基于最小二乘法對GM(1.1)模型的研究及應(yīng)用

孫 沖，吳天慶，王 虹，劉 震

(1.陸軍炮兵防空兵學(xué)院 基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室,合肥 230000；2.宿遷學(xué)院 文理學(xué)院, 江蘇 宿遷 223800；3.陸軍炮兵防空兵學(xué)院 供應(yīng)保障處,合肥 230000；4.鄭州工商學(xué)院 工學(xué)院, 鄭州 451400)

1952年，Markowitz[1]首次提出M-V投資組合理論，為研究現(xiàn)代投資組合選擇理論奠定了基礎(chǔ).但是在實(shí)際應(yīng)用中，很多數(shù)據(jù)只用一個(gè)精確數(shù)表示并不符合實(shí)際.在金融市場中存在不確定性問題，如股票價(jià)格、換手率等.為了解決不確定的問題，1965年Zadeh[2]提出了Fuzzy集的概念，隨后一些學(xué)者[3-4]基于模糊決策理論對模糊收益下的投資選擇模型進(jìn)行了研究，建立了模糊投資組合選擇模型，其研究結(jié)果在一定程度上彌補(bǔ)了傳統(tǒng)M-V模型的不足. 但是，在投資決策的研究過程中忽略了決策之間的優(yōu)劣問題，依然在模糊決策中利用數(shù)學(xué)期望值對期望收益率進(jìn)行測度，仍存在個(gè)人主觀性的問題．實(shí)際問題中，針對少數(shù)據(jù)、貧信息的不確定預(yù)測問題，灰色系統(tǒng)理論中對于少樣本的預(yù)測方法應(yīng)用相當(dāng)廣泛．其中GM(1.1)模型是灰模型中的核心模型，而且對于少數(shù)據(jù)短期預(yù)測精度很高．隨后一些學(xué)者[5-13]利用原始數(shù)據(jù)一時(shí)間段的平均值進(jìn)行M(1.1)預(yù)測，在預(yù)測過程中則丟失了很多信息，對決策的制定不利[14-15].本文利用最優(yōu)解構(gòu)造了區(qū)間模糊數(shù)的整體GM(1.1)預(yù)測模型，對未來收益率的區(qū)間模糊數(shù)進(jìn)行整體預(yù)測，提高對未來收益率進(jìn)行測度的精度.基于區(qū)間數(shù)建立模糊投資組合選擇模型，并基于區(qū)間數(shù)的滿意度進(jìn)行優(yōu)化，得到單目標(biāo)規(guī)劃模型.實(shí)例分析證明模型具有一定的柔性和有效性.

1 區(qū)間模糊數(shù)的定義方程

定義2[14]模糊數(shù)GM(1，1)模型的定義方程為:

其中：a為清晰數(shù).

根據(jù)定義2得區(qū)間模糊數(shù)GM(1，1)模型的定義方程為:

則可以構(gòu)造方程組為：

則方程組的解為：

i=2,3,…,n.

2 區(qū)間模糊數(shù)的預(yù)測模型

對于線性方程的解分為無解、有唯一解、有無窮多解以及最優(yōu)解.而對于方程的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)大于未知量的個(gè)數(shù)時(shí)，如：

即AX=b.按下列步驟求解方程組：

1)對于方程組AX=b，可同時(shí)乘以AT即可得到ATAX=ATb，

2)對于方程組ATAX=ATb，可同時(shí)乘以(ATA)-1即可得到X=(ATA)-1ATb.

則方程組的最優(yōu)解為：

當(dāng)取a為a1、a2的加權(quán)平均值時(shí)，即a=αa1+βa2，其中α+β=1.則可以得到區(qū)間模糊數(shù)的預(yù)測公式為：

定義4[14]區(qū)間數(shù)A可表示為A=〈m(A),ω(A)〉為區(qū)間數(shù)A的中點(diǎn)和半徑，其中：

3 建立模糊選擇模型

設(shè)n個(gè)證券,E(ri)為第i個(gè)證券的期望收益率;R0為期望收益率的下限;xi為第i個(gè)證券投資比例;V(ri)n×n為協(xié)方差陣.則在收益達(dá)到預(yù)期情況下，風(fēng)險(xiǎn)最小化的M-V投資組合為:

minV(ri)n×n

(1)

(2)

(3)

利用定義5可以得到下列結(jié)論.

當(dāng)給定投資者的滿意度λ0時(shí)，則模型(3)可轉(zhuǎn)化為模型(4)為：

(4)

4 實(shí)例分析

假設(shè)5種股票2019年3月～2019年7月的每月收盤價(jià)格以及換手率的區(qū)間范圍,并預(yù)測收益率的區(qū)間、協(xié)方差陣區(qū)間以及換手率區(qū)間分別為：

預(yù)測收益率區(qū)間數(shù)為：

換手率的區(qū)間數(shù)為：

設(shè)交易成本區(qū)間數(shù)為：

由于賣空限制,因此利用Lingo軟件求解得到最優(yōu)解為:

x1=0.351 6,x2=0,x3=0,x4=0,x5=0.648 4.

給定滿意度λ0=0.6時(shí),模型為:

由于賣空限制，因此利用Lingo軟件求解得到最優(yōu)解為:

x1=0.462 5,x2=0,x3=0,x4=0,x5=0.537 5.

綜上可得，若給定不同的滿意度λ0，可得到不同的投資組合，證明模型具有一定的柔性，可以適合不同的投資者.