采用變時(shí)域模型預(yù)測(cè)的車輛路徑跟蹤控制方法

張世義， 顧小川， 唐爽， 李軍

(1. 重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院， 重慶 400074；2. 重慶交通大學(xué) 軌道交通車輛系統(tǒng)集成與控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400074)

隨著交通事故發(fā)生率的不斷提高[1]，旨在改善交通行車環(huán)境、安全與效率的智能交通系統(tǒng)(ITS)正被日益推崇[2].智能交通系統(tǒng)集成各領(lǐng)域的先進(jìn)技術(shù)，將人-車-路緊密配合，可以實(shí)現(xiàn)全局交通情況的優(yōu)化與管理，對(duì)當(dāng)今交通系統(tǒng)存在的污染、擁堵、事故頻發(fā)、能源消耗過(guò)度等問(wèn)題均能起到較好的緩解及改善作用.

路徑跟蹤通過(guò)轉(zhuǎn)向輪主動(dòng)轉(zhuǎn)向控制準(zhǔn)確地跟蹤規(guī)劃層的目標(biāo)路徑，并保持行車的平穩(wěn)性和乘坐的舒適性[3].目前，應(yīng)用較為廣泛的路徑跟蹤算法主要采用對(duì)車輛的橫向和縱向進(jìn)行控制的方法，如比例-積分-微分(PID)控制算法[4]、純追蹤算法[5]、滑膜控制算法[6]、自適應(yīng)控制算法[7]和模型預(yù)測(cè)控制(MPC)算法[8]等.模型預(yù)測(cè)控制算法通過(guò)預(yù)測(cè)模型、系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)量和未來(lái)控制量進(jìn)行在線滾動(dòng)優(yōu)化，再對(duì)預(yù)測(cè)輸出進(jìn)行矯正，從而進(jìn)一步修正模型[9].由于可以處理系統(tǒng)多目標(biāo)及多約束優(yōu)化問(wèn)題，MPC算法在國(guó)內(nèi)得到廣泛的運(yùn)用.嚴(yán)國(guó)軍等[10]提出自適應(yīng)MPC控制器自動(dòng)調(diào)節(jié)預(yù)測(cè)時(shí)域，減少運(yùn)算時(shí)間,保證跟蹤控制的實(shí)時(shí)性，但其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型無(wú)法滿足高速和大側(cè)向加速度的工況.白國(guó)星等[11]基于非線性模型預(yù)測(cè)算法，采用三次多項(xiàng)式分別擬合速度、預(yù)測(cè)時(shí)域與穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向角的函數(shù)，但其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型只考慮中低速的仿真效果.張嚴(yán)等[12]在三自由度動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上，采用遺傳算法對(duì)模型預(yù)測(cè)控制器的預(yù)測(cè)時(shí)域、控制時(shí)域進(jìn)行優(yōu)化，但犧牲了部分乘坐舒適性.基于此，本文提出一種變預(yù)測(cè)時(shí)域自適應(yīng)路徑跟蹤控制方法.

1 車輛動(dòng)力學(xué)模型的建立

1.1 車輛三自由度動(dòng)力學(xué)模型

動(dòng)力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是自動(dòng)駕駛車輛建模時(shí)最常用的兩種模型.運(yùn)動(dòng)學(xué)模型不涉及車輛自身質(zhì)量、受力等因素，適用于中低車速及道路曲率、側(cè)向加速度較小的工況；動(dòng)力學(xué)模型研究車輛運(yùn)行中的受力情況，通過(guò)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律建立模型方程，在高速或道路曲率較大時(shí)的效果更佳.為了提高車輛高速行駛時(shí)跟蹤控制的可靠性，將車輛動(dòng)力學(xué)模型作為路徑跟蹤研究的基礎(chǔ).

將車輛的三自由度模型表示為微分方程的形式，有

(1)

為了簡(jiǎn)化模型，采用小角度假設(shè)[14]，即

cosθ≈1， sinθ≈θ， tanθ≈θ.

(2)

式(2)中：θ表示輪胎的側(cè)偏角和偏轉(zhuǎn)角等角度.

當(dāng)側(cè)偏角較小時(shí)，前、后輪的側(cè)向力與縱向力可用近似線性函數(shù)描述，前、后輪的側(cè)向力分別為

(3)

式(3)中：Cc，f，Cc，r分別為前、后輪的側(cè)偏剛度.

前、后輪的縱向力分別為

Fl，f=Cl，fSf，F(xiàn)l，r=Cl，rSr.

(4)

式(4)中：Cl，f，Cl，r分別為前、后輪的縱向剛度；Sf，Sr分別為前、后輪的滑移率.

通過(guò)車身坐標(biāo)系和大地慣性坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，對(duì)大地慣性坐標(biāo)系下車輛的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行表述，有

(5)

聯(lián)合整理式(1)～(5)，簡(jiǎn)化后可得基于線性輪胎模型和小角度假設(shè)的車輛非線性連續(xù)三自由度動(dòng)力學(xué)模型，即

(6)

1.2 線性化系統(tǒng)

將系統(tǒng)任意參考時(shí)刻描述為狀態(tài)空間表達(dá)式的形式,即

(7)

由于非線性系統(tǒng)不能用于線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制，因此，在某參考時(shí)刻一階泰勒展開(kāi)，并結(jié)合式(7)可得誤差狀態(tài)方程.即

(8)

2 模型預(yù)測(cè)路徑跟蹤控制器

基于車輛動(dòng)力學(xué)模型和模型預(yù)測(cè)控制算法，設(shè)計(jì)模型預(yù)測(cè)路徑跟蹤控制器.

2.1 預(yù)測(cè)方程

對(duì)誤差狀態(tài)方程(8)進(jìn)行離散化，有

ξ(k+1)=Akξ(k)+Bku(k).

(9)

式(9)中：Ak=I+TAt，I為單位矩陣，T為采樣周期；Bk=TBt；k為k時(shí)刻.

(10)

將基于MPC控制器的預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域分別定義為Np和Nc，Np>Nc.系統(tǒng)未來(lái)預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的預(yù)測(cè)方程可以用矩陣形式表示，即

Y(k+1|k)=Ψkξ(k)+ΘΔU(k).

(11)

2.2 約束條件

2.2.1 輪胎側(cè)偏角 由前、后輪側(cè)偏角與系統(tǒng)各狀態(tài)量的關(guān)系可知，當(dāng)側(cè)偏角不超過(guò)5°時(shí)，在任一時(shí)刻t，前輪側(cè)偏角αf，t和后輪側(cè)偏角αr，t的計(jì)算公式為

(12)

因此，選擇前輪側(cè)偏角的約束為-2.5°<αf，t<2.5°.

2.2.2 車輛附著條件 當(dāng)車輛縱向勻速行駛時(shí)，橫向加速度ay與地面附著系數(shù)μ呈線性關(guān)系，即ay≤μg.為避免約束條件限定范圍過(guò)窄而求解失敗，將附著條件約束設(shè)置為軟約束條件，即

ay,min-ε≤ay≤ay,max+ε.

(13)

式(13)中：ε為松弛因子；ay,min，ay,max分別為橫向加速度的最小值與最大值.

2.2.3 質(zhì)心側(cè)偏角β為質(zhì)心側(cè)偏角，在良好路面中，-12°<β<12°；在冰雪路面中，-2°<β<2°.

2.3 目標(biāo)函數(shù)

基于MPC路徑跟蹤策略的目的是保證預(yù)測(cè)輸出變量與參考值之間的誤差盡可能小，從而準(zhǔn)確地跟隨預(yù)定的軌跡，保持跟蹤穩(wěn)定性.

為了求出狀態(tài)方程(10)的最優(yōu)解，得到控制輸入增量，將其作為設(shè)計(jì)相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)的狀態(tài)量進(jìn)行下一步求解.此外，因預(yù)測(cè)模型具有復(fù)雜性，且包含較多的動(dòng)力學(xué)約束，故加入松弛因子[15]，目標(biāo)函數(shù)的最終形式為

(14)

式(14)中：Q，R為權(quán)重矩陣；ρ為松弛因子的權(quán)重系數(shù)；ηref為輸出量參考值.

基于以上推導(dǎo)過(guò)程，為便于求解，路徑跟蹤問(wèn)題可轉(zhuǎn)為二次規(guī)劃求解問(wèn)題，即

(15)

式(15)中：Umax，Umin分別為控制量的最大和最小值；ΔUmax，ΔUmin分別為控制增量的最大和最小值；yh，ys分別為硬約束輸出和軟約束輸出.

2.4 反饋校正

在每一個(gè)控制周期里對(duì)式(15)完成求解計(jì)算后，得到控制時(shí)域內(nèi)的控制輸入增量序列為

(16)

根據(jù)模型預(yù)測(cè)基本原理，將該控制序列的首個(gè)元素值作為實(shí)際控制輸入增量，再作用到系統(tǒng)中，有

(17)

系統(tǒng)不斷循環(huán)向前重新預(yù)測(cè)下一時(shí)域的輸出，通過(guò)優(yōu)化得到新的控制序列，直至最終搜索完成.

3 變時(shí)域模型預(yù)測(cè)路徑跟蹤控制

3.1 車速與預(yù)測(cè)時(shí)域?qū)Ω櫺Ч挠绊?/h3>

預(yù)測(cè)時(shí)域?qū)δＰ皖A(yù)測(cè)控制器的性能影響較大，預(yù)測(cè)時(shí)域類似于駕駛員模型中預(yù)瞄未來(lái)一段時(shí)刻的距離，在不同車速的工況下，不同的預(yù)瞄距離會(huì)產(chǎn)生不同的控制效果.根據(jù)以往的研究經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)車輛低速運(yùn)行時(shí)，減小預(yù)瞄距離會(huì)產(chǎn)生相對(duì)較好的控制效果，增大預(yù)瞄距離則會(huì)降低跟蹤精度與車輛穩(wěn)定性；反之，當(dāng)車輛高速運(yùn)行時(shí)，增大預(yù)瞄距離能夠提高控制效果，且不會(huì)產(chǎn)生因預(yù)瞄距離過(guò)小導(dǎo)致的跟蹤精度不良、轉(zhuǎn)向抖動(dòng)等問(wèn)題，從而提高車輛的穩(wěn)定性.搭建Carsim/Matlab/Simulink聯(lián)合仿真平臺(tái)，在跟蹤雙移線工況下，分析不同車速和預(yù)測(cè)時(shí)域的跟蹤效果，車速(v)分別選取36，72，90，108，126 km·h-1，預(yù)測(cè)時(shí)域Np分別選取8，15，20，25，30；附著系數(shù)設(shè)置為0.8.

當(dāng)車速為36 km·h-1時(shí)，不同預(yù)測(cè)時(shí)域的仿真結(jié)果對(duì)比,如圖2所示.由于車速較低，故選取前4組預(yù)測(cè)時(shí)域數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比較為合理.由圖2可知：跟蹤過(guò)程較為平穩(wěn)，軌跡的跟蹤偏差均較小，橫擺角速度的變化也在合理范圍內(nèi)；當(dāng)Np=8時(shí)，軌跡的跟蹤偏差及橫擺角速度最優(yōu)；當(dāng)Np=25時(shí)，橫向位移偏差最大.

(a) 跟蹤軌跡 (b) 橫擺角速度圖2 不同預(yù)測(cè)時(shí)域的仿真結(jié)果對(duì)比(v=36 km·h-1)Fig.2 Comparison of simulation results in different prediction horizons (v=36 km·h-1)

當(dāng)車速為72 km·h-1時(shí)，選取前4組預(yù)測(cè)時(shí)域數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，不同預(yù)測(cè)時(shí)域的仿真結(jié)果對(duì)比，如圖3所示.由圖3可知：當(dāng)Np=8時(shí)，車輛在80～100 m處再次發(fā)生側(cè)滑，且橫擺角速度過(guò)大，車輛的行駛穩(wěn)定性受到很大影響，故中高車速時(shí)應(yīng)該適當(dāng)?shù)卦龃箢A(yù)瞄距離，給予足夠的空間響應(yīng)期望軌跡；當(dāng)Np=15時(shí)，跟蹤偏差適中，橫擺角速度的變化平滑自然，且在合理范圍內(nèi).

(a) 跟蹤軌跡 (b) 橫擺角速度圖3 不同預(yù)測(cè)時(shí)域的仿真結(jié)果對(duì)比(v=72 km·h-1)Fig.3 Comparison of simulation results in different prediction horizons (v=72 km·h-1)

當(dāng)車速為90 km·h-1(中高車速)時(shí)，不同預(yù)測(cè)時(shí)域的仿真結(jié)果對(duì)比，如圖4所示.由于車速為72 km·h-1時(shí)，較小的預(yù)測(cè)時(shí)域會(huì)使車輛穩(wěn)定性大幅降低(圖3(b))，因此，在中高車速下，選取后4組預(yù)測(cè)時(shí)域進(jìn)行分析較為合理.由圖4(a)可知：當(dāng)Np=15時(shí)，在縱向位移100 m處，橫向位移偏差達(dá)到1 m，此時(shí),橫擺角速度震蕩過(guò)大，表明車輛路徑跟蹤的穩(wěn)定性較差;當(dāng)Np=20時(shí)，跟蹤偏差較小，橫擺角速度波動(dòng)平滑自然，較為合理.

(a) 跟蹤軌跡 (b) 橫擺角速度圖4 不同預(yù)測(cè)時(shí)域的仿真結(jié)果對(duì)比(v=90 km·h-1)Fig.4 Comparison of simulation results in different prediction horizons (v=90 km·h-1)

當(dāng)車速為108 km·h-1時(shí)，選取后4組預(yù)測(cè)時(shí)域進(jìn)行分析，不同預(yù)測(cè)時(shí)域的仿真結(jié)果對(duì)比，如圖5所示.由圖5可知：當(dāng)汽車在較高車速下運(yùn)行時(shí)，較小的預(yù)測(cè)時(shí)域已經(jīng)無(wú)法滿足路徑跟蹤精度和行駛穩(wěn)定性的要求，這是由于高速下汽車的動(dòng)力學(xué)特性發(fā)生了很大的變化，車輛行駛的穩(wěn)定性急劇下降， 使車輛無(wú)法快速地響應(yīng)期望的轉(zhuǎn)角；當(dāng)Np為25，30時(shí)，橫擺角速度變化較為平穩(wěn)，但當(dāng)Np為30時(shí)，其路徑跟蹤偏差相對(duì)不理想，最大偏差達(dá)到1 m.

(a) 跟蹤軌跡 (b) 橫擺角速度 圖5 不同預(yù)測(cè)時(shí)域的仿真結(jié)果對(duì)比(v=108 km·h-1)Fig.5 Comparison of simulation results in different prediction horizons (v=108 km·h-1)

當(dāng)車速為126 km·h-1時(shí)，選取后4組預(yù)測(cè)時(shí)域進(jìn)行分析，不同預(yù)測(cè)時(shí)域的仿真結(jié)果對(duì)比，如圖6所示.由圖6可知：當(dāng)預(yù)測(cè)時(shí)域較小(Np=15)時(shí)，車輛的橫擺角速度波動(dòng)較大，已超出穩(wěn)定性要求的界限，車輛嚴(yán)重失穩(wěn)，路徑跟蹤失敗，車輛完全脫離期望的軌跡；當(dāng)Np=30時(shí)，雖然路徑跟蹤精度誤差最大達(dá)到1 m，但由于此時(shí)車輛運(yùn)行于高速工況，應(yīng)著重考慮保持超車變道時(shí)的穩(wěn)定性以保證安全.

(a) 跟蹤軌跡 (b) 橫擺角速度圖6 不同預(yù)測(cè)時(shí)域的仿真結(jié)果對(duì)比(v=126 km·h-1)Fig.6 Comparison of simulation results in different prediction horizons (v=126 km·h-1)

綜上可知，在低速(某一定速)工況下，較小的預(yù)測(cè)時(shí)域的跟蹤過(guò)程較為平穩(wěn)，且車輛路徑跟蹤精度較高，而較大的預(yù)測(cè)時(shí)域會(huì)增大預(yù)瞄距離，使響應(yīng)期望軌跡變慢，跟蹤過(guò)程雖然平穩(wěn)，但偏差相對(duì)較大；在高速(某一定速)工況下，較大的預(yù)測(cè)時(shí)域能夠穩(wěn)定地追蹤期望路徑，但由于預(yù)瞄距離增大，存在跟蹤偏差，而較小的預(yù)測(cè)時(shí)域會(huì)犧牲車輛的穩(wěn)定性，在高速運(yùn)行時(shí)十分危險(xiǎn)，應(yīng)盡量避免.

3.2 變時(shí)域自適應(yīng)路徑跟蹤控制器

總結(jié)預(yù)測(cè)時(shí)域與車速的變化關(guān)系，為了使車輛在不同車速下行駛時(shí)能自適應(yīng)地調(diào)節(jié)預(yù)測(cè)時(shí)域，獲取較優(yōu)的跟蹤精度及行駛穩(wěn)定性，提出一種變時(shí)域自適應(yīng)路徑跟蹤控制器，即根據(jù)車輛當(dāng)前的行駛速度更新預(yù)測(cè)時(shí)域.路徑跟蹤控制器流程，如圖7所示.

選取5組速度對(duì)應(yīng)的較優(yōu)預(yù)測(cè)時(shí)域作為變時(shí)域自適應(yīng)路徑跟蹤控制器的數(shù)據(jù)來(lái)源.將數(shù)據(jù)在Matlab軟件中進(jìn)行3次多項(xiàng)式擬合，得出預(yù)測(cè)時(shí)域與車速v的擬合關(guān)系函數(shù)為

(18)

預(yù)測(cè)時(shí)域與車速的擬合函數(shù)關(guān)系曲線，如圖8所示.圖8中：5個(gè)圓圈代表上述對(duì)比分析后選取的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

圖7 路徑跟蹤控制器流程 圖8 預(yù)測(cè)時(shí)域與車速的擬合函數(shù)關(guān)系曲線Fig.7 Flow chart of path tracking controller Fig.8 Fitting functional relation curves for prediction horizon and speed

3.3 仿真分析

設(shè)置仿真環(huán)境，對(duì)變預(yù)測(cè)時(shí)域自適應(yīng)路徑跟蹤控制器的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，并與5組數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析.設(shè)置附著系數(shù)為0.8，并根據(jù)車輛的實(shí)時(shí)速度不斷更新預(yù)測(cè)時(shí)域，參與路徑跟蹤模塊進(jìn)行計(jì)算.變速工況下的路徑跟蹤仿真結(jié)果，如圖9所示.

(a) 跟蹤軌跡 (b) 橫擺角 (c) 橫擺角速度

(d) 前輪偏轉(zhuǎn)角 (e) 質(zhì)心側(cè)偏角 (f) 側(cè)向加速度

(g) 車速 (h) 預(yù)測(cè)時(shí)域圖9 變速工況下的路徑跟蹤仿真結(jié)果Fig.9 Path tracking simulation results of path tracking under variable speed condition

由圖9可知：當(dāng)Np=8時(shí)，在縱向位移為80 m后，車速不斷提升，此時(shí),車輛動(dòng)力學(xué)特性發(fā)生較大變化，已滿足不了約束要求，控制量出現(xiàn)非可行解，導(dǎo)致在雙移線工況出口處的跟蹤參考路徑和參考橫擺角失??；預(yù)測(cè)時(shí)域較大時(shí)，跟蹤精度較差，最大誤差接近1 m；在自適應(yīng)時(shí)域控制下，車輛能準(zhǔn)確地跟蹤參考軌跡，橫擺角雖然隨著車速的提升出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)，但是最終能迅速調(diào)整并收斂于參考值，使橫擺誤差趨于0，車輛恢復(fù)穩(wěn)定行駛；變時(shí)域自適應(yīng)路徑跟蹤控制器的橫擺角速度變化也較為平穩(wěn)，可保證車輛運(yùn)行時(shí)的穩(wěn)定性；質(zhì)心側(cè)偏角在±8°范圍內(nèi)波動(dòng)，當(dāng)路面附著系數(shù)為0.8時(shí)，側(cè)向加速度也能保持在閾值范圍內(nèi)變化，均滿足節(jié)2.2中對(duì)動(dòng)力學(xué)約束的要求；隨著車速的不斷變化，控制器可實(shí)時(shí)更新對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)時(shí)域，從而預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的輸出，保證不同車速下變時(shí)域跟蹤控制器良好的自適應(yīng)性能.

4 結(jié)束語(yǔ)

建立車輛三自由度動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)一階泰勒線性展開(kāi)，近似地離散化處理等變換，完成線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)的理論推導(dǎo).加入松弛因子，避免控制器求解過(guò)程中多約束導(dǎo)致非可行解的情況，進(jìn)一步推導(dǎo)預(yù)測(cè)優(yōu)化問(wèn)題的矩陣形式，將模型預(yù)測(cè)路徑跟蹤控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃求解問(wèn)題.選取不同車速及預(yù)測(cè)時(shí)域進(jìn)行仿真，對(duì)比分析不同車速對(duì)應(yīng)的最優(yōu)預(yù)測(cè)時(shí)域值，擬合預(yù)測(cè)時(shí)域與車速的函數(shù)關(guān)系曲線，設(shè)計(jì)變預(yù)測(cè)時(shí)域自適應(yīng)路徑跟蹤控制器，實(shí)時(shí)更新預(yù)測(cè)時(shí)域，預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的輸出值，并搭建Carsim/Matlab/Simulink聯(lián)合仿真平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證.結(jié)果表明：當(dāng)車輛變速行駛時(shí)，自適應(yīng)路徑跟蹤控制器在滿足動(dòng)力學(xué)約束的前提下，能夠?qū)崟r(shí)更新不同車速下的最優(yōu)預(yù)測(cè)時(shí)域，并進(jìn)行計(jì)算求解，在一定程度上可以解決車輛在低速和高速下的跟蹤精度問(wèn)題，保持車輛行駛的穩(wěn)定性.