高考力學中的四種彈簧類問題分析

甘肅 張金龍 薛 興

彈簧類問題是高中物理中非常典型的變力作用模型，因這類問題過程復雜，涉及的力學規(guī)律多，綜合性強，能全面考查學生的科學思維、實驗探究等物理核心素養(yǎng)，是歷年高考命題的熱點，但大部分學生解決彈簧類問題感覺比較困難，思路不清，甚至無從下手。本文通過典型實例分析牛頓運動定律中的彈簧類問題、功能關系中的彈簧類問題、動量守恒定律中的彈簧類問題和實驗中的彈簧問題，旨在幫助學生深刻剖析力學中彈簧類問題，抓住解題要點，提高備考效率。

一、彈簧類問題命題突破要點

1.彈簧的彈力是一種由彈性形變決定大小和方向的力，在彈性限度內，根據胡克定律可知F彈=kx，當題目中出現(xiàn)彈簧時，要注意彈力的大小和方向時刻要與當時的形變相對應。一般從分析彈簧的形變入手，先確定彈簧原長位置、形變后位置、形變量x與物體空間位置變化的關系后，分析形變所對應的彈力大小和方向，進而分析物體運動狀態(tài)及變化情況。

2.彈簧的形變發(fā)生改變需要時間，瞬間可認為無形變量，彈力不變，彈性勢能不變。F彈=kx中x表示形變量，彈力和彈性勢能為某特定值時，可能對應兩種狀態(tài)(即彈簧伸長或壓縮)，高考經常在此設置題目。

4.彈簧連接物體組成的系統(tǒng)，因彈力為系統(tǒng)的內力，當系統(tǒng)外力合力為零時，系統(tǒng)動量守恒，應用動量守恒定律可快速求解物體的速度，此類問題涉及物體多，過程復雜，常以選擇題或計算題的形式出現(xiàn)，注意抓住臨界狀態(tài)及條件，結合能量守恒定律便可求解。

二、四種彈簧類問題

題型一 牛頓運動定律中的彈簧類問題

1.彈簧彈力的特點：(1)瞬時性。彈力隨形變的變化而變化，彈簧可伸長可壓縮，兩端同時受力，大小相等方向相反；(2)連續(xù)性。彈簧形變量不能突變，約束彈簧的彈力不能突變；(3)對稱性。彈力以原長為對稱，大小相等的彈力對應壓縮和伸長兩種狀態(tài)。

2.此類問題經常伴隨臨界問題。當題目中出現(xiàn)“剛好”“恰好”“正好”，表明過程中存在臨界點；若出現(xiàn)取值范圍、多大距離等詞時表示過程存在“起止點”，這往往對應臨界狀態(tài)；若題目要求“最終加速度”“穩(wěn)定速度”，即求收尾加速度和收尾速度。

【例1】如圖1所示，光滑水平地面上，可視為質點的兩滑塊A、B在水平外力的作用下緊靠在一起壓縮彈簧，彈簧左端固定在墻壁上，此時彈簧的壓縮量為x0，以兩滑塊此時的位置為坐標原點建立如圖1所示的一維坐標系，現(xiàn)將外力突然反向并使B向右做勻加速運動，下列關于外力F、兩滑塊間彈力FN與滑塊B的位移x變化的關系圖像可能正確的是

( )

圖1

A

B

C

D

( )

圖2

B.彈簧恢復原長時物塊a、b恰好分離

【小結】準確理解胡克定律F=kx中各物理量的含義，注意x為形變量(伸長量或縮短量)，分析彈力一般從形變量入手，抓住彈力與物體位置或位置變化的對應關系，對物體進行受力分析，結合牛頓運動定律確定物體的運動狀態(tài)或各物理量隨位置坐標的變化情況。

題型二 功能關系中的彈簧類問題

1.題型特點：由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般有重力和彈簧彈力做功，這時系統(tǒng)的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化機械能守恒，注意應用功能關系或機械能守恒定律進行求解。

2.注意三點：(1)對同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量決定，與彈簧伸長或壓縮無關；(2)物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關；(3)如果系統(tǒng)中兩個物體除彈簧彈力外所受合外力為零，則彈簧形變量最大時兩物體速度相同。

【例2】如圖3所示，B、C兩小球由繞過光滑定滑輪的細線相連，C球放在固定的光滑斜面上，A、B兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質彈簧相連，A球放在水平地面上?，F(xiàn)用手控制住C球，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側細線豎直、右側細線與斜面平行。已知C球的質量為4m，A、B兩小球的質量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計。開始時整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)；釋放C球后，B球的速度最大時，A球恰好離開地面，求：

(1)斜面的傾角α；

(2)球C球獲得的最大速度vm。

【解析】(1)B球速度達到最大時，B球、C球加速度為零，A恰好離開地面，設彈簧伸長量為xA，對A球，kxA=mg，對B球，F(xiàn)線-mg-kxA=0，對C球，4mgsinα-F線=0，聯(lián)立解得α=30°。

題型三 動量守恒定律中的彈簧類問題

1.題型特點：兩個(或兩個以上)物體與彈簧組成的系統(tǒng)在相互作用過程中，若系統(tǒng)不受外力或所受合外力為零，則系統(tǒng)的動量守恒；同時，除彈簧彈力以外的力不做功，則系統(tǒng)的機械能守恒。

2.注意三點：(1)此類問題一般涉及多個過程，注意把相互作用過程劃分為多個依次進行的子過程，分析確定哪些子過程動量或機械能守恒，哪些子過程動量或機械能不守恒；(2)對某個子過程列動量守恒和能量守恒方程時，初末狀態(tài)的動量和能量表達式要對應；(3)一個常見的臨界狀態(tài)，即當彈簧最長或最短時，彈性勢能最大，彈簧兩端物體速度相等。

【例3】如圖4甲所示，一輕彈簧的兩端分別與質量為m1和m2的兩物塊相連，靜止在光滑水平地面上，某瞬間物塊m1獲得水平向右的速度v0，從此時刻開始計時，兩物塊的速度隨時間變化的規(guī)律如圖4乙所示，則下列判斷正確的是

( )

甲

A.t1時刻彈簧長度最短

B.在t1～t3時間內，彈簧處于壓縮狀態(tài)

C.在0～t2時間內，彈簧對物塊m1沖量的大小為m1(v0-v3)

D.物塊m1、物塊m2的動量滿足m1v0=(m1+m2)v2=m2v1-m1v3

【解析】物塊m1獲得速度v0，開始壓縮彈簧，物塊m1減速，物塊m2加速，t1時刻二者速度相等，系統(tǒng)動能最小，彈性勢能最大，彈簧被壓縮至最短，然后物塊m2加速，物塊m1先減速為零然后反向加速，t2時刻，彈簧恢復原長狀態(tài)，此時兩物塊速度方向相反，因此彈簧的長度將逐漸增大，兩物塊均減速運動，t3時刻，兩物塊速度相等，系統(tǒng)動能最小，彈性勢能最大，彈簧伸長量最大，因此從t2到t3過程中彈簧處于伸長狀態(tài)，故A選項正確，B選項錯誤；在0～t2時間內，根據動量定理得彈簧對物塊m1的沖量為I=Δp=m1(-v3)-m1v0=-m1(v3+v0)，故C選項錯誤；在0～t1和0～t2時間內，將彈簧和兩物塊看為整體，合外力為零，動量守恒，有m1v0=(m1+m2)v2=m2v1-m1v3，故D選項正確。

【變式訓練2】如圖5所示，三個小木塊A、B、C靜止在足夠長的光滑水平軌道上，質量分別為mA=0.1 kg，mB=0.1 kg，mC=0.3 kg，其中B與C用一個輕彈簧固定連接。開始時整個裝置處于靜止狀態(tài)，A和B之間有少許塑膠炸藥(質量不計)，現(xiàn)引爆塑膠炸藥，若炸藥爆炸產生的能量有E=0.4 J轉化為A和B沿軌道方向的動能。爆炸時間極短，求：

圖5

(1)爆炸后瞬間A、B的速度大??；

(2)彈簧彈性勢能的最大值；

(3)彈簧恢復到原長時B、C的速度大小。

【解析】(1)炸藥爆炸前后以A、B為系統(tǒng)分析，根據動量守恒定律可知mBvB-mAvA=0

代入數(shù)據解得vA=vB=2 m/s

【小結】彈簧與它兩端連接的物體彈力大小始終相等且方向相反，當系統(tǒng)不受其他外力時，運用動量守恒定律不用考慮過程中彈力如何變化，解決此類問題體現(xiàn)出極強的優(yōu)越性，分析此類問題注意分解過程、抓住臨界狀態(tài)，結合機械能守恒定律進行求解，因選修3-5已調整為必考內容，所以，動量守恒定律中的彈簧類問題也應引起足夠的重視。

題型四 實驗中的彈簧類問題

實驗中的彈簧類問題涉及的實驗是“探究彈簧彈力與彈簧伸長量的關系”，即胡克定律F=kx。力F的測量要注意彈簧豎直且處于平衡狀態(tài)，x的測量要注意不能超過彈性限度，用測量總長度減去彈簧原長，不能直接測量形變量，否則會增大誤差。胡克定律還可表述為ΔF=kΔx，根據此式即使不測量彈簧的原長也可求勁度系數(shù)，通常以彈力F為縱坐標，彈簧長度或伸長量x為橫坐標，通過圖像斜率求勁度系數(shù)。

【例4】某實驗小組探究彈簧的勁度系數(shù)k與其長度(圈數(shù))的關系。實驗裝置如圖6所示：一均勻長彈簧豎直懸掛，7個指針P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分別固定在彈簧上距懸點0、10、20、30、40、50、60圈處；通過旁邊豎直放置的刻度尺，可以讀出指針的位置，P0指向零刻線。設彈簧下端未掛重物時，各指針的位置記為x0；掛有質量為0.100 kg的砝碼時，各指針的位置記為x。測量結果及部分計算結果如表所示(n為彈簧的圈數(shù)，取重力加速度為9.8 m/s2)。已知實驗所用彈簧總圈數(shù)為60，整個彈簧的自由長度為11.88 cm。

圖6

P1P2P3P4P5P6x0(cm)2.044.066.068.0510.0312.01x(cm)2.645.267.8110.3012.9315.41n102030405060k(N/m)163①56.043.633.828.81/k(m/N)0.0 061②0.0 1790.0 2290.0 2960.0 347

(1)將表中數(shù)據補充完整：①________，②________。

圖7

(3)圖7中畫出的直線可近似認為通過原點，若從實驗中所用的彈簧截取圈數(shù)為n的一段彈簧，該彈簧的勁度系數(shù)k與其圈數(shù)n的關系的表達式為k=________N/m；該彈簧的勁度系數(shù)k與其自由長度l0(單位為m)的關系的表達式為k=________N/m。

圖8

三、結語

彈簧因它的彈力、彈性勢能與形變量之間有獨特的關系，牛頓運動定律、機械能守恒定律及動量守恒定律等力學核心內容均可以以彈簧為載體進行考查，試題綜合性強，難度大，能全面考查學生邏輯思維能力和運用數(shù)學知識解決物理問題的能力，備受命題專家的青睞，所以，備考當中應引起足夠的重視。