網(wǎng)絡(luò)擁塞控制模型Hopf分岔的PD控制

侯 萍

(南京郵電大學(xué) 管理學(xué)院，江蘇 南京 210003)

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)服務(wù)質(zhì)量是網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用的重要保障。對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動力學(xué)特性的研究具有現(xiàn)實意義[1-7]。網(wǎng)絡(luò)擁塞控制算法的主要目的是維持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使信息流趨于特定的穩(wěn)定值，力求最大的鏈路容量利用率[8]。一般來說，系統(tǒng)穩(wěn)定性的喪失隨之而來的是阻礙通信發(fā)展和鏈路容量的浪費，其中分岔行為可能引起振蕩，誘發(fā)網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定，所以需要控制分岔。文獻(xiàn)[9]討論了一種利用狀態(tài)反饋控制器對網(wǎng)絡(luò)擁塞控制系統(tǒng)的流體流模型進(jìn)行Hopf分岔控制的問題。在狀態(tài)反饋控制下，Hopf分岔的發(fā)生被成功地延遲，從而使穩(wěn)定域得以擴(kuò)展，通過調(diào)整控制器的線性部分和非線性部分的參數(shù)來確定分岔周期解的性質(zhì)。文獻(xiàn)[10]研究了由非線性延遲微分方程控制的無線接入網(wǎng)絡(luò)的Hopf分岔分析，如果延遲超過臨界值，閉環(huán)系統(tǒng)將不會保持穩(wěn)定，并且發(fā)生Hopf分岔，應(yīng)用積分滑模控制作為非線性魯棒主動隊列管理控制器來阻止網(wǎng)絡(luò)擁塞。文獻(xiàn)[11]為了控制不理想的Hopf分岔，提出了一種混合控制策略,通過線性穩(wěn)定性分析，表明適當(dāng)調(diào)整混合控制策略的控制參數(shù)，可以在不改變系統(tǒng)平衡點的情況下延遲甚至完全消除Hopf分岔。文獻(xiàn)[12]提出了一種具有參數(shù)時滯的反饋控制方法，用于控制時滯分?jǐn)?shù)階雙擁塞模型的分岔控制。利用參數(shù)時滯反饋控制器可以大大提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但在沒有控制器的情況下，Hopf分岔會提前產(chǎn)生。

該文針對用于無線網(wǎng)絡(luò)擁塞控制算法設(shè)計的TCP Westwood/AQM流體流模型進(jìn)行穩(wěn)定性和Hopf分岔分析，應(yīng)用中心流形和規(guī)范型理論確定Hopf分岔周期解的方向和穩(wěn)定性，并應(yīng)用PD控制器控制Hopf分岔，最后給出數(shù)值實例及仿真證明算法的有效性。

1 TCP Westwood/AQM擁塞控制系統(tǒng)的Hopf分岔

通常在通信網(wǎng)絡(luò)的傳輸層中實現(xiàn)的傳輸控制協(xié)議(TCP)可以檢測其發(fā)生后的擁塞。但是，由于時變衰落和分組錯誤率，在具有無線接入鏈路的網(wǎng)絡(luò)中，擁塞控制可能更加有挑戰(zhàn)。

TCP Westwood是專門為高速無線網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的，完全符合高速無線網(wǎng)絡(luò)的特點，大大提高了網(wǎng)絡(luò)帶寬的利用率，改善了網(wǎng)絡(luò)性能。同時使用健壯的主動隊列管理來防止擁塞，并對無線環(huán)境的嚴(yán)重干擾具有一定的容忍度。

文獻(xiàn)[13-14]提出了源端采用TCP Westwood擁塞控制協(xié)議，路由器端采用隨機(jī)早期檢測算法(RED)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的流體流模型，在這里假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中僅有一條單鏈路，并且所有的TCP連接都遵循TCP Westwood擁塞控制協(xié)議。為控制Hopf分岔來實現(xiàn)一些預(yù)期的動力學(xué)行為，引入帶有一個輸入e(t)和一個輸出u(t)的PD控制器，表示如下：

(1)

其中，輸出偏差信號定義為e(t)=p(t)-p*，kp，kd分別為比例控制參數(shù)和微分控制參數(shù)。

因此，帶有通信時延的受控?fù)砣刂颇Ｐ蚚15]如下：

(2)

系統(tǒng)式(2)在平衡點處線性化，得到：

(3)

其中，y1(t)=W(t)-W0，y2(t)=q(t)-q0。

式(3)的特征方程為：

λ2+mλ+ne-λR=0

(4)

令特征根λ=±iω0,其中ω0>0，代入特征方程式(4)，虛部實部分開，則有：

(5)

從中可以看出ω0R0<π/2。

引理1：當(dāng)往返時間R=R0時，特征方程式(4)有唯一一對純虛根λ=±iω0，且ω0R0<π/2。

引理2[17]：對于特征方程式(4)，如果令M(R)={λ:Re(λ)≥0,Q(λ,R)=0}，該式表示使得特征方程Q(λ,R)=0具有非負(fù)實部的特征根的個數(shù)，設(shè)R2>R1≥0，如果對于任意的往返時間R∈[R1,R2],特征方程在虛軸上沒有解，則M(R1)=M(R2)。

引理3：當(dāng)R

證明：當(dāng)R=0時，特征方程為Q(λ,0)=λ2+mλ+n=0。又因為m>0,n>0，所以Q(λ,0)=0的特征根都有負(fù)實部，得到M(0)=0。從上面的分析得到當(dāng)往返時間R

引理4：當(dāng)往返時間R=R0，特征方程式(4)除了有一對純虛根是±iω0外，其他的根都具有嚴(yán)格的負(fù)實部。

引理6：當(dāng)往返時間R=R0，特征方程式(4)至少有一個根具有嚴(yán)格正實部。

基于上述引理分析特征方程的特征根的分布區(qū)域，應(yīng)用文獻(xiàn)[18]中的有限時滯微分方程的Hopf分岔定理得到具有PD控制器的擁塞控制系統(tǒng)式(2)的分岔定理，如下所示：

定理1：對于帶有通信時延的添加PD控制器的擁塞控制模型式(2)有如下結(jié)論：

(1)當(dāng)往返時間R

(2)當(dāng)往返時間R>R0，擁塞控制系統(tǒng)式(2)在平衡點(W0,q0)不穩(wěn)定；

(3)當(dāng)往返時間R=R0，擁塞控制系統(tǒng)式(2)在平衡點(W0,q0)產(chǎn)生Hopf分岔，出現(xiàn)周期解。

2 Hopf分岔的方向和Hopf分岔周期解穩(wěn)定性

對已線性化的式(3)在平衡點進(jìn)行泰勒展開，結(jié)果如下：

(6)

設(shè)R=R0+υ,u(t)=(y1(t),y2(t))T,ut(θ)=u(t+θ),θ∈[-R,0]Ck[-R,0]，初始條件φ(θ)=(φ1(θ),φ2(θ))T∈C[-R,0]，則式(6)表述如下：

(7)

Lυφ=G1φ(0)+G2φ(-R)

(8)

F(φ,υ)=

(9)

將式(7)轉(zhuǎn)換為下述形式：

(10)

對于φ(θ)∈C[-R,0]，令：

(11)

(12)

令q(θ)是A(0)對應(yīng)于λ(0)的特征函數(shù)，即A(0)q(θ)=iω0q(θ)。

對于ψ∈C[0,R]，定義伴隨算子為A*(0)：

<ψ,Aφ>=,對于φ=Dom(A),ψ=Dom(A*)。

則有如下引理：

下面計算υ=0時中心流形C0的坐標(biāo)，該文采用同文獻(xiàn)[20]Hassard同樣的表示。對于ut當(dāng)υ=0時，式(10)的解定義為：

j(t)=

(13)

W(t,θ)=ut-jq+jq=ut=2Re{j(t)q(θ)}

(14)

(15)

對于式(10)的解ut∈C0,根據(jù)式(11)～式(13)，由于υ=0得：

(16)

(17)

…

(18)

(19)

(20)

(21)

在C0上，

(22)

將式(15)、式(17)代入式(22)得：

(23)

對照式(21)、式(23)系數(shù)，得：

(24)

因此，得到：

很明顯，

K1=m13+m14ρ1e-iω0R0

與式(18)比較系數(shù)：

為了得到式中的g21，還需要計算出W11(θ)和W20(θ)的值，其中θ∈[-R,0)。根據(jù)前面已經(jīng)得到的式(19)，(20)，對于θ∈[-R,0)有：

上式跟式(18)比較系數(shù)，得：

根據(jù)式(24)得：

解方程得：

同理得：

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，最后得到：

(25)

利用前面得到的公式，給出下面的定理：

定理2：對于具有PD控制器的擁塞控制系統(tǒng)式(2)，當(dāng)R=R0時，Hopf分岔的方向和周期解的穩(wěn)定性由式(25)和下述結(jié)果決定：

(1)Hopf分岔方向由υ2決定。如果υ2>0，則Hopf分岔是超臨界的，當(dāng)R>R0時系統(tǒng)有周期解。如果υ2<0，則Hopf分岔是亞臨界的，當(dāng)R

(2)Hopf分岔周期解的穩(wěn)定性由β2決定。如果β2<0，則系統(tǒng)周期解的軌跡是穩(wěn)定的；如果β2>0，則系統(tǒng)周期解的軌跡是不穩(wěn)定的。

(3)系統(tǒng)Hopf分岔周期解的周期由T2決定。如果T2>0，則周期解是增加的；如果T2<0，則系統(tǒng)周期解減少。

3 數(shù)值仿真

選取與文獻(xiàn)[14，21]中相同的參數(shù)，即N=50，K=0.001，C=1 000，Tp=0.3。當(dāng)R=0.344時，R0=0.3430)，分岔周期解是穩(wěn)定的(β2=-0.011 5<0)，分岔周期解的周期是逐漸減小的(T2=-0.079 1<0)。如圖1所示，在沒有加入PD控制器的情況下，原系統(tǒng)已經(jīng)失去穩(wěn)定性，發(fā)生Hopf分岔。

圖1 R=0.344時無控系統(tǒng)的波形

為了推遲Hopf分岔的發(fā)生，加入PD控制器，設(shè)置比例和微分參數(shù)展示控制效果。當(dāng)R=0.344，kp=-0.5,kd=-0.5，仿真圖2表明系統(tǒng)出現(xiàn)周期解，是穩(wěn)定的。

圖2 R=0.344,kp=-0.5,kd=-0.5時PD控制系統(tǒng)的波形

4 結(jié)束語

為了彌補TCP協(xié)議在無線接入鏈路網(wǎng)絡(luò)的局限性，引入應(yīng)用于高速無線網(wǎng)絡(luò)，完全符合高速無線網(wǎng)絡(luò)特點的TCP Westwood協(xié)議的一種網(wǎng)絡(luò)擁塞控制系統(tǒng)模型，即TCP Westwood/AQM網(wǎng)絡(luò)的連續(xù)流體流模型，通過選擇通信延遲作為分岔參數(shù)，分析無線網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的Hopf分岔行為，當(dāng)通信時延超過臨界值時，系統(tǒng)會產(chǎn)生Hopf分岔現(xiàn)象。為了延遲Hopf的發(fā)生，引入PD控制器，利用中心流形定理和規(guī)范型理論，推導(dǎo)得出系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的條件和反映Hopf分岔性質(zhì)，方向和周期的參數(shù)數(shù)值，MATLAB仿真證明PD控制器能有效控制分岔，驗證了理論分析的正確性。