淺析光的單縫夫瑯和費衍射

石仁斌，陳曉釗

（山東科技大學公共課教學部，山東 泰安 271019）

1 引言

光在傳播過程中遇到障礙物時，能繞過障礙物的邊緣繼續(xù)前進，這種偏離直線傳播的現象稱為光的衍射現象。荷蘭物理學家克里斯蒂安·惠更斯(Christiaan Huygens）提出次波的假設，以此來定性解釋波的傳播現象，并提出了惠更斯原理。法國物理學家奧古斯汀-讓·菲涅爾（Augustin-Jean Fresnel）提出了“次波相干疊加”的概念，對惠更斯原理作了補充，提出了惠更斯-菲涅爾原理。為了簡單形象地解釋光的衍射現象，菲涅爾提出了“半波帶”概念，給出了分析衍射現象的半波帶法，半波帶法能定量分析光的衍射。這種方法簡單明了且運算不復雜，但是不精準、存在偏差。采用惠更斯-菲涅爾原理可以精確計算光的衍射，但是計算復雜。本文利用半波帶法和惠更斯-菲涅爾原理法兩種方法分析單縫夫瑯和費衍射，并對兩種方法進行比較。

2 單縫夫瑯和費衍射

依照光源、衍射縫、屏三者的相互位置，可將衍射分成兩種，一種叫做菲涅爾衍射，一種叫做夫瑯和費衍射。圖1所示為菲涅爾衍射（光源S和顯示衍射圖樣的屏P，與衍射縫R之間的距離為有限遠），圖2所示為夫瑯和費衍射（光源S和顯示衍射圖樣的屏P，與衍射縫R之間的距離為無限遠）。

圖1 菲涅爾衍射

圖2 夫瑯和費衍射

3 用菲涅爾半波帶法分析單縫夫瑯和費衍射

3.1 惠更斯原理

在研究波的傳播時，總可以找到同相位各點的位置，這些點的軌跡是一個等相面，稱為波面?；莞乖岢龃尾ǖ募僭O來闡述波的傳播現象，從而建立了惠更斯原理?；莞乖砜杀硎鰹椋航橘|中波動傳播到的各點都可以看作是發(fā)射次波的波源，而在其后的任意時刻，這些次波的包絡就是新的波前。惠更斯原理可以解釋光的直線傳播、反射、折射和雙折射等現象，但是它不能解釋波的干涉和衍射現象。

3.2 惠更斯—菲涅爾原理

惠更斯原理可以解釋光通過衍射屏時為什么傳播方向會發(fā)生改變，但不能解釋為什么會出現衍射條紋，更不能計算出條紋的位置和光強的分布。

菲涅爾根據惠更斯的“次波”假設以及波的疊加原理和干涉原理，提出了“次波相干疊加”的概念，從而對惠更斯原理作了物理性的補充。他認為，從同一波面上各點發(fā)出的次波是相干波，在傳播到空間某一點時，各次波進行相干疊加的結果，決定了該處的波振幅?；莞乖磉M一步發(fā)展得出的原理就叫做惠更斯-菲涅爾原理。

根據菲涅爾“次波相干疊加”的設想，如果已知光波在某時刻的波陣面S，如圖3所示，dS為某波陣面S上的任一面元，是發(fā)出球面次波的次波源，而空間任意點P的光振動，則取決于波陣面S上所有面元發(fā)出的次波在該點互相干涉的總效應。利用惠更斯-菲涅爾原理，可以對P點的光振動進行定量的計算，但運算比較復雜。對于單縫夫瑯和費衍射，根據惠更斯-菲涅爾原理，可以對任意相干點的光振動進行定量計算。

圖3 次波相干疊加

3.3 用菲涅爾半波帶法分析單縫夫瑯和費衍射

圖4 中所示，AB 為單縫的截面，其寬度為b。按照惠更斯-菲涅爾原理，波面AB 上的各點都是相干的次波源，次波射線與入射方向之間的夾角為θ，叫做衍射角θ。

圖4 單縫衍射條紋的位置

(1)沿入射光方向傳播的各次波射線

沿入射光方向傳播的各次波射線被透鏡會聚于焦點O。由于AB 是同相面，而透鏡又不會引起附加的光程差，所以它們到達點O時仍保持相同的相位而互相加強。這樣，在正對狹縫中心的O處是一條明紋的中心，這條明紋叫做中央明紋。

(2)與入射光方向成θ角的次波射線

對于某確定的衍射角θ，設BC 恰好等于入射單色光束半波長的整數倍，即

這相當于把BC 分成k等分。作彼此相距的平行于AC 的平面，這些平面把波面AB 切割成了k個波帶。可以近似地認為，所有波帶發(fā)出的子波的強度都是相等的，且相鄰兩個波帶上的對應點所發(fā)出的次波，在點Q 處的光程差均為，所以這種波帶叫做半波帶。于是，相鄰兩半波帶的各次波將兩兩成對地在點Q處相互抵消，依次類推，偶數個半波帶相互干涉的總效果是使點Q 處呈現為干涉相消。所以，對于某確定的衍射角θ，若BC 恰好等于半波長的偶數倍，即單縫上波面AB 恰好能分成偶數個半波帶，則在屏上對應處將呈現為暗條紋的中心。對于某確定的衍射角θ，若BC 恰好等于半波長的奇數倍，即單縫上波面AB 恰好能分成奇數個半波帶，則在屏上對應處將呈現為明條紋的中心。

綜上所述，當平行單色光垂直單縫入射時，單縫衍射明暗條紋的條件為

根據暗條紋公式，有

當k=1 時，叫做第一級暗條紋，對應的衍射角θ1滿足，；

當k=2 時，叫做第二級暗條紋，對應的衍射角θ2滿足，；

當k=3 時，叫做第三級暗條紋，對應的衍射角θ3滿足，；

……

根據明條紋公式，有

當k=1 時，叫做第一級明條紋，對應的衍射角滿足，；

當k=2 時，叫做第二級明條紋，對應的衍射角滿足，；

當k=3 時，叫做第三級明條紋，對應的衍射角滿足，。

4 用惠更斯—菲涅爾原理法分析單縫夫瑯和費衍射

4.1 衍射圖樣的光強

如圖4 所示，平行光束垂直于縫的平面入射時，波面和縫平面重合。將縫分為一組平行于縫長的窄帶，從每一條這樣的窄帶發(fā)出次波的振幅正比于窄帶的寬度dx。設光波的初相位為0，b為縫的寬度，A0為整個狹縫所發(fā)出的次波在θ=0的方向上的合振幅，狹縫上單位寬度的振幅為A0dx/b，則狹縫處各窄帶所發(fā)次波的振動可用下式表示：

這些次波都可認為是球面波，各自向前傳播。首先對衍射角θ為的所有次波進行研究，在入射光束的平面波面AB 上各次波的相位都相等，光通過透鏡L2 后在焦平面E 上的同一點Q 處疊加。作平面AC 垂直于衍射方向BC，根據AC 面上各點的相位分布情況即可確定在Q 點相遇的各次波的相位關系。從平面AC 上各點沿衍射方向通過透鏡到達Q 點的光程相等，所以只要算出從平面AB 到平面AC 的各平行直線段之間的光程差就可以了。在圖4 中，MN 為衍射角θ等于的任一條光線。令AM=x，則MN=xsinθ，這就是分別從M 和A 兩點發(fā)出的次波沿與MN 平行方向到達平面AC 時的光程差。于是由（2）式得AC 面上N 點的光振動的表達式為：。

為簡化計算，上式中假設各次波到達Q 點時有相同的振幅（不考慮振幅與光程成反比的關系以及傾斜因子）。根據惠更斯-菲涅爾原理，將上式對整個縫寬（從x=0 到x=b）積分，可得衍射角θ為的所有次波在觀察點Q 疊加起來的合振幅：

令，故P 點的光強為

4.2 衍射圖樣的光強分布

當光屏放置在透鏡L2 的焦平面上時，屏上出現衍射圖樣，光強的分布由(3)式決定。不同的衍射角θ對應于光屏上不同的觀察點。首先來決定衍射圖樣中光強最大值和最小值的位置。即求出滿足光強的一階導數為零的那些點：

由此得sinu=0，u=tanu。

（1）單縫衍射光強中央最大值位置對應的衍射角θ。

由sinu=0，解得滿足u0==0的那個方向，即 sinθ0=0，θ0=0。對應光強中央最大值的位置，即中央明紋位置。也就是在焦點O 處的光強為：I=，為最大值。這里，各個次波相位差為零，所以振幅疊加相互加強。

（2）單縫衍射光強最小值位置對應的衍射角θ。

由sinu=0，解得滿足uk==kπ的這些衍射方向，即sinθk=（k=±1,±2,±3,···）（最小值位置）

k=±1,sinθ1=，對應第一級暗條紋中心位置；

k=±2,sinθ2=，對應第二級暗條紋中心位置；

k=±3,sinθ3=，對應第三級暗條紋中心位置；

……

（3）單縫衍射光強次最大位置對應的衍射角θ。

圖5 直線y=u 和正切曲線y=tanu

在每兩個相鄰最小值之間有一最大值，這些最大值的位置可由超越方程u=tanu解得?？梢杂脠D解法求得u的值。作直線y=u和正切曲線y=tanu，如圖6 所示，它們的交點就是這個超越方程的解：u=0，u1=±1.43π，u2=±2.46π，u3=±3.47π，u4=±4.48π，……

由此可得：分列于中央主最大兩邊的其他最大值（稱為次最大）的位置為：

5 結束語

這里用半波帶法和惠更斯-菲涅爾原理法兩種方法解釋單縫夫瑯和費衍射現象?？梢钥闯?，半波帶法簡單明了，但有誤差；惠更斯-菲涅爾原理法計算復雜，但精確。兩種方法得到的結果非常接近，都能很好地解釋單縫夫瑯和費衍射現象?；莞?菲涅爾原理不是嚴格的理論產物，較大程度上是憑樸素的直覺而得到的。后來古斯塔夫·羅伯特·基爾霍夫（Gustav Robert Kirchhoff）和阿諾德·索末菲（Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld）根據一般的波動理論從理論上導出了與菲涅爾的公式十分接近的衍射公式。