對(duì)2020年高考卷的挖掘與思考

何正文

(廣東省肇慶市百花中學(xué) 526020)

高考卷往往具有高度啟發(fā)性，本文對(duì)2020年的數(shù)學(xué)高考試卷進(jìn)行分析，對(duì)高考題的考查背景、目標(biāo)、意義進(jìn)行解剖，對(duì)其中某幾個(gè)典型題目進(jìn)行挖掘，希望對(duì)高三教學(xué)有一定的指導(dǎo)作用.

一、伸展高考試題變式，提高數(shù)學(xué)能力，化變形為階梯，登高望遠(yuǎn)

例1(2020年全國(guó)Ⅰ卷理科第6題)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為( ).

A.y=-2x-1 B.y=-2x+1

C.y=2x-3 D.y=2x+1

分析這是一道考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題，對(duì)這道題進(jìn)行深入挖掘，可以設(shè)計(jì)出下面的變式題.

變式1過點(diǎn)(1，-1)作曲線f(x)=x4-2x3的切線l，求直線l的方程.

變式2若直線y=-2x+m與曲線f(x)=x4-2x3相切，求m.

變式3斜率為-2的直線l與曲線f(x)=x4-2x3恰有一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)公共點(diǎn)，分別求出直線l的縱截距或其取值范圍.

變式4曲線f(x)=x4-2x3上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得曲線在點(diǎn)P處的切線與曲線再無其余公共點(diǎn)？若存在，此點(diǎn)有何特殊性？

變式5斜率為-2的直線與曲線f(x)=x4-2x3相切于點(diǎn)P，并與曲線有另一交點(diǎn)Q，求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).

教師要充分挖掘試題本身的形，幫助學(xué)生找到其中的義，通過變形熟悉共性的含義，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

二、從高考試題回歸課本，歸本就是回歸數(shù)學(xué)思想，追本溯源

例2(2020年全國(guó)Ⅱ卷理科第17題)在△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求角A；

(2)若BC=3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

本題對(duì)應(yīng)(人教A版高中數(shù)學(xué)《必修5》教材習(xí)題1.2 A組(14)):在△ABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，求證：c(acosB-bcosA)=a2-b2.

解法同例1，利用余弦定理、正弦定理可求解出來.

反思以上高考題(17)是教材A習(xí)題(14)的異曲同工，并且均可以從正弦定理、余弦定理等角度入手.相比之下高考題(17)讓考生更加清晰.從高考題中能找到課本習(xí)題的影子，無論課本習(xí)題還是高考題，都要挖掘其背后的化歸、分類、整體數(shù)學(xué)思想.

1.化歸

這道高考三角函數(shù)題，有化歸數(shù)學(xué)思想，本質(zhì)就是把未知引向已知，把陌生引向熟悉.通過不斷地變形轉(zhuǎn)換，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的形式化歸為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡(jiǎn)單的形式.

=-m.

2.分類

分類討論思想體現(xiàn)化整為零、積零為整兩個(gè)方面，注重條理、邏輯.能訓(xùn)練學(xué)生的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置.

解析(1)當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，

(2)當(dāng)n偶數(shù)時(shí)，

3.整體思想

數(shù)學(xué)整體思想方法從整體結(jié)構(gòu)或整體特征考慮，化繁為簡(jiǎn)，化零為整，化難為易.

例5 已知函數(shù)f(x)=msin(πx+α)+ncos(πx+β)(m,n,α,β為非零實(shí)數(shù)),且f(2009)=-1，求f(2010)的值.

分析直接求出系數(shù)m,n比較困難,不妨利用誘導(dǎo)公式和已知考察f(2009)和f(2010)的關(guān)系再進(jìn)行求解.

解析因?yàn)閒(2009)=msin(2009π+α)+ncos(2009π+β)=msin(π+α)+ncos(π+β)=-msinα-ncosβ=-(msinα+ncosβ)=-1，

所以msinα+ncosβ=1.

故f(2010)=msin(2010π+α)+ncos(2010π+β)=msinα+ncosβ=1.

點(diǎn)評(píng)注意整體思想的應(yīng)用.解答本題的關(guān)鍵就是求得式子asinα+bcosβ=1(整體)，它是聯(lián)系已知和未知的紐帶.

三、跳出高考試題，高考試題最重要的靈魂是數(shù)學(xué)思維，魚躍龍門

例6(2020年全國(guó)Ⅰ卷理科第17題)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng)．

(1)求{an}的公比；

(2)若a1=1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和．

這道題的難點(diǎn)在第(2)問，此題讓我想起了一道課本習(xí)題：求和S=1+2x+3x2+…+nxn-1(人教版必修5第61頁).

如果我們跳出這道題的慣性解法，不用錯(cuò)位相減法求和呢？

這是我們跳出了數(shù)學(xué)思維定勢(shì)，挖掘題目后面的本質(zhì).數(shù)學(xué)思維是今年高考突出考查的重點(diǎn).

今年的高考題型特點(diǎn)是少陷阱、少套路，淡化刷題性價(jià)比.多注重?cái)?shù)學(xué)思想，多側(cè)重?cái)?shù)學(xué)思維，強(qiáng)化實(shí)踐性的應(yīng)用.教師要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)能力，注重?cái)?shù)學(xué)思維養(yǎng)成，數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的完善.這是筆者對(duì)今年高考題的認(rèn)識(shí)，希望能給高三教師同行們一些啟發(fā)，更希望幫助更多的高三學(xué)子更好備考，做到事半功倍，舉一反三.