聚焦思維痛點(diǎn) 實(shí)施精準(zhǔn)教學(xué)
——以《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》為例

廣東 潘敬貞 云南 唐明超

坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題在近年高考中一直備受關(guān)注,它不僅是命題專家智慧的結(jié)晶,而且在每道試題里都蘊(yùn)藏著重要的數(shù)學(xué)思想以及典型的數(shù)學(xué)模型;而且試題重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能,在體現(xiàn)基礎(chǔ)性的同時(shí)突出對(duì)考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵能力.試題整體上具有較好的區(qū)分度,低起點(diǎn)、有梯度,使得試題不落俗套,一方面檢測(cè)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平,體現(xiàn)高考的選拔功能;另一方面也是在為數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)指明方向,說(shuō)明教學(xué)活動(dòng)要重點(diǎn)突出問(wèn)題本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程,講究深度學(xué)習(xí),重視數(shù)學(xué)思維的培育,既要將學(xué)生從題海中解救出來(lái),更要在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的雙重提升,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).正因如此,命題專家在試題里埋藏的解題智慧點(diǎn)也變成了很多考生的解題思維痛點(diǎn),導(dǎo)致解題思路堵塞.

一、分類討論中的解題思維痛點(diǎn)

分類討論是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一,主要體現(xiàn)思維的全面性和嚴(yán)謹(jǐn)性,問(wèn)題情境的差異導(dǎo)致分類的依據(jù)不盡相同,要做到分類不重不漏,關(guān)鍵要全面理解和整體把握問(wèn)題本質(zhì).分類討論的過(guò)程對(duì)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)水平具有較高要求.因此分類討論一直是學(xué)生解題的思維痛點(diǎn),同時(shí)也是教學(xué)的難點(diǎn).

(1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);

綜上,a=8或a=-16.

評(píng)注:本題的第(1)問(wèn)較常規(guī),是基礎(chǔ)題,在直線的參數(shù)方程中正確識(shí)別定點(diǎn)坐標(biāo)和直線的傾斜角是解題的關(guān)鍵;第(2)問(wèn)是本題的亮點(diǎn),由于-a-4的范圍不確定導(dǎo)致距離的最值不確定,不少學(xué)生由于沒(méi)有對(duì)-a-4進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤诸愑懻搶?dǎo)致無(wú)法正確解答,所以如何討論-a-4的范圍就是本題的思維痛點(diǎn).

(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;

評(píng)注:第(2)問(wèn)由于a的符號(hào)不確定,因此需要對(duì)a進(jìn)行討論,不少學(xué)生由于考慮不周全,忽略對(duì)a的討論,或者在討論過(guò)程中不能正確理解絕對(duì)值的含義,導(dǎo)致失分,是不少學(xué)生解答該題的思維痛點(diǎn).

備考建議:要突破分類討論的思維痛點(diǎn),首先要弄清楚什么情況下要分類討論,為什么要分類討論,怎樣分類討論這三個(gè)問(wèn)題.這就需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中注重問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn)積累,掌握處理不確定性問(wèn)題的一般方法并逐步形成分類討論的意識(shí),關(guān)鍵還在于學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的培育.比如從認(rèn)識(shí)絕對(duì)值的幾何意義出發(fā),遵循由淺入深,由易到難的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，嘗試對(duì)絕對(duì)值符號(hào)中的代數(shù)式進(jìn)行討論去解決一些簡(jiǎn)單的方程或不等式問(wèn)題;再比如基于基本初等函數(shù)圖象性質(zhì)，通過(guò)分類討論去解決一些含參數(shù)的方程或不等式的存在性或者恒成立問(wèn)題等.總之,注重過(guò)程性教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題,分析并解決問(wèn)題的能力,有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合思想,在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中不斷形成合理分類討論的意識(shí)和能力,形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S.

二、合理轉(zhuǎn)化過(guò)程中的思維痛點(diǎn)

化歸與轉(zhuǎn)化是溝通數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要橋梁,然而不少學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中由于沒(méi)有合理轉(zhuǎn)化問(wèn)題而無(wú)法打通知識(shí)與問(wèn)題的脈絡(luò),導(dǎo)致解題過(guò)程受阻.

(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;

(2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.

評(píng)注:第(2)問(wèn)并不是要求點(diǎn)到直線的距離的最值,但是通過(guò)恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)了代數(shù)關(guān)系與幾何關(guān)系的銜接,在構(gòu)造直角三角形的基礎(chǔ)上，間接找到線段|PA|取最值的情況與點(diǎn)到直線的距離有直接聯(lián)系,進(jìn)而聚焦到點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題上來(lái).不少學(xué)生在解此題時(shí)想不到轉(zhuǎn)化,只是一味地按部就班,陷入命題者的“圈套”出不來(lái),將簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化,最后只能遺憾收?qǐng)?

(1)寫出曲線C1和C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)已知P為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作曲線C1的切線,切點(diǎn)為A，夾角為θ,求|PA|的最大值.

評(píng)注:第(2)問(wèn)同樣需要通過(guò)合理轉(zhuǎn)化后，基于幾何關(guān)系找到線段取最大值，其前提是動(dòng)點(diǎn)到定圓圓心的距離取最大值,實(shí)現(xiàn)了化動(dòng)為靜,避開(kāi)討論兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離的最值問(wèn)題,體現(xiàn)了代數(shù)問(wèn)題幾何化,復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的求解策略.

備考建議:要做到將問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化并有效降低問(wèn)題的難度,首先要準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)概念,其次要學(xué)會(huì)挖掘問(wèn)題的本質(zhì),在問(wèn)題解決過(guò)程中勤于思考、勤于實(shí)踐、積累解題經(jīng)驗(yàn),養(yǎng)成對(duì)具體問(wèn)題有意識(shí)地去思考本質(zhì)是什么、怎么解決、哪種方法更好等良好習(xí)慣.

三、數(shù)學(xué)抽象中的解題思維痛點(diǎn)

例3(2017·全國(guó)卷Ⅱ·22)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4.

(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;

評(píng)注:有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題往往較為抽象,不僅需要具備扎實(shí)的分析及解決問(wèn)題的能力,而且需要熟練掌握極徑的幾何意義與參數(shù)的幾何意義.學(xué)生因?yàn)闆](méi)有用好圖象特征找到數(shù)量關(guān)系,導(dǎo)致不能列出恰當(dāng)?shù)姆匠?所以此類問(wèn)題是不少學(xué)生的解題思維痛點(diǎn).

備考建議:解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于將抽象的問(wèn)題直觀化,如何才能實(shí)現(xiàn)將抽象的問(wèn)題直觀化呢？首先要養(yǎng)成根據(jù)題干信息構(gòu)造幾何模型的習(xí)慣,即將數(shù)量關(guān)系體現(xiàn)在曲線的圖象上,通過(guò)作出簡(jiǎn)圖找到變與不變的關(guān)系,進(jìn)而合理地設(shè)出未知數(shù),根據(jù)已知條件計(jì)算得出最終結(jié)果.其次,要深化對(duì)極徑與參數(shù)幾何意義的理解,掌握其本質(zhì)聯(lián)系,確保在問(wèn)題解決過(guò)程中能夠靈活選擇并運(yùn)用.

四、消參過(guò)程中的思維痛點(diǎn)

備考建議:參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化一般都需要經(jīng)歷消去參數(shù)的過(guò)程,對(duì)于不同情況下的消參方法應(yīng)及時(shí)作出歸納總結(jié).在代入消元與加減消元的基礎(chǔ)上適當(dāng)加以拓展,如本題中，先分別平方再相加,但關(guān)鍵的問(wèn)題還是要學(xué)會(huì)觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),從整體到部分又能從部分到整體去尋找變與不變的關(guān)系.