例談雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)問題的分類及處理策略

江西 許冬保 肖 凱

在靜電場(chǎng)中，雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)問題，屬于非常典型的一類問題，是高考命題的高頻考點(diǎn)。這類試題側(cè)重考查考生科學(xué)思維中模型建構(gòu)、科學(xué)推理以及物理觀念中運(yùn)動(dòng)觀念、能量觀念。試題涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，如電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)、電勢(shì)能、電場(chǎng)力做功、動(dòng)能等物理量的分析。試題一般以選擇題呈現(xiàn)，且多以定性分析為主，旨在考查考生的理解能力、模型建構(gòu)能力以及推理論證能力等。本文試對(duì)雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)問題進(jìn)行分類分析，以尋求相應(yīng)的求解方略。

1.等量異種雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)

如圖1所示，為等量異種雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)線與等勢(shì)面分布圖。雙點(diǎn)電荷連線自左至右，場(chǎng)強(qiáng)先減小后增大，中點(diǎn)最??；電勢(shì)逐漸降低。在雙點(diǎn)電荷連線中垂線上，沿中垂線自上而下，場(chǎng)強(qiáng)先增大后減小，中點(diǎn)最大；中垂線(面)為等勢(shì)線(面)，且與無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)相同，若選定無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則中垂線上各點(diǎn)的電勢(shì)均為零。

圖1 等量異種雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)線與等勢(shì)面

【例1】空間P、Q兩點(diǎn)處固定電荷量絕對(duì)值相等的點(diǎn)電荷，其中Q點(diǎn)處為正電荷，P、Q兩點(diǎn)附近電場(chǎng)的等勢(shì)線分布如圖2所示，a、b、c、d、e為電場(chǎng)中的5個(gè)點(diǎn)，設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則

( )

A.e點(diǎn)的電勢(shì)大于零

B.a點(diǎn)和b點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相同

C.b點(diǎn)的電勢(shì)低于d點(diǎn)的電勢(shì)

D.負(fù)電荷從a點(diǎn)移動(dòng)到c點(diǎn)時(shí)電勢(shì)能增加

【解析】根據(jù)電場(chǎng)線與等勢(shì)面之間的關(guān)系，參考圖1，可判斷出P點(diǎn)處為負(fù)電荷，試題所描述的是兩個(gè)等量異種電荷電場(chǎng)的情形。已知無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，且e點(diǎn)在PQ連線的中垂線上，則φe=0；參考圖1，a、b兩點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向不同；從Q到P電勢(shì)逐漸降低，則φb>φd；由φa>φc，可知負(fù)電荷從a點(diǎn)到c點(diǎn)電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增加。故D選項(xiàng)正確。

圖2

【例2】(2020年全國卷Ⅱ第20題)如圖3所示，豎直面內(nèi)一絕緣細(xì)圓環(huán)的上、下半圓分別均勻分布著等量異種電荷。a、b為圓環(huán)水平直徑上的兩個(gè)點(diǎn)，c、d為豎直直徑上的兩個(gè)點(diǎn)，它們與圓心的距離均相等。則

( )

圖3

A.a、b兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相等 B.a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)相等

C.c、d兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相等 D.c、d兩點(diǎn)的電勢(shì)相等

【解析】若以a、b點(diǎn)所在直線連線為分界線，該題所述的帶電圓環(huán)，可等效為無數(shù)對(duì)上下對(duì)稱分布的等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊加。將圖1沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o，由場(chǎng)強(qiáng)左右及上下空間分布的對(duì)稱性，不難得到，AC選項(xiàng)正確。又由于a、b兩點(diǎn)處在等勢(shì)面上，因此，a、b兩點(diǎn)電勢(shì)相等。而c、d兩點(diǎn)處在同一電場(chǎng)線上，自c至d電勢(shì)一直在降低，即φc>φd。故ABC選項(xiàng)正確。

【點(diǎn)評(píng)】等量異種雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)是最基本、最典型的電場(chǎng)。例1切入點(diǎn)為從等勢(shì)線找電場(chǎng)線分布；例2考查點(diǎn)為等量異種雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)的集合。掌握?qǐng)D1所示的電場(chǎng)線與電勢(shì)分布圖，掌握電場(chǎng)線與等勢(shì)線沿空間分布的對(duì)稱性特點(diǎn)，是求解這類問題的關(guān)鍵所在。

2.等量同種雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)

如圖4所示，為等量同種雙點(diǎn)電荷(正電荷)電場(chǎng)線與等勢(shì)面分布圖。雙點(diǎn)電荷連線自左至右，場(chǎng)強(qiáng)先減小后增大，中點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零；電勢(shì)先減小后增大，中點(diǎn)電勢(shì)最低。

圖4 等量雙點(diǎn)電荷(正電荷)電場(chǎng)線與等勢(shì)面

在雙點(diǎn)電荷連線中垂線上，自連線中點(diǎn)沿中垂線至無窮遠(yuǎn)處，場(chǎng)強(qiáng)先增大后減?。浑妱?shì)逐漸降低，中點(diǎn)電勢(shì)最高。

【例3】靜電場(chǎng)在x軸上的場(chǎng)強(qiáng)E隨x的變化關(guān)系如圖5所示，x軸正向?yàn)閳?chǎng)強(qiáng)正方向，帶正電的點(diǎn)電荷沿x軸運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)電荷

( )

圖5

A.在x2和x4處電勢(shì)能相等

B.由x1運(yùn)動(dòng)到x3的過程中電勢(shì)能增加

C.由x1運(yùn)動(dòng)到x4的過程中電場(chǎng)力先增大后減小

D.由x1運(yùn)動(dòng)到x4的過程中電場(chǎng)力先減小后增大

【解析】由圖5可知，帶正電的點(diǎn)電荷在x>x1的條件下，所受電場(chǎng)力方向沿x軸負(fù)方向，從x2移動(dòng)到x4的過程電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增加，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；同理，帶正電的點(diǎn)電荷從x1移動(dòng)到x3的過程中，電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增加，B選項(xiàng)正確；從x1到x4的過程場(chǎng)強(qiáng)先增大后減小，所以電場(chǎng)力先增大后減小，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。

【例4】空間某一靜電場(chǎng)的電勢(shì)φ在x軸上分布如圖6所示，x軸上兩點(diǎn)B、C的場(chǎng)強(qiáng)在x方向上的分量分別是EBx、ECx，下列說法中正確的有

( )

A.EBx的大小大于ECx的大小

B.EBx的方向沿x軸正方向

C.電荷在O點(diǎn)受到的電場(chǎng)力在x軸方向上的分量最大

D.負(fù)電荷沿x軸從B點(diǎn)移到C點(diǎn)的過程中，電場(chǎng)力先做正功，后做負(fù)功

圖6

圖7 雙等量正點(diǎn)電荷電場(chǎng)線分布圖

注意圖7中增加了中間兩條特殊的電場(chǎng)線(大學(xué)電磁學(xué)教材上畫出，而中學(xué)教材未畫出)，有利于問題的分析。

3.不等量異種雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)

如圖8所示，為不等量異種雙點(diǎn)電荷(圖8中左側(cè)為正電荷，右側(cè)為負(fù)電荷，且右側(cè)電荷量較大)電場(chǎng)線與等勢(shì)面分布圖。雙點(diǎn)電荷連線自左至右，場(chǎng)強(qiáng)先減小后增大；電勢(shì)逐漸降低。沿雙點(diǎn)電荷連線靠近電荷量小的外側(cè)(圖中正的點(diǎn)電荷的左側(cè))某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零。

圖8 不等量異種雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)線與電勢(shì)分布圖

【例5】?jī)僧惙N點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的部分等勢(shì)面如圖9所示，已知A點(diǎn)電勢(shì)高于B點(diǎn)電勢(shì)。若位于a、b處點(diǎn)電荷的電荷量大小分別為qa和qb，則

( )

圖9

A.a處為正電荷，qaqb

C.a處為負(fù)電荷，qaqb

【例6】?jī)呻姾闪糠謩e為q1和q2的點(diǎn)電荷放在x軸上的O、M兩點(diǎn)，空間靜電場(chǎng)的電勢(shì)在x軸的分布如圖10所示。其中A、N兩點(diǎn)處的電勢(shì)均為零，ND段中C點(diǎn)電勢(shì)最高，下列說法正確的是

( )

A.q1的電荷量小于q2的電荷量

B.A點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為零

C.將一帶負(fù)電的試探電荷從N移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力先做正功后做負(fù)功

D.將一帶負(fù)電的試探電荷在NC間某點(diǎn)釋放，僅在電場(chǎng)力作用下一定能到達(dá)N點(diǎn)

圖10

【解析】由圖10可知，q1為正電荷，q2為負(fù)電荷，A點(diǎn)的電勢(shì)為零。因此，q1的電荷量大于q2的電荷量，且q1和q2為異種電荷，A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)最小，但不為零。AB選項(xiàng)錯(cuò)誤。進(jìn)一步分析圖10，在x軸的C點(diǎn)電勢(shì)最高，場(chǎng)強(qiáng)為零，其兩側(cè)電場(chǎng)線必反向，顯然，將一帶負(fù)電的試探電荷從N移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力先做正功后做負(fù)功。若將一帶負(fù)電的試探電荷在NC間某點(diǎn)釋放，僅在電場(chǎng)力作用下一定能到達(dá)NC間某點(diǎn)，但不能到達(dá)N點(diǎn)。C選項(xiàng)正確。

【點(diǎn)評(píng)】不等量異種雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)較等量異種雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)要復(fù)雜一些，左右電場(chǎng)分布沒有對(duì)稱性。例5、例6所描述的電場(chǎng)是相同的，但情境不同，例5是已知等勢(shì)面的分布確定電場(chǎng)分布；例6是已知φ-x圖像，根據(jù)圖像信息確定電場(chǎng)分布。圖10中，在x軸的C點(diǎn)，對(duì)應(yīng)電勢(shì)最高，因圖像斜率為零，則該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零。

注意例5、例6情境與圖8所示的情境不完全相同，不同點(diǎn)在于例5、例6中左側(cè)電荷量大于右側(cè)電荷量。根據(jù)圖10信息，繪出與圖10相對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)線分布示意圖(圖11)，有利于深度分析電場(chǎng)中的有關(guān)問題。在圖11中右側(cè)的4個(gè)箭頭表明，該處電場(chǎng)線走向的多樣性，并且電場(chǎng)線的“拐點(diǎn)”處場(chǎng)強(qiáng)為零。

圖11 不等量異種雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)線分布圖

4.不等量同種雙點(diǎn)電荷電場(chǎng)

如圖12所示，為不等量同種雙點(diǎn)電荷(正電荷)電場(chǎng)線與等勢(shì)面分布圖(圖中左側(cè)電荷量較大)。雙點(diǎn)電荷連線自左至右，場(chǎng)強(qiáng)先減小后增大，在雙點(diǎn)電荷連線之間，靠近電荷量小的一側(cè)(圖中兩點(diǎn)電荷之間連線右側(cè))某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零。

圖12 不等量雙點(diǎn)電荷(正電荷)電場(chǎng)線與等勢(shì)面

【例7】真空中有兩個(gè)固定的帶正電的點(diǎn)電荷，電荷量不相等。一個(gè)帶負(fù)電的試探電荷置于二者連線上的O點(diǎn)時(shí)，僅在電場(chǎng)力的作用下恰好保持靜止?fàn)顟B(tài)。過O點(diǎn)作兩正電荷連線的垂線，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與連線和垂線分別交于a、c和b、d，如圖13所示。以下說法正確的是

( )

圖13

A.a點(diǎn)電勢(shì)低于O點(diǎn)

B.b點(diǎn)電勢(shì)低于c點(diǎn)

C.該試探電荷在a點(diǎn)的電勢(shì)能大于在b點(diǎn)的電勢(shì)能

D.該試探電荷在c點(diǎn)的電勢(shì)能小于在d點(diǎn)的電勢(shì)能

【解析】已知負(fù)的試探電荷僅在電場(chǎng)力的作用下，在O點(diǎn)恰好保持靜止，則O點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)必為零。如圖14所示，根據(jù)兩個(gè)不等量正電荷間電場(chǎng)線的分布特點(diǎn)可知：aO之間電場(chǎng)線由a到O，則a點(diǎn)的電勢(shì)高于O點(diǎn)的電勢(shì)，因此，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；兩個(gè)不等量正電荷間電場(chǎng)線的分布可能是圖15所示的情形，圖中b點(diǎn)并不在所畫的電場(chǎng)線上，參考圖12可近似認(rèn)為b點(diǎn)附近的小段圓弧為等勢(shì)線。因此，b點(diǎn)電勢(shì)低于c點(diǎn)；如圖14，負(fù)的試探電荷由a點(diǎn)移送到b點(diǎn)，電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增加，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；同理，負(fù)的試探電荷由c點(diǎn)移送到d點(diǎn)電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增加。BD選項(xiàng)正確。

圖14 電場(chǎng)線分布的一種可能情形

圖15 電場(chǎng)線分布的另一種可能情形

【例8】a、b是x軸上兩個(gè)點(diǎn)電荷，電荷量分別為q1和q2，沿x軸a、b之間各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電勢(shì)高低如圖16所示，a、P間距離大于P、b間距離，由圖示可以判斷以下說法正確的是

( )

圖16

A.a和b均為負(fù)電荷，且q1一定大于q2

B.電勢(shì)最低的P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為零

C.將一負(fù)的試探電荷從b處移到P處，電荷電勢(shì)能增加

D.a、b間的場(chǎng)強(qiáng)先減小后增大

【點(diǎn)評(píng)】例7、例8描述的是不等量雙點(diǎn)電荷(正電荷)電場(chǎng)的有關(guān)信息。例7要求根據(jù)已知條件畫出兩電荷之間的電場(chǎng)線，參考圖12，若電荷在電場(chǎng)中某點(diǎn)所受電場(chǎng)力為零，則場(chǎng)強(qiáng)為零，于是可以推理得到該處的電場(chǎng)線出現(xiàn)“拐點(diǎn)”；例8則要求根據(jù)φ-x圖像，畫出雙電荷之間的電場(chǎng)線。正確繪制出不等量雙點(diǎn)電荷(正電荷)電場(chǎng)線是分析問題的關(guān)鍵所在。