n維m階強(qiáng)預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)的性質(zhì)

白玉娟, 劉 坤, 張 琛

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 慶陽 745000)

眾所周知,凸性理論在對策論、工程、管理科學(xué)和最優(yōu)化理論中起著非常重要的作用.然而,許多實(shí)際問題形成的數(shù)學(xué)模型,常常不能滿足凸規(guī)劃的基本要求,于是研究各種各樣的廣義凸性以及與數(shù)學(xué)規(guī)劃問題相關(guān)聯(lián)的一些基本性質(zhì)非常必要.1981年,Hanson在文獻(xiàn)[1]中提出了不變凸函數(shù)的定義并將其推廣為擬不變凸和偽不變凸.1988年,T. Weir和B. Mond在文獻(xiàn)[2]中提出預(yù)不變凸函數(shù)的定義,并研究了此類函數(shù)在最優(yōu)化中的應(yīng)用.2001年,楊新民在文獻(xiàn)[3]中又給出了預(yù)不變凸函數(shù)的其他性質(zhì).隨后顏麗佳在文獻(xiàn)[4]中又提出了強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù).唐萬梅、彭再云在文獻(xiàn)[5—6]中研究了強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)的性質(zhì).但在具體的優(yōu)化問題數(shù)學(xué)建模過程中往往需要模糊數(shù)描述不確定參數(shù),因此,關(guān)于模糊凸分析理論與其相對應(yīng)的模糊優(yōu)化問題的研究,引起了廣大學(xué)者的興趣.1994年,M. A. NOOR在文獻(xiàn)[7]中給出了預(yù)不變凸模糊映射和模糊不變凸集的概念.1999年,Y. R. SYAU在文獻(xiàn)[8]中定義了η為向量值函數(shù)的預(yù)不變凸性,得到預(yù)不變凸模糊映射的2個(gè)刻畫定理,并討論了其在優(yōu)化理論中的應(yīng)用.2016年,鞏增泰利用Goetschel和Voxman在文獻(xiàn)[9]所定義的模糊數(shù)之間的一種序關(guān)系在文獻(xiàn)[10—11]中定義了高維模糊數(shù)空間上的偏序關(guān)系,并對n維模糊映射的凸性、可微性與相應(yīng)的凸優(yōu)化理論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究.隨后討論了預(yù)不變凸、嚴(yán)格預(yù)不變凸、若嚴(yán)格預(yù)不變凸、預(yù)擬不變凸、嚴(yán)格預(yù)擬不變凸、若嚴(yán)格預(yù)擬不變凸的性質(zhì)及其相互關(guān)系.基于對n維模糊映射預(yù)不變凸性的進(jìn)一步研究,結(jié)合蔡威在文獻(xiàn)[12]中對高階強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)的刻畫,作為文獻(xiàn)[10—11]的延續(xù)和廣義凸性的研究,本文首先給出了n維m階強(qiáng)預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)的定義,其次在某種序意義下討論了n維m階強(qiáng)預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)的若干性質(zhì).

1 預(yù)備知識

定義1[13]設(shè)u∈F(Rn),若u滿足以下性質(zhì):

(ⅰ)u是一個(gè)正規(guī)模糊集,即存在x0∈Rn使得u(x0)=1,

(ⅱ)u是一個(gè)凸模糊集,即對?x,y∈Rn,λ∈[0,1],u(λx+(1-λ)y)≥min{u(x),u(y)},

(ⅲ)u是上半連續(xù)函數(shù),即[u]r={x∈Rn:u(x)≥r}是閉集,其中r∈(0,1],

則稱u為n維模糊數(shù)構(gòu)成的n維模糊數(shù)空間,記為En.

當(dāng)r=1時(shí),稱[u]1={x∈Rn:u(x)=1}為模糊數(shù)u的核.

定理1(n維模糊數(shù)表示定理)[14]設(shè)u∈En,則

(ⅰ)對任意r∈(0,1],[u]r均為Rn上的非空緊凸集,

(ⅱ)若0≤r1≤r2≤1,則[u]r2?[u]r1,

(ⅲ)若正數(shù)列rn非降收斂于r∈(0,1],則

模糊數(shù)的加法和數(shù)乘運(yùn)算定義如下:設(shè)u,v∈En,k,k1,k2∈R則

k(u+v)=ku+kv,

[u+v]r=[u]r+[v]r=

{x+y:x∈[u]r,y∈[v]r}，

[ku]r=k[u]r={kx:x∈[u]r}.

定義2[9]設(shè)u,v∈E,u?v是指

其中

[u]r=[u-(r),u+(r)],

[v]r=[v-(r),v+(r)],r∈[0,1].

定義3[10]設(shè)u∈F(Rn),對任意r∈[0,1],稱

定義4[10]設(shè)u∈En,稱向量值函數(shù)τ:En→Rn,

為模糊數(shù)空間En上的一個(gè)序值函數(shù),其中

定義5設(shè)u,v∈En,C?Rn是滿足0∈C且C≠Rn的一個(gè)閉凸錐,若τ(u)∈τ(v)+C,則稱v優(yōu)于u,記為u?cv.

若u,v∈E,C=[0,+∞),則定義5與定義2一致.

則稱F在t0處可微,稱模糊向量{u1,u2,…,um}為F在t0處的梯度,記作F(t0)={u1,u2,…,um}.

定義7[2]設(shè)集合M(?Rn),若存在一個(gè)向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn,使得對?t,t′∈M,?λ∈[0,1]滿足t′+λη(t,t′)∈M,則稱集合M(?Rn)是不變凸集.

若?t,t′∈M,?λ∈[0,1]滿足η(t,t′)+η(t′,t)=0,則稱η:Rn×Rn→Rn為非對稱映射.特別地,η(t,t′)=t-t′時(shí)M退化為一般凸集.

條件C1[15]設(shè)M(?Rn)是關(guān)于向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn的非空不變凸集,稱η滿足條件C1是指η對任意的t,t′∈M,λ∈[0,1]都滿足以下條件:

(ⅰ)η(t′,t′+λη(t,t′))=-λη(t,t′),

(ⅱ)η(t,t′+λη(t,t′))=(1-λ)η(t,t′).

若η滿足條件C1,?λ1,λ2∈[0,1],則

η(t′+λ1η(t,t′),t′+λ2η(t,t′))=

(λ1-λ2)η(t,t′).

2 n維強(qiáng)預(yù)不變凸模糊映射的性質(zhì)

定義8設(shè)M(?Rn)是關(guān)于η:Rn×Rn→Rn的非空不變凸集,F:M→En為定義在M上關(guān)于η的n維模糊數(shù)值函數(shù).

(Ⅰ)若存在β>0,對?t,t′∈M,?λ∈[0,1],有

F(t′+λη(t,t′))?c

則稱F是m階強(qiáng)預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù).

若β=0,則稱F是預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù).

若m=2,則稱F是強(qiáng)預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù).

若m=2,η(t,t′)=t-t′,則稱F是強(qiáng)凸模糊數(shù)值函數(shù).

若m>2,η(t,t′)=t-t′,則稱F是m階強(qiáng)凸模糊數(shù)值函數(shù).

(Ⅱ) 若存在β>0,對?t,t′∈M,?λ∈[0,1],有

則稱F是m階強(qiáng)不變凸模糊數(shù)值函數(shù).

(Ⅲ)若存在β>0,對?t,t′∈H,H(?Rn)是凸集,?λ∈[0,1],有

F(λt+(1-λ)t′))?c

則稱F是m階強(qiáng)擬凸模糊數(shù)值函數(shù).

(Ⅳ)若存在β>0,對?t,t′∈H,H(?Rn)是凸集,?λ∈[0,1],有

F(λt+(1-λ)t′))?c

則稱F是m階強(qiáng)凸模糊數(shù)值函數(shù).

定理2設(shè)M(?Rn)是關(guān)于η:Rn×Rn→Rn的非空不變凸集,兩個(gè)模糊數(shù)值函數(shù)kF:M→En和lG:M→En是m階強(qiáng)預(yù)不變凸的,其中k,l是任意常數(shù),則kF+lG也是m階強(qiáng)預(yù)不變凸的.

證明因?yàn)閗F和lG是m階強(qiáng)預(yù)不變凸的,k,l是任意常數(shù),故存在常數(shù)β1>0,β2>0使?t,t′∈M,?λ∈[0,1],有

kF(t′+αη(t,t′))?c

lG(t′+αη(t,t′))?c

所以

(kF+lG)(t′+αη(t,t′))=

kF(t′+αη(t,t′))+lG(t′+αη(t,t′))?c

α[kF(t)+lG(t)]+(1-α)[kF(t′)+lG(t′)]-

α(kF+lG)(t)+(1-α)(kF+lG)(t′)-

故kF+lG也是m階強(qiáng)預(yù)不變凸的.

定理4設(shè)M(?Rn)是非空不變凸集,若F:M→En在M上是m階強(qiáng)預(yù)不變凸的且在M上可微,則F是m階強(qiáng)不變凸的.

證明F:M→En在M上是m階強(qiáng)預(yù)不變凸的,故存在常數(shù)β>0,使得對?t,t′∈M和滿足

F(t′+λη(t,t′))?c

又F在M上可微,從而

F(t′+λη(t,t′))=

F(t′)+λη(t,t′)TF(t′)+ο(λ),

故

F(t′)+λη(t,t′)TF(t′)+ο(λ)?c

兩邊同除以λ,有

再令λ→0得

所以F是m階強(qiáng)不變凸的.

定理5設(shè)M(?Rn)是關(guān)于η:Rn×Rn→Rn的非空不變凸集,向量函數(shù)η滿足條件C1,且對?t,t′∈M,當(dāng)t≠t′時(shí)η(t,t′)≠0.若F:M→En在M上是m階強(qiáng)預(yù)不變凸的,則對?t,t′∈M,t≠t′,函數(shù)φ(α)=F(t′+αη(t,t′))在[0,1]上是m階強(qiáng)擬凸的.

證明設(shè)F是M上m階強(qiáng)預(yù)不變凸的,則存在常數(shù)β>0使得對?t,t′∈M,?α∈[0,1]有

F(t′+αη(t,t′))?c

(1)

對?μ1,μ2∈[0,1],?α∈[0,1],若μ1=μ2,則

φ(αμ1+(1-α)μ2)=φ(μ2)=

F(t′+μ2η(t,t′))=

φ(αμ1+(1-α)μ2)=

F(t′+(μ2+α(μ1-μ2))η(t,t′))=

F(t′+μ2η(t,t′)+α(μ1-μ2)η(t,t′)).

(2)

由條件C1可得

η(t′+μ1η(t,t′),t′+μ2η(t,t′))=

η(t′+μ2η(t,t′)+(μ1-μ2)η(t,t′),

t′+μ2η(t,t′))=η(t′+μ2η(t,t′)+

(3)

由(1)～(3)式得

φ(αμ1+(1-α)μ2)=

F(t′+(μ2+α(μ1-μ2))η(t,t′))=

F(t′+μ2η(t,t′)+

αη(t′+μ1η(t,t′),t′+μ2η(t,t′)))?c

αF(t′+μ1η(t,t′))+

(1-α)F(t′+μ2η(t,t′))-βα(1-α),

αφ(μ1)+(1-α)φ(μ2)-

αφ(μ1)+(1-α)φ(μ2)-

定理6設(shè)M(?Rn)是關(guān)于η:Rn×Rn→Rn的非空不變凸集,向量函數(shù)η滿足條件C1,且對?t,t′∈M,當(dāng)t≠t′時(shí)η(t,t′)≠0.若F:M→En在M上是m階強(qiáng)預(yù)不變凸的,則對?t,t′∈M,t≠t′,函數(shù)φ(α)=F(t′+αη(t,t′))在[0,1]上是m階強(qiáng)凸的.

由定義8及定理5易證定理6.