初中生數(shù)學(xué)歸納推理水平的劃分標(biāo)準(zhǔn)

白杰

【摘要】數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要?dú)w納推理，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求下，培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，這就要求數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理水平有所區(qū)分，以便更好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理能力。為此，本文結(jié)合歸納推理的相關(guān)知識(shí)以及SOLO分類理論，對(duì)初中生數(shù)學(xué)歸納推理水平的進(jìn)行了劃分。

【關(guān)鍵詞】SOLO分類理論;歸納推理;數(shù)學(xué)歸納推理水平

一、歸納推理現(xiàn)狀分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“推理能力”闡述中指出：推理能力的發(fā)展應(yīng)融入每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)的基本思維方式是推理，推理主要包括合情推理（歸納、類比）和演繹推理，其中合情推理（歸納、類比）可以用來探索思路發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理可以用來證明結(jié)論的正確性。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)之一是培養(yǎng)學(xué)生的“創(chuàng)新意識(shí)”，應(yīng)貫穿在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中，學(xué)生通過歸納概括提出猜想和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并對(duì)提出的猜想和發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。新課程改革以來，學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理能力的發(fā)展受到越來越多的關(guān)注，但是如何對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理水平做出有效的評(píng)價(jià)，一直是廣大教育工作者關(guān)心的問題。為了使對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理水平的評(píng)價(jià)具有可操作性，本文依據(jù)數(shù)學(xué)歸納推理的特點(diǎn)和SOLO分類理論初步制定了數(shù)學(xué)歸納推理水平的劃分標(biāo)準(zhǔn)。

二、研究歸納推理水平的意義

第一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展需要?dú)w納推理。數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來更像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。我們可以發(fā)現(xiàn)“正是由于合情推理中的歸納推理是從個(gè)別事實(shí)中看到真理的端倪、受到啟發(fā)，提出假說和猜想，因此合情推理中的歸納推理才成為一種重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方法，成為合情推理中的重要方法”。我們也可以發(fā)現(xiàn)“許多數(shù)學(xué)史上的成就，都是由于數(shù)學(xué)家運(yùn)用了自己的經(jīng)驗(yàn)歸納，憑觀察、猜測大膽的提出問題，并最終給出了巧妙地證明”。歸納推理在數(shù)學(xué)以外的自然科學(xué)或社會(huì)科學(xué)及日常生活中的運(yùn)用是習(xí)以為常的事，但它在數(shù)學(xué)中的作用往往被忽視了，這對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展不僅不利，而且是極其危險(xiǎn)的，并且也不可避免的波及到其他各個(gè)領(lǐng)域。從以上論述中，我們可以看出數(shù)學(xué)自身的發(fā)展需要?dú)w納推理。

第二，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要?dú)w納推理。培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是當(dāng)前教育的重中之重，在課程改革的進(jìn)程中，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）把“推理能力”與“創(chuàng)新意識(shí)”作為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成部分;《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》把“抽象能力”以及“數(shù)據(jù)分析與知識(shí)獲取能力”作為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面。由于學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理水平的提高有利于發(fā)展學(xué)生的“推理能力”，有利于增強(qiáng)學(xué)生的“創(chuàng)新意識(shí)”，有利于學(xué)生“抽象能力”以及“數(shù)據(jù)分析與知識(shí)獲取能力”的提高。所以，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要?dú)w納推理。

第三，教師的高效教學(xué)需要?dú)w納推理?！叭裟馨褮w納推理的基本思想有限度地、有選擇地、分層次地向?qū)W生予以滲透，則可以提前發(fā)揮其在培養(yǎng)學(xué)生推理、判斷、猜想、發(fā)現(xiàn)等方面的作用，借以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，這不僅可以促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，還可以促進(jìn)對(duì)其他學(xué)科的學(xué)習(xí)。”倘若教師能夠把歸納推理的思想方法向?qū)W生滲透，去引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，對(duì)于提高教師的教學(xué)效果想必會(huì)有莫大的幫助，其帶來的結(jié)果或許令我們驚喜。所以，教師的高效教學(xué)需要?dú)w納推理。

三、相關(guān)概念的界定

1.歸納

楊世明在《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)》一書中提出：“歸納是由個(gè)別的事例向關(guān)于這一類事物的一般性的過渡，是一種對(duì)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行去粗取精，去偽存真的綜合處理方法?！眲⒃普略凇稊?shù)學(xué)直覺與發(fā)現(xiàn)》一書中談到：“從特殊認(rèn)識(shí)一般的推理方法叫歸納。”筆者認(rèn)為歸納主要指：人們把對(duì)事物個(gè)別屬性的認(rèn)識(shí)提高到對(duì)事物一般性的認(rèn)識(shí)，并就其規(guī)律進(jìn)行探索，其中伴隨著對(duì)事物的觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、概括、總結(jié)等的一種處理方法。

2.歸納推理

針對(duì)歸納推理概念的界定，國內(nèi)學(xué)者做過很多研究，熊惠民從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度指出：“歸納推理，又稱歸納法，指的是以個(gè)別事實(shí)為前提，以一般性命題為結(jié)論的推理?！卞Х狡綇男睦韺W(xué)角度指出：“由感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)的過程就是歸納法。”金岳霖從邏輯學(xué)的角度指出：“由個(gè)別的事物或現(xiàn)象推出該類事物或現(xiàn)象的推理叫歸納推理。”

3.數(shù)學(xué)歸納推理

數(shù)學(xué)中的歸納推理它遵循如下的基本推理規(guī)則：

其中S1，S2，…… Sn，是類的對(duì)象或子類。

根據(jù)推理前提中是否考察了某類事物的全部對(duì)象，歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理，完全歸納推理可以作為嚴(yán)格證明的工具，而不完全歸納推理的前提和結(jié)論之間只有或然的聯(lián)系。因此，合情推理意義下的歸納推理主要指的是不完全歸納推理。

4.SOLO分類理論

SOLO分類理論原意為“可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果結(jié)構(gòu)”，它是一種以等級(jí)描述為特征的“質(zhì)性”評(píng)價(jià)方法。比格斯等人在20世紀(jì)80年代根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段學(xué)說，以英語、數(shù)學(xué)、語言等學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)資料作為依據(jù)，提出了SOLO分類理論。? ?SOLO分類理論認(rèn)為學(xué)生對(duì)某個(gè)問題的反應(yīng)水平從低到高分為5個(gè)層次：（1）前結(jié)構(gòu)水平（Prestructural Level）：學(xué)生對(duì)問題基本沒有理解;（2）單一結(jié)構(gòu)水平（Unistructural Level）：學(xué)生對(duì)問題有了一點(diǎn)理解，只是對(duì)問題略知一二;（3）多元結(jié)構(gòu)水平（Multistructural Level）：學(xué)生對(duì)問題有了更加全面的理解， 但仍不全面;（4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平（Relational Level）：學(xué)生對(duì)問題有了整體的把握，并能獨(dú)立解決問題;（5）拓展抽象結(jié)構(gòu)水平（Extended Abstract Level）：學(xué)生對(duì)問題不僅從總體上能夠解決，而且還能抽象概括出問題的一般規(guī)律，使之在新的情境中加以運(yùn)用。

四、SOLO分類理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)歸納推理水平的劃分標(biāo)準(zhǔn)

運(yùn)用SOLO分類理論，筆者對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理水平劃分如下：P水平：學(xué)生基本無法理解給定的問題或情境，只能提供一些沒有理論支撐的發(fā)現(xiàn)和結(jié)論。U水平：學(xué)生能夠通過觀察或簡單的計(jì)算找出問題的答案，或者由給定的情境解決顯而易見的問題。M水平：學(xué)生能夠通過觀察、比較、分析、聯(lián)想等方法解決問題，能夠從解決問題中發(fā)現(xiàn)問題的屬性，但不能掌握問題的一般解決辦法，不能把握問題的整體屬性。R水平：學(xué)生能夠通過觀察、比較、分析、聯(lián)想等方法解決問題，能夠從解決問題中發(fā)現(xiàn)問題的屬性，并且對(duì)問題也有統(tǒng)一的解決辦法，能夠理解給定的情境結(jié)構(gòu)，對(duì)問題的整體屬性有深刻的認(rèn)識(shí)。E水平：學(xué)生能夠通過觀察、比較、分析、聯(lián)想等方法概括或抽象出問題的一般規(guī)律，得到解決問題的一般化方法，提出合理的猜想，使給定情境的意義得到拓展，從中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。

P、U、M、R、E五個(gè)水平分別對(duì)應(yīng)SOLO分類理論的五個(gè)結(jié)構(gòu)水平（前結(jié)構(gòu)水平、單一結(jié)構(gòu)水平、多元結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平、拓展抽象結(jié)構(gòu)水平），根據(jù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納推理層次遞進(jìn)式問題的解決情況，學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理水平的思維水平也會(huì)表現(xiàn)出不同的層次。

參考文獻(xiàn)：

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