成果將多智能體系統(tǒng)的一致性問題的研究推向了一個(gè)新的階段，隨后文獻(xiàn)[2]討論了相關(guān)問題的理論框架，并給出了一致性算法。另外，蔣國平等人[6]從不同方面介紹了一致性問題的相關(guān)研究成果，并且指出仍然有許多難題需要學(xué)者去解決,關(guān)于一致性問題的進(jìn)一步研究可參考文獻(xiàn)[7,8]。

一般情況下，多智能體系統(tǒng)常用微分方程組描述系統(tǒng)的變化規(guī)律，既有低階的情況也有高階的情況，往往隨著階數(shù)的增高，系統(tǒng)會(huì)變得更加復(fù)雜。一階多智能體系統(tǒng)對(duì)應(yīng)著一組一階微分方程組，這種系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相對(duì)簡單，主要是反映智能體位置的變化規(guī)律，目前已經(jīng)有很多這方面的研究成果；2階多智能體系統(tǒng)雖然結(jié)構(gòu)復(fù)雜，但是能夠同時(shí)描述智能體位置和速度的變化情況，而且2階系統(tǒng)現(xiàn)實(shí)意義更強(qiáng)。針對(duì)2階多智能體系統(tǒng)，文獻(xiàn)[9,10]分析了實(shí)現(xiàn)一致的充要條件，文獻(xiàn)[11]討論了有限時(shí)間一致性問題，文獻(xiàn)[12]在隨機(jī)擾動(dòng)下研究了系統(tǒng)的一致性。另外，ZHENG等人在文獻(xiàn)[13]中討論了混合階多智能體系統(tǒng)的一致性。本文將考慮如式(1)2階多智能體系統(tǒng)

為了降低時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)式(1)的影響，需要設(shè)計(jì)新的一致性協(xié)議，首先將輸入變量中的xi(t-τ)和 vi(tτ)替 換為xi(t-τ +β)和 vi(t-τ +β)， 此時(shí)常數(shù)β 無法直接控制，為了能夠控制該參數(shù)，再利用xi(t-τ +β)≈r1xi(t-τ)+r2β x˙i(t-τ)和 vi(t-τ+β)≈r1vi(t-τ)+r2β v˙i(t-τ)，可得到具有時(shí)滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)反饋的一致性協(xié)議

該協(xié)議中 β ≥0表示時(shí)滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)的反饋強(qiáng)度，權(quán)重系數(shù) r1,r2＞0 。當(dāng)r1=r2=1 且 β =0時(shí)，該協(xié)議式(2)變?yōu)閭鹘y(tǒng)的一致性協(xié)議。對(duì)于2階多智能體系統(tǒng)，如何提高系統(tǒng)的時(shí)滯魯棒性是一個(gè)十分重要的問題，目前，在不改變網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的情況下，可以通過減少網(wǎng)絡(luò)的連通性來解決該問題，但是由于減少連通性會(huì)降低多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致收斂的速度，為了克服兩者之間的矛盾，文獻(xiàn)[15,16]引入時(shí)滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)反饋協(xié)議部分解決了該問題。然而，如果反饋強(qiáng)度過大，系統(tǒng)在任意通訊時(shí)滯下都會(huì)發(fā)生震蕩[17]，這需要尋求新的方法來解決。隨后，Wu等人[18]設(shè)計(jì)了一種加權(quán)平均預(yù)測(cè)的一致性協(xié)議，在該協(xié)議下，問題得到了解決，但是該協(xié)議結(jié)構(gòu)需要利用積分理論做加權(quán)平均處理，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中很難實(shí)現(xiàn)。本文將采用一種相對(duì)簡單的加權(quán)方法，給出一種新的具有加權(quán)項(xiàng)的時(shí)滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)反饋協(xié)議式(2)，分析系統(tǒng)式(1)的一致性和魯棒性，此時(shí)2階多智能體系統(tǒng)具有如下閉環(huán)形式

本文的創(chuàng)新之處在于提出了一種具有加權(quán)項(xiàng)的時(shí)滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)反饋協(xié)議，在定向通訊網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎?，改進(jìn)了大通訊時(shí)滯導(dǎo)致2階多智能體系統(tǒng)容易發(fā)生震蕩的問題。下面將采用頻域理論研究系統(tǒng)式(3)的一致性和魯棒性。

2 主要定理

2階多智能體系統(tǒng)的一致性要求位置與速度都要達(dá)到一致，具體定義為

而且當(dāng)通訊時(shí)滯 τ =τmax時(shí)，系統(tǒng)式(3)的解必定全局震蕩。

由于矩陣 L 為 N 階方陣，所有s =-γ是上面特征方程的 N重根，為了使系統(tǒng)式(3)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)態(tài)一致，需要研究方程

注：定理1表明對(duì)于所有權(quán)重系數(shù) r1,r2＞0，只要反饋強(qiáng)度 β和通訊時(shí)滯τ 滿足一定的條件，就可以保證系統(tǒng)式(3)漸近實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)一致。然而為了確保具有時(shí)滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)反饋的一致協(xié)議能夠更加準(zhǔn)確地反映傳統(tǒng)一致性協(xié)議的性能，在實(shí)際應(yīng)用過程中，往往需要對(duì)參數(shù) r1,r2和β 進(jìn)行約束。一般地，r1和 r2越接近1，且β 越接近0，對(duì)傳統(tǒng)協(xié)議的性能反映越準(zhǔn)確。當(dāng)β =0時(shí)，協(xié)議式(2)變?yōu)閭鹘y(tǒng)的一致性協(xié)議，下面考慮協(xié)議式(2)比傳統(tǒng)的一致性協(xié)議更有優(yōu)勢(shì)，為了證明該問題，只要找到恰當(dāng)?shù)摩?使得τmax|β/=0＞τmax|β=0即可。

3 數(shù)值仿真

在 β=0 和r1=r2=1 下，取τ =1.3，系統(tǒng)式(3)的位置和速度狀態(tài)變化趨勢(shì)見圖1。這里的橫坐標(biāo)時(shí)間概念表示多智能體系統(tǒng)中xi(t) 和vi(t)的時(shí)間變量t，縱坐標(biāo)表示兩者的數(shù)值。

從圖1可以看出，此時(shí)2階多智能體系統(tǒng)發(fā)生明顯的震蕩，主要原因在于此時(shí)的通訊時(shí)滯τ =1.3 ＞τ?，系統(tǒng)式(3)會(huì)發(fā)生震蕩，從而定理結(jié)論有效。

另外，當(dāng)β =0.2且 r1=r2=1時(shí) ，取通訊時(shí)滯τ =1.35，系統(tǒng)式(3)的位置和速度狀態(tài)變化趨勢(shì)見圖2。

從圖2可知，盡管τ 增加到1.35，但是系統(tǒng)式(3)卻能夠漸近實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)一致。這是因?yàn)榇藭r(shí) β調(diào)整為0.2時(shí)，使得τ =1.35 ＜τmax=1.4051，從而系統(tǒng)式(3)能夠漸近實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)一致，于是定理結(jié)論有效。

最后，保持反饋強(qiáng)度β =0.2不變，將權(quán)重系數(shù)調(diào)整為 r1=0.9和 r1=0.8 ， 此時(shí)在通訊時(shí)滯τ =1.5下，該系統(tǒng)的位置和速度狀態(tài)變化趨勢(shì)見圖3。

從圖3可知，即使將通訊時(shí)滯增大到τ=1.5 ＜τmax=1.5484，在給定的權(quán)重參數(shù)下，系統(tǒng)式(3)仍能夠漸近實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)一致。結(jié)合圖1-圖3，盡管時(shí)滯從1.3增加到了1.5，但是只要給定適當(dāng) β , r1和 r2，即可 保證系統(tǒng)式(3)漸近實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)一致。

4 結(jié)論

研究表明，對(duì)于在定向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下2階智能體系統(tǒng)，具有加權(quán)項(xiàng)的時(shí)滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)反饋協(xié)議有較大的優(yōu)勢(shì)，它們比傳統(tǒng)的一致性協(xié)議能夠容忍更大的通訊時(shí)滯，而且該協(xié)議中的參數(shù)調(diào)整相對(duì)簡單，比較容易實(shí)現(xiàn)。對(duì)于系統(tǒng)的通訊時(shí)滯偏大的情況，系統(tǒng)往往會(huì)發(fā)生震蕩，為了解決震蕩問題，只要引入具有加權(quán)項(xiàng)的時(shí)滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)反饋協(xié)議，通過對(duì)反饋強(qiáng)度和權(quán)重系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，即可保證系統(tǒng)漸近實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)一致。