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    一道2020年高考數(shù)列填空題的深入思考

    2021-04-08 03:07:26蔡海濤陳凌燕翁建新
    數(shù)理化解題研究 2021年7期
    關(guān)鍵詞:項的奇數(shù)偶數(shù)

    蔡海濤 陳凌燕 翁建新

    (1.福建省莆田第二中學(xué) 351131;2.福建省廈門市海滄中學(xué) 361022;3.福建省莆田第四中學(xué) 351100)

    高考對數(shù)列的考查突出基礎(chǔ)性,重點考查考生對數(shù)列通性通法的理解與應(yīng)用,有時也考查綜合性較強的數(shù)列問題,如以遞推關(guān)系為載體的數(shù)列問題,這類問題將基礎(chǔ)知識的考查和能力的考查有機地結(jié)合,解題方法靈活多樣,技巧性較強.本文以一道2020年高考全國Ⅰ卷文科第16題的數(shù)列問題為例,談?wù)労f推關(guān)系數(shù)列問題的常用求解策略.

    一、試題呈現(xiàn)

    題目(2020年高考全國Ⅰ卷·文16)數(shù)列{an}滿足an+2+(-1)nan=3n-1,前16項和為540,則a1=____.

    二、試題分析

    本題以遞推數(shù)列的關(guān)系式為載體,考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的求和等基礎(chǔ)知識,考查推理論證及運算求解能力,考查分類與整合、特殊與一般、函數(shù)與方程思想,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

    本題只需對n分奇偶數(shù)進(jìn)行討論,分別得出奇數(shù)項、偶數(shù)項的遞推關(guān)系,由奇數(shù)項遞推公式將奇數(shù)項用a1表示,由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和,建立以a1為變量的方程,求解即可得出結(jié)論.

    三、解法探析

    解析當(dāng)n為偶數(shù)時,有an+2+an=3n-1.

    所以(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92.

    因為數(shù)列{an}前16項和為540,所以a1+a3+a5+…+a15=448.

    當(dāng)n為奇數(shù)時,有an+2-an=3n-1.

    則an+2=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+…+(an+2-an)

    解得a1=7.

    點評本題的難點在于已知式子中含有(-1)n,可對其進(jìn)行分類討論,分為奇數(shù)項和偶數(shù)項再進(jìn)行分組求和,而偶數(shù)項的求和又注意到每連續(xù)兩項的和構(gòu)成等差數(shù)列,通過并項求和得出前16項中偶數(shù)項的和為92,而奇數(shù)項的求和是先利用累加法求得an+2與a1的關(guān)系,然后把奇數(shù)項的和用a1表示,進(jìn)而把前16項和用a1表示,最后求得a1的值.

    四、變式拓展

    變式1已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+(-1)nn(n∈N*),則a20=____.

    解析當(dāng)n為奇數(shù)時,an+1-an=-n;

    當(dāng)n為偶數(shù)時,an+1-an=n.

    故a20=[(a20-a19)+(a18-a17)+…+(a2-a1)]+[(a19-a18)+(a17-a16)+…+(a3-a2)]+a1

    =-(19+17+…+1)+(18+16+…+2)+1

    =-9.

    變式2已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an+1+(-1)nan=n,若S17=70,則a2021=____.

    解析當(dāng)n為奇數(shù)時,有

    an+1-an=n,an+2+an+1=n+1.

    則an+2+an=1.

    當(dāng)n為偶數(shù)時,有an+1+an=n,an+2-an+1=n+1.

    則an+2+an=2n+1.

    故(a3+a5)+(a7+a9)+(a11+a13)+(a15+a17)=4,

    (a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)

    =5+13+21+29=68.

    從而S17=a1+72=70,解得a1=-2.

    因為an+2+an=1,所以a1=a5=a9=a4n+1.

    所以a2021=a1=-2.

    點評變式1及變式2與本文2020年高考題解法類似,先對n分奇數(shù)和偶數(shù)討論,通過分組求和尋找規(guī)律性突破難點.

    變式3(2012年高考全國Ⅱ卷·理16)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項和為____.

    解析設(shè)a1=a,由已知,得a2=1+a,a3=2-a,a4=7-a,a5=a,a6=9+a,a7=2-a,a8=15-a,a9=a…

    令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,

    則bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4

    =a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n+16

    =bn+16.

    又a1+a2+a3+a4=10,

    則{an}的前60項和為

    點評解決遞推數(shù)列的問題,通??梢杂锰厥庵堤铰罚瑢懗銮皫醉?,先歸納后猜想尋求一般規(guī)律.本題就是基于特殊與一般的思想,發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}每連續(xù)四項之和成等差數(shù)列這個關(guān)系,從而突破了難點.

    五、歸納總結(jié)

    由以上例題及變式的解題分析,可以總結(jié)出含遞推關(guān)系數(shù)列問題的一般求解策略:首先要重視通性通法,理清知識網(wǎng)絡(luò),切實掌握數(shù)列的概念與性質(zhì),把已知的遞推關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造等差或等比數(shù)列;其次要強化合情推理,數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù),這決定了數(shù)列解題中離不開規(guī)律性和技巧性的探究,故靈活應(yīng)用合情推理方法解決數(shù)列問題就顯得尤為重要,通常應(yīng)用分類與整合及特殊與一般的數(shù)學(xué)思想尋找解題的突破口.教師要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會以上兩條解題策略,啟發(fā)學(xué)生學(xué)會聯(lián)想、探索、反思、創(chuàng)新、總結(jié)歸納,這樣才會在解題過程中不斷提升能力和素養(yǎng).

    六、對點訓(xùn)練

    答案:3018.

    (1)a3=____;

    (2)S1+S2+…+S100=____.

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