考慮視場角約束的三維時(shí)間控制制導(dǎo)律

阮 聰，溫求遒，張文杰

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081)

0 引 言

隨著現(xiàn)代武器防御系統(tǒng)的快速發(fā)展，制導(dǎo)彈藥的戰(zhàn)場生存能力以及毀傷能力面臨嚴(yán)峻挑戰(zhàn)[1]。為了減小作戰(zhàn)消耗，提高制導(dǎo)彈藥的突防能力，飽和齊射攻擊的作戰(zhàn)方式越來越受到重視，而實(shí)現(xiàn)飽和攻擊的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)就是時(shí)間控制制導(dǎo)技術(shù)[2]。

自從飽和攻擊作戰(zhàn)方式被提出以來，國內(nèi)外研究者提出了許多不同形式的時(shí)間控制制導(dǎo)律。Jeon等人[3]針對非線性運(yùn)動(dòng)模型，提出了一種平面內(nèi)基于廣義比例導(dǎo)引的時(shí)間控制制導(dǎo)律。Tekin等人[4]基于前置角成型技術(shù)，提出了一種需要迭代求解菲涅爾積分的時(shí)間控制制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[5]基于剩余飛行時(shí)間估計(jì)，給出了一種構(gòu)造時(shí)間控制制導(dǎo)律的通用設(shè)計(jì)方法，并應(yīng)用到考慮落角約束的時(shí)間控制制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中。Kim等人[6]利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，提出了一種平面內(nèi)的非線性攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律，并推廣到三維空間中。He等人[7]考慮誤差收斂的最優(yōu)動(dòng)力學(xué)，提出了一種三維最優(yōu)時(shí)間控制制導(dǎo)律，避免了平面時(shí)間控制制導(dǎo)律由于空間耦合引起的末端制導(dǎo)指令抖振問題。考慮到導(dǎo)引頭實(shí)際視場的限制，為避免由于制導(dǎo)彈藥機(jī)動(dòng)引起的目標(biāo)丟失問題，文獻(xiàn)[8]提出了平面內(nèi)滿足視場角約束的時(shí)間控制制導(dǎo)律，但是存在控制指令奇異問題。陳升富等人[9]基于滑?？刂萍夹g(shù)，提出了一種考慮視場角約束的無奇異點(diǎn)攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律。楊哲等人[10]基于多項(xiàng)式函數(shù)推導(dǎo)了不依賴剩余飛行時(shí)間估計(jì)的時(shí)間控制制導(dǎo)律，通過引入視場角函數(shù)反饋項(xiàng)實(shí)現(xiàn)視場角約束。文獻(xiàn)[11]針對地面固定目標(biāo)，提出一種考慮視場角約束的兩階段復(fù)合時(shí)間控制制導(dǎo)律，并且分析了攻擊時(shí)間可達(dá)域。Chen等人[12]設(shè)計(jì)切換滑模面，通過終端滑?？刂萍夹g(shù)實(shí)現(xiàn)了視場角受限的切換時(shí)間控制制導(dǎo)律。上述大多數(shù)同時(shí)考慮攻擊時(shí)間和視場角約束的制導(dǎo)律都只是針對平面制導(dǎo)問題，沒有考慮到空間角度耦合問題，而針對三維空間的時(shí)間控制制導(dǎo)律又沒有考慮視場角約束。因此，現(xiàn)有的時(shí)間控制制導(dǎo)律很難直接應(yīng)用到三維飽和式攻擊場景中。

基于以上研究，針對制導(dǎo)彈藥飽和式攻擊問題，基于經(jīng)典三維比例導(dǎo)引，考慮偏航和俯仰通道的耦合，提出一種考慮空間視場角約束的三維時(shí)間控制制導(dǎo)律。

1 制導(dǎo)彈藥三維攔截模型建立

假設(shè)制導(dǎo)彈藥是一個(gè)速度恒定的可控質(zhì)點(diǎn)，圖1給出制導(dǎo)彈藥三維空間內(nèi)攻擊靜止目標(biāo)的幾何示意圖。坐標(biāo)系OXIYIZI和MXVYVZV分別為慣性坐標(biāo)系和彈道坐標(biāo)系，M和T分別為制導(dǎo)彈藥和靜止目標(biāo)，V為制導(dǎo)彈藥速度，az和ay分別為制導(dǎo)彈藥的俯仰和偏航加速度，R為彈目相對距離，θL和φL分別為彈目視線俯仰和偏航視線角，θm和φm分別為制導(dǎo)彈藥速度在俯仰和偏航方向的前置角，σ為總的速度前置角。

圖1 三維攻擊幾何關(guān)系Fig.1 Three dimensional interception geometry

根據(jù)制導(dǎo)攔截幾何關(guān)系，三維空間內(nèi)攻擊固定目標(biāo)的彈目相對運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型[13]為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

cosσ=cosθmcosφm

(6)

通常情況下制導(dǎo)彈藥的攻角和側(cè)滑角相對較小，可以直接忽略，則導(dǎo)引頭的視場角約束可以近似等效為總的速度前置角約束[8,14]。假設(shè)σmax為導(dǎo)引頭視場范圍決定的視場角邊界值，則導(dǎo)引頭視場角約束可以描述為

|σ|≤σmax

(7)

因此，本文所研究的滿足視場角約束的三維時(shí)間控制制導(dǎo)律可以描述為設(shè)計(jì)滿足式(8)的俯仰和偏航通道加速度指令，使得制導(dǎo)彈藥在滿足視場角約束的情況下能以指定攻擊時(shí)間命中目標(biāo)：

(8)

式中：td為指定攻擊時(shí)間。

2 三維時(shí)間控制制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 考慮視場角約束的時(shí)間控制制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)考慮視場角約束的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)要求，制導(dǎo)彈藥必須同時(shí)滿足命中目標(biāo)約束、視場角約束以及攻擊時(shí)間約束。

基于三維比例導(dǎo)引彈道的剩余飛行時(shí)間估計(jì)為[7]

(9)

式中：N為比例導(dǎo)引系數(shù)，一般取值在3～6之間。

考慮剩余飛行時(shí)間估計(jì)精度對制導(dǎo)律攻擊時(shí)間控制精度的影響，下面在三維比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上，考慮一種新的滿足視場角約束和攻擊時(shí)間控制的偏置比例導(dǎo)引律：

(10)

式中：aby，abz分別為滿足視場角約束以及攻擊時(shí)間的偏航和俯仰加速度指令偏置項(xiàng)。

對式(6)求導(dǎo)，并聯(lián)立式(4)～(5)，(10) 得

(11)

基于式(9)，定義攻擊時(shí)間誤差滑模面：

s=td-t-tgo

(12)

對式(12)求導(dǎo)，并聯(lián)立式(11)得

(13)

由于導(dǎo)引頭視場角約束，速度前置角σ通常較小，因此，基于小角假設(shè)：

(14)

將式(14)代入式(13)中，并忽略高階小項(xiàng)得

(15)

結(jié)合式(15)，基于滑?？刂评碚摚胶透┭黾铀俣戎噶钇庙?xiàng)設(shè)計(jì)為

(16)

式中：k>0為偏置項(xiàng)控制增益，符號函數(shù)為

結(jié)合式(10)和式(16)，考慮視場角約束的三維時(shí)間控制制導(dǎo)律為

(17)

值得注意的是，當(dāng)攻擊時(shí)間誤差s≠0時(shí)，即使制導(dǎo)彈藥指向目標(biāo)(σ=0)，aby和abz均不為0，即俯仰和偏航偏置項(xiàng)依舊可以起到攻擊時(shí)間調(diào)節(jié)作用?？紤]到比例導(dǎo)引常數(shù)一般取值為3，則制導(dǎo)律的調(diào)節(jié)參數(shù)只有一個(gè)，有利于工程中制導(dǎo)控制增益調(diào)節(jié)。

2.2 穩(wěn)定性分析

假設(shè)末制導(dǎo)初始時(shí)刻導(dǎo)引頭捕獲目標(biāo)，制導(dǎo)彈藥的速度前置角滿足視場角約束，即：|σ0|≤σmax。采用式(17)所示的制導(dǎo)律能使制導(dǎo)彈藥在末制導(dǎo)過程中滿足視場角約束，并且攻擊時(shí)間誤差是收斂的。

為了證明制導(dǎo)彈藥末制導(dǎo)過程中滿足視場角約束，定義集合Ψ={σ:|σ|≤σmax}，選取李雅普諾夫函數(shù)：

(18)

對式(18)求導(dǎo)，并聯(lián)立式(11)得

(19)

當(dāng)σ→0 時(shí)，φm→0 且θm→0，有

(20)

由式(20)知，σ→0不會(huì)使式(19)引起奇異問題?？紤]集合Ψ邊界上的點(diǎn)：當(dāng)|σ|=σmax，有ab=0。則當(dāng)比例導(dǎo)引系數(shù)N>2時(shí)，以下不等式恒成立：

(21)

下面證明制導(dǎo)律能夠使剩余飛行時(shí)間誤差收斂。選取李雅普諾夫函數(shù)如下：

(22)

對式(22)求導(dǎo)，并聯(lián)立式(15)～(16)得

(23)

當(dāng)增益k取值足夠大時(shí)，s會(huì)在有限時(shí)間ts收斂到0，記ts時(shí)刻彈目距離和前置角分別為Rs,σs。聯(lián)立式(1)、式(6)和式(11)有

(24)

(25)

綜上所述，所提出的制導(dǎo)律式(17)能夠使制導(dǎo)彈藥同時(shí)滿足視場角約束、命中約束以及攻擊時(shí)間約束。并且，當(dāng)末制導(dǎo)初始時(shí)刻制導(dǎo)彈藥直指目標(biāo)時(shí)，該制導(dǎo)律仍能對攻擊時(shí)間起到調(diào)節(jié)作用。

3 仿真分析

針對制導(dǎo)彈藥在三維空間中攻擊固定目標(biāo)的場景，進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。目標(biāo)位置為(5 000,5 000,0) m，制導(dǎo)彈藥初始位置為(0,0,0) m，速度為250 m/s，初始俯仰和偏航前置角分別為10°和-15°。導(dǎo)彈俯仰和偏航方向可提供的最大加速度均為8g，其中g(shù)=9.8 m/s2。制導(dǎo)律設(shè)計(jì)參數(shù)為：N=3，k=20，仿真步長選為0.01 s。為了減小符號函數(shù)在末制導(dǎo)末端引起的抖振現(xiàn)象，當(dāng)剩余飛行時(shí)間誤差小于0.2 s時(shí)，采用tanh函數(shù)來代替符號函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為

其中，a為設(shè)計(jì)參數(shù)，取值為0.1。

設(shè)定制導(dǎo)時(shí)間分別為30 s和35 s，視場角約束分別為40°和45°，仿真結(jié)果如圖2所示。

以上仿真條件下，攻擊時(shí)間控制誤差不超過0.001 s，脫靶量不超過0.01 m。結(jié)合圖2(a)所示的彈道曲線表明，不同視場角約束下，制導(dǎo)彈藥均能以指定攻擊時(shí)間精確命中目標(biāo)，并且指定攻擊時(shí)間越大，彈道越彎曲。圖2(b)～(c)所示的剩余飛行時(shí)間誤差曲線和視場角曲線表明，制導(dǎo)彈藥末制導(dǎo)段能滿足視場角約束，剩余飛行時(shí)間誤差逐漸收斂，并且指定攻擊時(shí)間越長，最大視場角約束越小，則制導(dǎo)彈藥以最大視場角飛行時(shí)間越長，剩余飛行時(shí)間誤差收斂越慢。結(jié)合圖2(d)～(e)所示的過載曲線，制導(dǎo)彈藥彈道主要分三段：初始階段攻擊時(shí)間誤差大，制導(dǎo)彈藥以最大過載調(diào)節(jié)彈道；隨后觸碰最大視場角約束，過載迅速減小，制導(dǎo)彈藥以最大視場角飛行；最后由于剩余飛行時(shí)間誤差收斂，制導(dǎo)律退化為三維比例導(dǎo)引，視場角和過載逐漸收斂到0，增強(qiáng)末端抗干擾能力。

圖2 不同約束下仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of different constraints

針對不同制導(dǎo)時(shí)間和視場角約束條件，圖3給出了分析不同偏置項(xiàng)控制增益k對剩余飛行時(shí)間誤差收斂速度的影響。仿真結(jié)果表明：對于不同的制導(dǎo)時(shí)間和視場角約束條件，偏置項(xiàng)控制增益k越大，剩余飛行時(shí)間誤差收斂速度越快；同時(shí)，隨著k的增加，剩余飛行時(shí)間誤差收斂速度的增長速率逐漸變緩。

圖3 不同增益下剩余時(shí)間誤差Fig.3 Time-to-go errors of different gains

圖4表明，采用兩種制導(dǎo)律，制導(dǎo)彈藥均能以指定攻擊時(shí)間精確命中目標(biāo)，并且當(dāng)指定攻擊時(shí)間小時(shí)，兩種制導(dǎo)律彈道性能差異不大。圖4(b)～(c)表明，隨著攻擊時(shí)間增加，盡管文獻(xiàn)[6]中制導(dǎo)律攻擊時(shí)間誤差收斂較快，但是其最大視場角接近90°，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過導(dǎo)引頭的視場范圍，容易導(dǎo)致制導(dǎo)彈藥丟失目標(biāo)。圖4(d)～(e)所示的過載曲線表明，兩種制導(dǎo)律末端過載均收斂到0，隨著指定攻擊時(shí)間增大，盡管文獻(xiàn)[6]快于本文所提出的制導(dǎo)律過載收斂速度，但是其過載飽和時(shí)間也明顯較長。從表1所示的控制能量對比結(jié)果可以看出，當(dāng)攻擊時(shí)間較小時(shí)，兩種制導(dǎo)律控制能量接近，但是隨著攻擊時(shí)間增加，本文所提出的制導(dǎo)律控制能量明顯小于文獻(xiàn)[6]中制導(dǎo)律控制能量。

表1 控制能量對比Table 1 Control effort comparison

圖4 制導(dǎo)律對比Fig.4 Comparison of guidance laws

4 結(jié) 論

針對制導(dǎo)彈藥在三維空間中的飽和式攻擊問題，基于經(jīng)典三維比例導(dǎo)引律，提出了一種考慮空間視場角約束的三維攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律由比例導(dǎo)引項(xiàng)和滿足空間視場角約束的攻擊時(shí)間誤差反饋附加項(xiàng)組成，通過理論分析和仿真對比可得出如下結(jié)論：

(1) 基于李雅普諾夫理論，本文給出了滿足視場角約束和攻擊時(shí)間誤差收斂的嚴(yán)格穩(wěn)定性證明；

(2) 本文所提出的制導(dǎo)律在不同仿真條件下，能夠滿足空間視場角約束，并且實(shí)現(xiàn)了以期望攻擊時(shí)間對固定目標(biāo)的精確打擊，末端過載逐漸收斂，控制能量消耗較小。