“比率”“度量”“商”：認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的三個(gè)角度

董文彬

摘要：分?jǐn)?shù)形式獨(dú)特而內(nèi)涵豐富，分?jǐn)?shù)的教學(xué)要幫助學(xué)生沖破認(rèn)知上的單一線索和思維上的定式障礙，從整體上把握分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的豐富性。重點(diǎn)梳理分析北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“分?jǐn)?shù)的意義”編排中認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的不同角度——比率、度量、商的學(xué)習(xí)路徑，以期更好地理解教材，設(shè)計(jì)教學(xué)。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)的意義;教材分析;比率;度量;商

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)中特別重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是繼整數(shù)、小數(shù)之后數(shù)域系統(tǒng)的又一次擴(kuò)充。分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)是學(xué)生數(shù)的認(rèn)識(shí)的一次重大飛躍，在學(xué)生數(shù)概念的形成與發(fā)展中起著十分重要的作用。分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)以倍、平均分、除法等知識(shí)為基礎(chǔ)，又是后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算與應(yīng)用以及百分?jǐn)?shù)、比的意義的重要前提。

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，將學(xué)生分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)大致分為兩個(gè)階段：第一個(gè)階段是在三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，第二個(gè)階段是在五年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”（即“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”）。而這兩個(gè)階段中又分別包括認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，整體單位“1”的認(rèn)識(shí)與擴(kuò)充，分?jǐn)?shù)大小比較，分?jǐn)?shù)單位的認(rèn)識(shí)，真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，分?jǐn)?shù)與除法以及分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等多個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容。

分?jǐn)?shù)形式獨(dú)特而內(nèi)涵豐富，分?jǐn)?shù)的教學(xué)要幫助學(xué)生沖破認(rèn)知上的單一線索和思維上的定式障礙，從整體上把握分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的豐富性。本文重點(diǎn)梳理分析北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“分?jǐn)?shù)的意義”編排中認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的不同角度，以期更好地理解教材，設(shè)計(jì)教學(xué)。

一、從比率的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)的比率意義是指，（真）分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系，即“部分/整體”。這是分?jǐn)?shù)概念發(fā)展的源頭，是理解分?jǐn)?shù)概念最基本、最重要的維度，是理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)以及通分、約分等相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)。

教材首先引導(dǎo)學(xué)生從分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景（分物）中認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的比率意義。提出問(wèn)題“34可以表示什么”，讓學(xué)生舉例說(shuō)明。然后，給出圖1，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度認(rèn)識(shí)所分整體（單位“1”）的豐富內(nèi)涵：?jiǎn)蝹€(gè)圖形作為一個(gè)整體;多個(gè)圖形作為一個(gè)整體;多組圖形作為一個(gè)整體。進(jìn)而，概括分?jǐn)?shù)的比率意義：不管所分整體是哪種情形，34都是把一個(gè)整體平均分成4份，表示其中的3份。

可見(jiàn)，從分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景（分物）中，教材豐富了所分整體（單位“1”）的含義，從“個(gè)”到“群”，從面積模型到集合模型，幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)表示部分與整體關(guān)系的本質(zhì)意義。

為了幫助學(xué)生深化理解“部分/整體”的關(guān)系，教材接著引導(dǎo)學(xué)生逆向思考：根據(jù)圖形的一部分想象畫(huà)出原來(lái)的整體（見(jiàn)圖2）。由此，學(xué)生可以從“份”的視角認(rèn)識(shí)部分與整體的倍比關(guān)系：把部分看作“1份”，那么整體就是“4份”;部分占整體的14，那么整體就是部分的4倍。

把正反兩個(gè)方向的思考綜合起來(lái)，學(xué)生可以形成如圖3所示的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

為了幫助學(xué)生進(jìn)一步區(qū)分所分或所取的“份數(shù)”與整體或每份中物體的個(gè)數(shù)，把握分?jǐn)?shù)比率意義的本質(zhì)，教材又讓學(xué)生取出各自鉛筆的12，思考：取出的鉛筆數(shù)為什么會(huì)不一樣多？取出的不一樣多，為什么還都用12表示？由此，學(xué)生可以認(rèn)識(shí)到：在比率意義上分?jǐn)?shù)表示的多少具有相對(duì)性，因?yàn)槠浔硎镜氖遣糠峙c整體的關(guān)系，其大小只與所分和所取的“份數(shù)”有關(guān)。

二、從度量的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)的度量意義是指，分?jǐn)?shù)表示分?jǐn)?shù)單位的計(jì)數(shù)。華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)（shù）起源于數(shù)（shǔ），量（liàng）起源于量（liáng）?！睆慕^對(duì)量（而非相對(duì)的比率關(guān)系）的角度看，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的跨越，本質(zhì)上是從離散量到連續(xù)量的跨越、從一一對(duì)應(yīng)數(shù)數(shù)到分割后用單位測(cè)量的跨越。

教材又引導(dǎo)學(xué)生從分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的另一現(xiàn)實(shí)背景（測(cè)量）中建立分?jǐn)?shù)的度量意義。讓學(xué)生用特定長(zhǎng)度的紙條度量數(shù)學(xué)書(shū)的長(zhǎng)和寬各是多少。學(xué)生在實(shí)際測(cè)量中能夠發(fā)現(xiàn)：用這一紙條量數(shù)學(xué)書(shū)的寬時(shí)，正好3次量完，那么，數(shù)學(xué)書(shū)的寬就是3個(gè)紙條的長(zhǎng)度;而用這一紙條量數(shù)學(xué)書(shū)的長(zhǎng)時(shí)，量了4次還有剩余。這時(shí)，學(xué)生就會(huì)思考：不夠一個(gè)紙條長(zhǎng)度的部分怎么量？對(duì)此，教材繼續(xù)啟發(fā)：把紙條對(duì)折（一種特殊的分割）變短后再量。學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)：把紙條對(duì)折兩次后，正好量完。這時(shí)，教材引導(dǎo)學(xué)生思考對(duì)折后的紙條與原紙條的長(zhǎng)度關(guān)系，得到12、14這樣的分?jǐn)?shù)。這樣，就從度量的角度揭示了分?jǐn)?shù)的新意義：將給定的長(zhǎng)度單位等分，用其中的一部分作為新的長(zhǎng)度單位去測(cè)量物體的長(zhǎng)度;如果正好量完，可得用分?jǐn)?shù)表征的物體長(zhǎng)度。這時(shí)，分?jǐn)?shù)作為一種新的度量單位就因測(cè)量需求而產(chǎn)生了。

為了幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的度量意義，教材接著引導(dǎo)學(xué)生借助“分?jǐn)?shù)墻”（見(jiàn)下頁(yè)圖4）認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位：將一個(gè)紙條平均分成幾份，1份即是這個(gè)紙條的幾分之一;用這樣的1份作為度量單位去量這個(gè)紙條，正好幾次就能量完。幾個(gè)幾分之一就是1。由此，學(xué)生能夠到認(rèn)識(shí)到：任何分?jǐn)?shù)都可以看成對(duì)某個(gè)分?jǐn)?shù)單位計(jì)數(shù)的結(jié)果。同時(shí)，能夠更好地理解分?jǐn)?shù)單位的大小關(guān)系。

三、從商的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)的商意義是指，分?jǐn)?shù)表示除法運(yùn)算的結(jié)果。從商的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，重點(diǎn)發(fā)展的是學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，即數(shù)值的理解。

教材在分物的現(xiàn)實(shí)背景下，引導(dǎo)學(xué)生解決“把1塊蛋糕平均分給2個(gè)小朋友、把7塊蛋糕平均分給3個(gè)小朋友，每人分別可以分到幾塊蛋糕”的問(wèn)題。學(xué)生可以從運(yùn)算的角度得到除法算式1÷2、7÷3，從操作（平均分）的角度得到結(jié)果12塊、73塊，同時(shí)思考12與1÷2、73與7÷3之間的關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)可以表示除法運(yùn)算的商，用分?jǐn)?shù)表示除法運(yùn)算的商比用小數(shù)表示更便捷，特別是用小數(shù)表示時(shí)需要經(jīng)過(guò)小數(shù)除法運(yùn)算或會(huì)遇到商是無(wú)限循環(huán)小數(shù)的情形。通過(guò)這樣的舉例說(shuō)明，教材進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生概括分?jǐn)?shù)與除法之間的抽象關(guān)系a÷b=ab（b≠0），體會(huì)：任意一個(gè)分?jǐn)?shù)都是它的分子除以分母（分母不為0）所得的商，兩個(gè)數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商就是以被除數(shù)為分子、除數(shù)為分母的分?jǐn)?shù)。

為了幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的商意義，并溝通分?jǐn)?shù)的度量意義，教材接著引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)紙條長(zhǎng)度關(guān)系的問(wèn)題（見(jiàn)圖5）?！八{(lán)紙條的長(zhǎng)是紅紙條的幾分之幾”，從度量的角度看，可用藍(lán)紙條的長(zhǎng)度去量紅紙條的長(zhǎng)度，正好量了3次，所以，藍(lán)紙條的長(zhǎng)度是紅紙條的13，反過(guò)來(lái)，紅紙條的長(zhǎng)度是藍(lán)紙條的3倍;從運(yùn)算的角度看，即1÷3=13?！包S紙條的長(zhǎng)是紅紙條的幾分之幾”，從度量的角度看，黃紙條的長(zhǎng)度與紅紙條的長(zhǎng)度可看作4份與3份的關(guān)系，故可用其中的1份去量黃紙條，正好量4次，去量紅紙條，正好量3次，所以，黃紙條的長(zhǎng)度是紅紙條的43，反過(guò)來(lái)，紅紙條的長(zhǎng)度是黃紙條的34;從運(yùn)算的角度看，即4÷3=43。

這里需要指出的是，有些學(xué)生甚至到了六年級(jí)遇到除法運(yùn)算時(shí)，還是習(xí)慣于用小數(shù)而不用分?jǐn)?shù)作為商?？梢?jiàn)，從商（除法運(yùn)算）的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)對(duì)兒童來(lái)說(shuō)，貌似容易，實(shí)際很難，需要一個(gè)循序漸進(jìn)的階段性過(guò)程。

總之，分?jǐn)?shù)是一個(gè)兼具多重意義的數(shù)學(xué)概念，北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材分別從比率、度量和商的角度編排出了比較清晰的學(xué)習(xí)路徑，幫助學(xué)生充分認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)概念。因此，教師在教學(xué)中，要把握好分?jǐn)?shù)概念的多重意義，以教材體現(xiàn)的認(rèn)識(shí)角度以及學(xué)習(xí)路徑為線索設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生分?jǐn)?shù)概念的形成與發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳士文，陸克榮.“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”中的“初步”與“認(rèn)識(shí)”[J].教育研究與評(píng)論（課堂觀察），2020（2）.