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    向量組的線性相關(guān)性有關(guān)概念的高等代數(shù)教學(xué)設(shè)計

    2021-04-14 18:55:31顧勇為張錦添
    卷宗 2021年20期
    關(guān)鍵詞:維空間未知量線性方程組

    顧勇為 張錦添

    (信息工程大學(xué)基礎(chǔ)部,河南 鄭州 450001)

    高等代數(shù)是一門抽象性較強的課程,作為大學(xué)數(shù)學(xué)和非數(shù)學(xué)專業(yè)必修的數(shù)學(xué)專業(yè)課程,學(xué)員從中學(xué)階段接觸的二維平面、三維空間問題,拓展到高等代數(shù)中向量拓展到了n維的情形,缺乏幾何直觀,非常抽象,對于概念和方法都非常難以理解。并且在后面線性空間,線性變換的學(xué)習(xí)中,廣義向量的引入讓數(shù)學(xué)的表達(dá)方式和抽象性又有了一次全面的提升,這就需要學(xué)生培養(yǎng)一定的抽象思維能力,才能完成深入思考,而抽象思維的基石是不斷搭建起來的一系列概念體系。舊的概念在頭腦中不斷根深蒂固,由抽象變?yōu)樾蜗螅蔀閷W(xué)習(xí)新的、深一層的抽象概念的基石;而這些抽象概念又不斷根深蒂固起來,不斷由抽象變?yōu)樾蜗?,成為下一步學(xué)習(xí)的基石,這樣思維得以螺旋上升。由此可見,數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)在教學(xué)過程中至關(guān)重要,必須進(jìn)行精心設(shè)計、反復(fù)打磨。下面以高等代數(shù)中向量組的線性相關(guān)性的有關(guān)教學(xué)設(shè)計為例談一點體會。

    1)從生活和歷史背景出發(fā)引入新概念。為引入向量概念,先介紹向量的歷史起源。向量最初被應(yīng)用于物理學(xué),很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應(yīng)強度等都是向量。大約公元前350年前,古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量,兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓。18世紀(jì)末期,挪威測量學(xué)家威塞爾用平面坐標(biāo)上的點表示復(fù)數(shù),并利用復(fù)數(shù)運算定義了向量的運算。19世紀(jì)80年代,英國數(shù)學(xué)家居伯斯在三維空間中定義了向量,并把向量概念引入到微積分,豐富和發(fā)展了解析幾何。通過這些歷史背景和生活場景,使學(xué)員對以往接觸的向量的概念獲得一個綜合印象,消除對向量陌生抽象的感受。

    2)強調(diào)向量組的線性相關(guān)性本質(zhì)。向量組的相關(guān)性是一個教學(xué)重點和難點。線性相關(guān)與線性無關(guān)是兩個相反的概念,搞清其中一個,另一個就好理解了。線性無關(guān)的向量組的定義為:若一個向量組線性組合出一個零向量時,其組合系數(shù)只能全為0,則稱該向量組是線性無關(guān)的。這個定義十分抽象,必須做好教學(xué)設(shè)計,才能使學(xué)員易于接受。

    我們在教學(xué)中采取了以下方法。首先復(fù)習(xí)向量組的線性表示,提出一個引例。向量組A:可以線性表示向量。然后提問:向量組A還能夠線性表示哪些向量?此時學(xué)員一定發(fā)現(xiàn)這個向量組可以表示任意一個二維向量,或者說能表示整個二維平面R2。我們給出一個概念,二維平面R2可以由向量組A生成,即。接下來我們把三個向量組成一個向量組B:。并提出問題:向量組B能夠線性表示哪些向量?學(xué)員不難回答還是二維平面R2,也不難理解。此時出現(xiàn)一個問題:以上有兩種方式生成二維平面R2,哪一種更加簡潔明了?顯然比簡潔明了,其原因在于向量組B多出一個向量,這個向量可以由線性表示。而向量組A中的任意向量都不能被其余向量線性表示。從直觀上,認(rèn)識到A這樣的向量組是重要的。

    接下來我們給出一個定理:一個向量組,其中的任意一個向量都不能被其余向量線性表示,其充要條件是,該向量組線性組合出一個零向量時其組合系數(shù)只能全為0。并證明之。做了以上鋪墊后,我們給出線性無關(guān)的向量組的定義為:若一個向量組線性組合出一個零向量時其組合系數(shù)只能全為0,則稱該向量組是線性無關(guān)的。再說明這樣的向量組,實際上其中的任意一個向量都不能被其余向量線性表示。就比較好理解了。

    那么為什么線性無關(guān)向量組的定義,一般不用“其中的任意一個向量都不能被其余向量線性表示”呢?這是因為,這樣的定義在實踐中不便操作,但這是一個易于理解的定義,它揭示了線性無關(guān)的本質(zhì)。

    3)運用類比理解向量組的最大無關(guān)組。人類總是在尋找構(gòu)成世界的基本元素,從金木水火土,到元素周期表。向量組,特別是包含無窮多個向量的向量組,有沒有較少的一些元素,或說較少的一些向量,可以生成整個向量組呢?最大無關(guān)組正是由這樣的一些代表元素所構(gòu)成,一方面它們可以線性表示出整個向量組;另一方面如果它們其中減少了一個,就不足以線性表示出整個向量組了,即一個都不能少。另外,最大無關(guān)組不是唯一的。這個數(shù)學(xué)概念,可以類比生活中的很多實際問題。比如,人們吃飯要講究營養(yǎng)搭配,需要淀粉、蛋白質(zhì)、脂肪、維生素,那么可以選擇A套餐:米飯、雞蛋,炒肉、蘋果。也可以選擇B套餐:面條、豆腐、雞腿、桔子。每個套餐中各種食材具有不同的營養(yǎng)成分(類似于線性無關(guān)),而且營養(yǎng)套餐不唯一(類似于最大無關(guān)組不是唯一的)。

    一個典型的問題是,已知一個向量組的每個具體向量,求該向量組的最大無關(guān)組,并把不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示。為了解決這個問題,先做好理論鋪墊,證明以下命題:對一個矩陣作行初等變換,不改變列向量組的線性相關(guān)性。這個命題是易于理解的。有了該命題,我們解決前述問題,就可采用以下方法,將這個向量組的所有向量按列組合出一個矩陣,對該矩陣做行初等變換,成為行最簡形矩陣,從行最簡形矩陣找出列向量組之間的線性關(guān)系十分方便,而此關(guān)系與行初等變換之前的列向量組之間的線性關(guān)系是一致的。這由剛剛給出的命題可知。

    4)設(shè)計新概念理解線性方程組的基礎(chǔ)解系。學(xué)習(xí)線性方程組的基礎(chǔ)解系之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了線性方程組是否有解及其解是否唯一的判定方法,熟悉了用行初等變換求解方程組的技術(shù)路線。當(dāng)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩r小于未知數(shù)的個數(shù)n時,方程組有無窮多個解。此時系數(shù)矩陣經(jīng)過行初等變換化為行最簡形,其階梯數(shù)為r,剩下n-r行為零。

    我們設(shè)計新概念,稱前r行對應(yīng)的方程為r個有效方程。有了有效方程的概念,理解和敘述都大為方便。比如,每個有效方程的第一個未知量的系數(shù)是1,稱為約束未知量。r個有效方程一共有r個不同的約束未知量。其余n-r個未知量稱為自由未知量。約束未知量可以由自由未知量的確定而確定。n-r個自由未知量組成一個n-r維自由未知向量,令向量中的第i個分量為1(i=1,2,…,n-r),其余分量為0。于是確定了n-r個線性無關(guān)的自由未知向量。約束未知量隨著自由未知量的確定而確定。每個自由未知量與相應(yīng)的約束未知量合并為一個解向量,于是得到n-r個線性無關(guān)的解向量,成為線性方程組的基礎(chǔ)解系。然后我們闡明線性方程組的基礎(chǔ)解系是方程組全體解組成的解向量組的最大無關(guān)組,是解空間的生成元。

    5)借助幾何形象理解線性方程組的解的結(jié)構(gòu)。3維空間是現(xiàn)實的空間,直觀可見。一個3元線性方程在此空間中表示一個平面,是2維空間。我們可以理解為,一個方程相當(dāng)于一個約束,3維空間給一個約束,降為2維。兩個線性方程組成的方程組,3維空間給2個約束,降為1維,成一條直線。3個線性方程組成的方程組,3維空間給3個約束,降為0維,成為1個點。n個未知數(shù)m個線性方程組成的方程組的解是什么情況呢?n個未知數(shù)組成的向量存在于在n維空間中,如果不給約束,就充滿整個n維空間。現(xiàn)在給了m個方程,是不是減少m維呢?不是的。這m個方程中存在一些等價重復(fù)表達(dá)。只有經(jīng)過同解變形,成為r個有效方程(或稱獨立方程)后,這些方程才是相互獨立不能相互取代的。因此,實際上n維空間減少了r維,成為n-r維空間,這正是解空間的基本情況。

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