淺析分類討論思想在函數(shù)單調(diào)性討論中的應用

陳秀君

（廣州市培英中學 廣東廣州 510000）

一、分類討論思想的概念

分類討論思想，是指在解決某一個問題時，不能夠用同一種方法進行研究時，需要制定一個標準將問題切割成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一加以解決，最后歸納概括各類解決結(jié)果，這就是分類討論思想。[1]分類討論思想貫穿于整個高中階段的數(shù)學學習，通過分類能使大量抽象復雜的數(shù)學問題區(qū)間化、簡單化。簡而言之，分類討論思想即“先分后合”的一種解題策略，對學生的理性思維能力和數(shù)學理論知識要求都比較高。

二、分類討論思想的應用案例

分類討論思想在高中數(shù)學各階段模塊學習中的應用非常廣泛，但很多學生對分類討論思想理解不透徹、掌握不扎實，不明白為什么要分類，以誰為對象分類，應該怎么分類，導致解題思路非?；靵y漏洞百出。下面三個例題都是研究函數(shù)的單調(diào)性，是分類討論思想的一個典型應用，是高考考查的重要知識點之一，它也是解決最值、極值、恒成立、不等式證明等相關(guān)函數(shù)問題的靈魂，這類問題對學生的各方面能力要求比較高。但解決問題要抓住事物的本質(zhì)，判斷函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)就是分析函數(shù)的導函數(shù)在定義域內(nèi)各子區(qū)間上的符號。三個例題有共性：導函數(shù)的符號是由含有參數(shù)的二次函數(shù)型函數(shù)決定；也有不同之處：導函數(shù)中參數(shù)的位置不同。通過這三個例題的分析解答，可引導學生學會分析思考，善于挖掘研究對象的特征：哪些因素確定不變，哪些因素是變化的，即清楚產(chǎn)生討論的原因。防止學生遇到參數(shù)就盲目討論的傾向。

解析：（?。?a ＜0 即a ＞0 時，x2=-a 舍去

x∈(0，1)時，f'(x)＜0，f(x)為減函數(shù)

x∈(1，+∞)時，f'(x)＞0，f(x)為增函數(shù)

（ⅱ）0 ＜-a ＜1，即-1 ＜a ＜0 時

x∈(0，-a)，(1，+∞)時，f'(x)＞0，f(x)為增函數(shù)

x∈(-a，1)，f'(x)＜0，f(x)為減函數(shù)

（ⅲ）-a ＞1，即a ＜-1 時

x∈(0，1)，(-a，+∞)時，f'(x)＞0，f(x)為增函數(shù)

x∈(1，-a)時，f'(x)＜0，f(x)為減函數(shù)

（ⅳ）-a=1 即a=-1 時

x∈(0，+∞)時，f'(x)＞0，f(x)在(0，+∞)為增函數(shù)

解析：

第一層次分類：（針對a=0 還是a≠0 進行討論）

x∈(0，1)時，m(x)＞0，則f'(x)＜0，f(x)為減函數(shù)

x∈(1，+∞)時，m(x)＜0，則f'(x)＞0，f(x)為增函數(shù)

第二層次分類：（針對a ＜0 還是a ＞0 進行討論）

x∈(0，1)時，m(x)＞0，則f'(x)＜0，f(x)為減函數(shù)

x∈(1，+∞)時，m(x)＜0，則f'(x)＞0，f(x)為增函數(shù)

解析：

第一層次分類：（針對a=0 還是a≠0 進行討論）

令f'(x)=0 得x=-1

x∈(0，+∞)時，m(x)＜0，則f'(x)＞0，f(x)為增函數(shù)

（ⅱ）a≠0 時

第二層次分類：（針對a ＜0 還是a ＞0 進行討論）

①a ＜0 時，函數(shù)開口向下

第三層次分類：（針對Δ ≤0 還是Δ ＞0 進行討論）

x∈(0，+∞)時，m(x)＜0，則f'(x)＞0，f(x)為增函數(shù)

第二層次分類：

②a ＞0 時，函數(shù)開口向上第三層次分類：（針對Δ ≤0 還是Δ ＞0 進行討論）

后兩道題難度大，分類討論情況錯綜復雜，變化元素多，分類層次多。像這類題掌握分類的思路基本從以下幾點展開：①決定導函數(shù)符號的函數(shù)形如二次函數(shù)且二次項系數(shù)含有參數(shù)時，函數(shù)是否二次函數(shù)即a=0 還是a≠0 是我們分類的第一個標準；②a≠0 時，二次函數(shù)若能直接因式分解求出零點，這時函數(shù)開口向上還是向下即a＞0與a＜0是我們分類的第二個標準；③確定了二次函數(shù)的開口方向，二次函數(shù)的零點在不在定義域的范圍之類，兩零點的之間的大小如何又是我們分類的第三個標準；④a≠0 時，二次函數(shù)不能直接因式分解，這時我們還必須針對判別式判斷函數(shù)是否有零點展開討論。當然整個過程中一定要利用數(shù)形結(jié)合的思想，直觀地借助二次函數(shù)圖像的變化來幫助我們制定分類的標準，結(jié)合圖像分區(qū)間討論導函數(shù)的符號，從而對原函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性作出判斷。這樣一層層討論下去，讓學生體會成功帶來的精神享受，慢慢愛上數(shù)學、喜歡數(shù)學，有足夠的自信去學好數(shù)學，面對困難能迎難而上。