開(kāi)口圓環(huán)類聲子晶體傳播禁帶特性研究

唐榮江，潘朝遠(yuǎn)，鄭偉光，何宏斌，唐經(jīng)添

(桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，桂林 541004)

0 引 言

聲子晶體是一種周期性排列的復(fù)合結(jié)構(gòu)，它一般由兩種及以上的材料構(gòu)成，該結(jié)構(gòu)具有抑制或衰減波傳播的禁帶特性，已廣泛應(yīng)用于噪聲振動(dòng)控制領(lǐng)域[1-2]。研究人員通過(guò)結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計(jì)來(lái)獲得帶隙，并聚焦于聲子晶體帶隙內(nèi)傳輸損耗性能的研究。Elford[3]和Yu[4]等設(shè)計(jì)了一種開(kāi)口圓環(huán)結(jié)構(gòu)，均能獲得寬禁帶和性能優(yōu)越的衰減損耗。但頻率局限在高頻，這顯然不利于這一類結(jié)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用。為滿足低頻段的減振需求，姜久龍等[5]設(shè)計(jì)了一種雙開(kāi)口的Helmholtz周期結(jié)構(gòu)，在100 Hz附近得到一條窄帶隙，但其衰減損耗仍集中在2 000 Hz的中高頻。梁孝東等[6]則提出一種四組元的聲子晶體結(jié)構(gòu)，強(qiáng)的衰減損耗都表現(xiàn)在200 Hz以下的禁帶內(nèi)，這對(duì)緩解地鐵的低頻振動(dòng)十分有利。以上的研究并不重視晶胞對(duì)稱性的問(wèn)題，較多地關(guān)注晶體禁帶單一方向上的衰減能力[2-6]。這對(duì)非嚴(yán)格對(duì)稱的聲子晶體而言，并不能全面反映結(jié)構(gòu)的聲學(xué)性能。有研究表明：打破模型的對(duì)稱性有利于改善某些頻率的隔聲效果[7]；芯體和基體的對(duì)稱性不同，帶隙表現(xiàn)差異明顯[8-9]。

因此，本文對(duì)非嚴(yán)格對(duì)稱的開(kāi)口圓環(huán)類聲子晶體結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)帶隙研究。基于有限元法和彈性波傳播理論分析其禁帶特性；通過(guò)施加振動(dòng)激勵(lì)，比較晶體MΓ和ΓX方向的衰減曲線，發(fā)現(xiàn)在禁帶內(nèi)ΓX比MΓ方向的衰減能力強(qiáng)。禁帶內(nèi)彈性波傳播被明顯抑制，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的位移變形量很小，通帶內(nèi)則相反，這一結(jié)果全面展現(xiàn)了非嚴(yán)格對(duì)稱結(jié)構(gòu)的隔振性能。本文借助振動(dòng)模態(tài)解釋了帶隙產(chǎn)生的原因，并對(duì)影響帶隙的幾何尺寸和材料參數(shù)進(jìn)行深入研究。

1 模型與彈性波傳播理論

1.1 單個(gè)晶胞模型

本文設(shè)計(jì)的二維聲子晶體如圖1(a)所示。晶格常數(shù)a=10 mm,圓環(huán)半徑r1=2.5 mm和r2=4 mm，開(kāi)槽寬度w=1 mm。中心開(kāi)槽圓環(huán)稱為芯體或散射體，材料為結(jié)構(gòu)鋼，將其嵌入橡膠基體中研究其傳輸損耗性能，材料參數(shù)見(jiàn)表1。圖1(b)則表示正方晶格的布里淵區(qū)，由ΓXM圍成的三角形區(qū)域?yàn)榈谝徊祭餃Y區(qū)或不可約布里淵區(qū)(irreducible Brillouin zone,簡(jiǎn)稱IBZ)，由于本模型非嚴(yán)格對(duì)稱，需對(duì)ΓXMR區(qū)域進(jìn)行全掃略。圖1(c)展示了波矢k的計(jì)算域和ΓXM的掃略方向。

圖1 晶胞結(jié)構(gòu)和不可約布里淵區(qū)

表1 材料參數(shù)

1.2 彈性波傳播理論

對(duì)晶胞的邊界使用Bloch定理[10]，計(jì)算單個(gè)晶胞的振動(dòng)模式來(lái)預(yù)測(cè)無(wú)限周期系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu):

u(r)=us(r,k)e-ikr

(1)

式中：u(r)是位移矢量，r是區(qū)域Ω內(nèi)的位置矢量，us(r,k)是布里淵區(qū)的周期函數(shù)，k=[kx,ky]T是波矢，彈性波在無(wú)限周期介質(zhì)中傳播的動(dòng)態(tài)平衡方程為[11]:

(2)

(3)

us(r+R)-us(r)=0

(4)

式(4)中R是晶胞的平移周期[13]；有限元晶胞剖分網(wǎng)格后，離散形式的特征方程為

(K(k)-ω2M)u(r)=0

(5)

式中，K(k)和M表示元胞波矢k的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣[11]，具體定義如式(6)所示，此處的ω2是方程的特征值。

(6)

(7)

式中，λ和μ是材料的拉梅(lame)常數(shù)，拉梅常數(shù)和楊氏模量E、泊松比υ又存在以下關(guān)系：

(8)

因此，將材料屬性代入(7)，(8)兩式再結(jié)合頻率值，即可得到彈性波長(zhǎng)與結(jié)構(gòu)帶隙的關(guān)系。

2 帶隙結(jié)構(gòu)與傳輸特性分析

本文采取先從M→Γ開(kāi)始掃掠，拾取前十階能帶結(jié)構(gòu)。計(jì)算MΓ方向時(shí)，波矢k在x,y方向的分量kx,ky在0到π/a間同時(shí)取25個(gè)數(shù)值點(diǎn)，從而得到一組能帶曲線；計(jì)算ΓX方向時(shí)，使波矢k在y方向的分量ky=0，而kx從0到π/a間取25個(gè)數(shù)值點(diǎn)，得到另一組能帶曲線；計(jì)算XM方向時(shí)，保持波矢k在x方向的分量kx=π/a不變，使ky從0到π/a間取25個(gè)數(shù)值點(diǎn)，計(jì)算得第三組能帶曲線；其余兩組方法相同，將得到的五組能帶曲線結(jié)合起來(lái)便能獲得該結(jié)構(gòu)的禁帶。能帶結(jié)構(gòu)圖如圖2(a)所示。而對(duì)于傳輸損耗，在結(jié)構(gòu)邊界通過(guò)給定單位加速度激勵(lì)I(lǐng)i并獲得出口處加速度幅值大小It，并由(9)式計(jì)算得出。

TL=-20log(Ii/It)

(9)

將晶胞沿x軸陣列5個(gè)并施加ΓX和MΓ方向Ii=1 m/s2的加速度激勵(lì)，計(jì)算頻域下的聲子晶體傳輸特性，如圖2(b)所示。

由圖2(a)可見(jiàn)在716.1～1 012.5 Hz頻率范圍內(nèi)有300 Hz寬的完整禁帶，方向帶隙有三條：分別是在600 Hz附近的MΓ方向和頻率為1 405～1 522 Hz的ΓX、RΓ方向。禁帶內(nèi)的傳輸損耗表現(xiàn)優(yōu)異，方向禁帶只表現(xiàn)比較小的衰減峰值。值得注意的是MΓ和ΓX方向衰減性能并不同步，其中水平的ΓX方向最穩(wěn)定，峰值均出現(xiàn)在相應(yīng)帶隙內(nèi)，而MΓ方向比較異常，在禁帶內(nèi)825 Hz出現(xiàn)衰減低谷。為此選取了幾個(gè)處于衰減曲線峰值(波峰波谷)點(diǎn)的位移云圖做分析，如圖3所示。

圖3(a)～(f)對(duì)應(yīng)圖2(b)中A～F各點(diǎn)。顯然，在選取的通帶頻率為425 Hz和1 015 Hz的彈性波均能順利通過(guò)，特別是1 015 Hz時(shí)，聲子晶體本身的振動(dòng)加劇了位移振幅。在禁帶825 Hz內(nèi)，兩個(gè)晶胞周圍的橡膠產(chǎn)生振動(dòng)導(dǎo)致MΓ方向出現(xiàn)衰減低谷，原因是晶胞非嚴(yán)格對(duì)稱導(dǎo)致彈性波沿5×5的晶體邊緣傳播(見(jiàn)圖3(b))，加速度信號(hào)通過(guò)結(jié)構(gòu)邊緣傳遞過(guò)去，增加晶體數(shù)量能改善這一缺陷；而ΓX方向可以完美抑制或衰減彈性波，位移只在激勵(lì)源一側(cè)產(chǎn)生，振動(dòng)響應(yīng)未能穿過(guò)聲子晶體，所以ΓX方向衰減表現(xiàn)更好。究其原因，由于開(kāi)口的存在，使得該結(jié)構(gòu)只有沿y軸方向的對(duì)稱性，彈性波在MΓ方向傳播時(shí)晶胞的周期性抑制作用減弱。在禁帶725 ～1 000 Hz內(nèi)ΓX方向平均衰減量為27.8 dB，MΓ方向?yàn)?2.3 dB，同比增加5.5 dB。此外，700 Hz和1 525 Hz的方向帶隙衰減彈性波的性能也比較好，衰減量為26.4 dB和14.3 dB。更進(jìn)一步地，該帶隙的打開(kāi)和屬于哪種機(jī)理下的聲子晶體仍值得繼續(xù)探索。

圖2 聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)(a)和傳輸特性(b)

圖3 通帶和禁帶的位移云圖

圖4比較了相等波矢值下起始和截止頻率處晶胞的振動(dòng)模態(tài)，它們分別對(duì)應(yīng)由鋼塊和橡膠基體組成的“質(zhì)量-彈簧”系統(tǒng)的平移和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式。在P1點(diǎn)芯體受到左側(cè)邊角橡膠的擠壓從而發(fā)生水平向右的平移運(yùn)動(dòng)，與垂直傳來(lái)的彈性波剛好存在一個(gè)相位差，同頻率的彈性波與該晶體結(jié)構(gòu)振動(dòng)反相進(jìn)而抑制了波傳播，禁帶起始頻率得以打開(kāi)；到P2點(diǎn)橡膠從晶胞斜對(duì)角以相反的方向垂直運(yùn)動(dòng)，會(huì)對(duì)芯體產(chǎn)生一個(gè)剪切作用力，導(dǎo)致芯體發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，橡膠板基體中的長(zhǎng)波行波難以與圓環(huán)鋼的振動(dòng)相耦合[6]。此外，由于芯體及其附屬的橡膠未能把振動(dòng)能量局限在單元內(nèi)[14]，與同相彈性波不存在耦合作用，禁帶在P2點(diǎn)截止。

圖4 P點(diǎn)振動(dòng)模態(tài)圖

將結(jié)構(gòu)鋼的材料參數(shù)代入(7)，(8)兩式，取晶格常數(shù)a=10 mm帶隙中心頻率為800 Hz作為比較波長(zhǎng)，得到縱波波長(zhǎng)約為7.3 m,橫波波長(zhǎng)約為112.8 m，兩者與晶格尺寸存在2～4個(gè)數(shù)量級(jí)的差異，這類結(jié)構(gòu)突破了布拉格機(jī)理的限制[15]。

3 模型討論

局域共振機(jī)理認(rèn)為即使芯體隨機(jī)分布，在特定頻率的彈性波激勵(lì)下，芯體產(chǎn)生共振能獲得禁帶。但如何設(shè)計(jì)芯體結(jié)構(gòu)以及在基體中的分配特性是問(wèn)題的關(guān)鍵。因此本節(jié)先對(duì)芯體的結(jié)構(gòu)和分布進(jìn)行探索，然后分析芯體材料對(duì)帶隙的影響，最后綜合討論了禁帶與晶格常數(shù)、開(kāi)槽寬度等參數(shù)的關(guān)系。由圖2(a)可見(jiàn)，掃略IBZ即可反映這類結(jié)構(gòu)的帶隙曲線，相比于掃略BZ能節(jié)省計(jì)算時(shí)間，因此下文只對(duì)M→Γ→X→M進(jìn)行掃略。

3.1 改變芯體結(jié)構(gòu)

由前面的分析可知，帶隙的起始頻率由芯體的平移運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)的頻率決定，而截止頻率則取決于芯體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。因此，可通過(guò)芯體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)來(lái)增加系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)，利用其振動(dòng)模態(tài)耦合來(lái)產(chǎn)生低頻的帶隙。具體做法是：在芯體內(nèi)部增加一個(gè)鋼環(huán)來(lái)提高振子的剛度，當(dāng)其平移運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性力變大，以此來(lái)提升抑制彈性波傳播的性能；另一個(gè)模型則是水平位置再開(kāi)一槽，削弱其剛度作為比較。

由圖5(a)可知，增加一個(gè)同心圓環(huán)(內(nèi)r=1 mm外r=1.5 mm)后，起始頻率為674 Hz，比之前降低了42 Hz,但是第一禁帶被第四能帶分割分成兩部分，分別為674.2～893.9 Hz和896.7～1 012.1 Hz，很可能是內(nèi)外振子的旋轉(zhuǎn)模態(tài)的相互耦合導(dǎo)致的[7]。圖5(b)表明再開(kāi)一個(gè)槽后，前十階能帶降低到1 400 Hz以下并且沒(méi)有完整禁帶出現(xiàn)，只有部分方向帶隙?？梢园l(fā)現(xiàn)，通過(guò)結(jié)構(gòu)的略微調(diào)整即可改變其固有頻率，使結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了一些消極的耦合作用，造成通帶的產(chǎn)生。

圖5 芯體結(jié)構(gòu)對(duì)帶隙的影響

3.2 改變芯體材料

為了明確材料屬性對(duì)禁帶特性的影響，改變芯體或基體材料參數(shù)保持另一對(duì)象其他參數(shù)不變，分別統(tǒng)計(jì)第一帶隙的起始、截止頻率和帶隙寬度，模型仍采用第1.1節(jié)所述。

將芯體從結(jié)構(gòu)鋼分別替換為銅、鉛和鎢材料，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)鋼和銅材料帶隙頻率變化不大，而鉛和鎢芯體材料造成起始頻率降低，特別是以鎢為芯體的起始頻率和帶隙寬度均達(dá)到500 Hz，如圖6所示。參考表1的材料屬性參數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，增大材料的密度有利于獲得低頻帶隙。

圖6 芯體材料對(duì)帶隙的影響

3.3 改變幾何尺寸參數(shù)

幾何參數(shù)包括內(nèi)環(huán)半徑r1、晶格常數(shù)a和開(kāi)槽寬度w，而改變內(nèi)環(huán)半徑r1時(shí)將直接導(dǎo)致芯體的填充率變化。

由圖7(a)可見(jiàn)，當(dāng)內(nèi)環(huán)半徑r1從2 mm增大3.5 mm時(shí)(芯體的填充率相應(yīng)減小)，發(fā)現(xiàn)第一帶隙截止頻率基本不變而起始頻率增大導(dǎo)致帶隙寬度變窄；而增大橡膠基體的晶格常數(shù)時(shí)起始和截止頻率均降低，當(dāng)晶格常數(shù)a大于30 mm時(shí)，在400 Hz以內(nèi)就能獲得完整禁帶，特別是a=40 mm時(shí)起始頻率為179 Hz截止頻率為253 Hz(見(jiàn)圖7(b))；而當(dāng)開(kāi)槽寬度變寬時(shí)，起始頻率不變而截止頻率降低導(dǎo)致帶寬變窄。綜合來(lái)看，填充率影響起始頻率而開(kāi)槽寬度影響截止頻率，晶格常數(shù)對(duì)帶隙起始和截止頻率均有影響；通過(guò)增大晶格尺寸和芯體填充率能獲得頻率較低的寬頻禁帶。

圖7 參數(shù)對(duì)帶隙的影響

4 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種非嚴(yán)格對(duì)稱的開(kāi)口圓環(huán)類局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)，首先分析了其帶隙特性并比較了各方向的振動(dòng)衰減性能；然后通過(guò)振動(dòng)模態(tài)解釋了帶隙產(chǎn)生的原因；最后對(duì)芯體結(jié)構(gòu)、幾何尺寸和材料參數(shù)進(jìn)行研究，得到結(jié)論如下:

(1)該聲子晶體在716.1～1 012.5 Hz頻率范圍內(nèi)有300 Hz寬的完整禁帶，禁帶內(nèi)ΓX方向傳輸損耗平均值比MΓ方向提高5.5 dB，原因是晶胞非嚴(yán)格對(duì)稱導(dǎo)致彈性波沿5×5的晶體邊緣傳播。

(2)帶隙的打開(kāi)和截止是由芯體的平移運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)決定，芯體結(jié)構(gòu)能明顯改變系統(tǒng)的固有頻率從而改變振動(dòng)模態(tài)。

(3)在選取的4種金屬材料中，以鎢為芯體的能得到起始頻率和帶寬均為500 Hz的優(yōu)越帶隙。

(4)芯體填充率影響起始頻率而開(kāi)槽寬度影響截止頻率，通過(guò)增大晶格尺寸、填充率和材料密度能獲得低頻寬禁帶。

綜上，由于開(kāi)口圓環(huán)的非嚴(yán)格對(duì)稱性，ΓX方向傳輸損耗性能優(yōu)于MΓ方向；在相應(yīng)材料組合下能獲得起始和帶隙寬均為500 Hz的低頻帶隙；增大芯體的材料密度、填充率和晶格尺寸有助于獲得較低頻率的完整帶隙。