基于觀測(cè)器控制的二維馬爾可夫跳躍系統(tǒng)

秦雪

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 重慶市 401331）

二維系統(tǒng)是在兩個(gè)獨(dú)立的方向上進(jìn)行信息傳輸?shù)南到y(tǒng)。在實(shí)際應(yīng)用中，例如在許多物理過(guò)程中，由于系統(tǒng)的復(fù)雜性，建立二維模型是有必要的。文獻(xiàn)[1]中二維熱晶體管中的熱流開(kāi)關(guān)和調(diào)制可以由二維切換系統(tǒng)進(jìn)行模擬。本文研究的二維系統(tǒng)是由Roesser 在文獻(xiàn)[2]中針對(duì)線性圖像處理問(wèn)題首次提出的著名的二維離散系統(tǒng)模型，也即Roesser 模型。到目前為止，許多學(xué)者對(duì)二維系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了廣泛的研究，遺憾的是，在[3]-[6]這些文獻(xiàn)中的切換過(guò)程都沒(méi)有考慮轉(zhuǎn)移概率。實(shí)際上，在整個(gè)系統(tǒng)中有些模態(tài)被激活的概率很大，而有的模態(tài)被激活的概率確非常小。這些很少被激活的模態(tài)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的影響也非常小。因此，在研究二維系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)迫切需要引入轉(zhuǎn)移概率。

符號(hào)介紹：Rn表示n 維歐幾里得空間，上標(biāo)T 表示向量或矩陣的轉(zhuǎn)置，||·||表示向量或矩陣的歐幾里得范數(shù)，λ(A)表示矩陣A的最大特征值，E{·}表示數(shù)學(xué)期望，A>0 表示A 是正定對(duì)稱矩陣，*表示矩陣的對(duì)稱部分。

1 模型介紹

考慮如下的二維馬爾可夫跳躍系統(tǒng)：

本文需要以下假設(shè)條件以及引理

引理1[7]令γk作為假設(shè)2.1.2 中的切換信號(hào)，π 是的穩(wěn)態(tài)分布并且滿足（2）。則對(duì)，有以下等式成立

其中Tp(k)表示第p 個(gè)模態(tài)在區(qū)間[0,k]上被激活的總時(shí)間。

創(chuàng)建一個(gè)依模態(tài)的狀態(tài)觀測(cè)器如下：

設(shè)計(jì)基于觀測(cè)器的控制器如下：

用系統(tǒng)（1）-（3）可以得到以下誤差系統(tǒng)：

由系統(tǒng)（1），可得到如下閉環(huán)系統(tǒng)：

2 主要結(jié)果

那么閉環(huán)系統(tǒng)（6）是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

于是有

故有

其中Np(k)表示第p 個(gè)模態(tài)在區(qū)間[0,k]上被激活的總次數(shù)，于是有

根據(jù)上式，可得

利用條件（9），可得以下不等式成立

3 數(shù)值模擬

令 考慮系統(tǒng)參數(shù)為

有觀測(cè)增益和控制增益為

由圖1 和圖2 可知閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

圖1：閉環(huán)系統(tǒng)中狀態(tài)xh(i,j)

圖2：閉環(huán)系統(tǒng)中狀態(tài)xv(i,j)

4 小結(jié)

本文研究了二維馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的基于觀測(cè)器的控制問(wèn)題。通過(guò)線性矩陣不等式，提出了保證閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件?；谕茖?dǎo)出的穩(wěn)定性條件，解決了基于觀測(cè)器的控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了該結(jié)果的有效性。