基于模糊評價(jià)樹的中藥材定級估價(jià)模型

雷立, 魚先鋒

(1.商洛職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共基礎(chǔ)部， 陜西 商洛 726000； 2.商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院， 陜西 商洛 726000)

0 引言

中藥材質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是中藥材產(chǎn)、供、銷、儲、用和監(jiān)督管理過程中的基本準(zhǔn)則和法定依據(jù)[1]. 由最早記載的《神農(nóng)本草經(jīng)》和《雷公炮制論》，到《本草綱目》，新中國成立后，1959 年頒布了《36 種藥材商品規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)》、1964 年頒布了《54種藥材商規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)》、1984 年部頒布《七十六種藥材商品規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)》，再到2015年的《中國藥典》. 經(jīng)過不斷的研究和完善，為中藥材能安全有效的使用奠定了基礎(chǔ)[2]. 中藥材安全有效與臨床療效相統(tǒng)一是中藥材質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)化的前提，而標(biāo)準(zhǔn)和法規(guī)的一致性也有利于中藥材的國際化發(fā)展[3]. 因此，根據(jù)國際市場需求和現(xiàn)有基礎(chǔ)，建立合理有效的中藥材質(zhì)量評價(jià)方法，形成適應(yīng)中藥材特點(diǎn)的現(xiàn)代化中藥材質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)顯得尤為重要. 總體來看，中藥材商品規(guī)格等級標(biāo)準(zhǔn)研究工作相對緩慢，還處于摸索探究階段，缺少科學(xué)的研究模式. 就文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)已制定的中藥材商品規(guī)格等級標(biāo)準(zhǔn)只有川芎[4]、陽春砂[5]、厚樸[6]、金銀花[7]、大黃[8]、太子參[9]6 個(gè)品種，而其他中藥材均未形成適應(yīng)當(dāng)前產(chǎn)地和市場需求的規(guī)格等級標(biāo)準(zhǔn), 且這些標(biāo)準(zhǔn)都是文件形式的并沒有實(shí)現(xiàn)中藥材定級估價(jià)的智能化、自動化。

中藥材外觀大小、色澤、質(zhì)地等 感官特征對評價(jià)藥材優(yōu)劣是最直觀和重要的。尤其是在制定商品規(guī)格等級標(biāo)準(zhǔn)中，傳統(tǒng)的感官評價(jià)方法大多是主觀描述性指標(biāo)，這種指標(biāo)準(zhǔn)確性相對較差、經(jīng)驗(yàn)傳承困難、評判結(jié) 果重現(xiàn)性差，而量化指標(biāo)對于市場商品藥材流通來說，直觀、 方便、具體，又易于理解。感官評價(jià)包括定性與定量信息，化學(xué)評價(jià)一般是定量信息。因此，感官評價(jià)與化學(xué)評價(jià)相結(jié)合是當(dāng)前中藥材商品規(guī)格等級標(biāo)準(zhǔn)研究的重點(diǎn)。

模糊集[10]理論和直覺模糊集理論[11]，是結(jié)合定量與定性信息的一種強(qiáng)大建模工具。筆者將其應(yīng)用在模糊評價(jià)評價(jià)、模糊控制等領(lǐng)域已經(jīng)取得眾多的理論和應(yīng)用成果[12-20]。文章將基于模糊理論建立了一個(gè)模糊評價(jià)樹模型； 用節(jié)點(diǎn)刻畫評價(jià)指標(biāo)記錄評價(jià)數(shù)據(jù)，用樹上的邊記錄評價(jià)權(quán)重；并在節(jié)點(diǎn)和邊上定義合理的模糊評價(jià)算子，進(jìn)行多級綜合評價(jià)對中藥材定級估價(jià)。評價(jià)過程考慮定性與定量信息，更加客觀自然且自動化程度高； 評價(jià)結(jié)果科學(xué)合理且信息量大。討論了該模型的計(jì)算復(fù)雜度。

1 模糊評價(jià)樹模型

先介紹模糊數(shù)學(xué)和模糊評價(jià)的幾個(gè)基本概念。

定義1：模糊集[20]

集合X上的模糊集合(Fuzzy set)是一個(gè)映射A:X→[0,1], 也稱為模糊集合X的隸屬函數(shù), 常記為μA，?x∈X,μA(x)稱為x屬于模糊集A的隸屬度。

定義2:模糊權(quán)重[14]

定義3:模糊評價(jià)算子

設(shè)在某一級模糊評價(jià)中有n個(gè)評價(jià)指標(biāo)，評價(jià)數(shù)據(jù)是模糊向量R=(r1,r2,…rn)，?ri∈R,ri∈[0,1]為評價(jià)對象對第i個(gè)指標(biāo)的隸屬度；對應(yīng)模糊權(quán)重為模糊向量W=(w1,w2,…,wn)，?wi∈W,wi∈[0,1]，則評價(jià)函數(shù)定義，如式(1)。

(1)

現(xiàn)在約定一些符號。若綜合評價(jià)有m級，m∈N，評價(jià)等級標(biāo)號之集(Grade Order Set)記為GOS={1,2,…,m}。實(shí)際上?i∈GOS將用來表示評價(jià)樹中的節(jié)點(diǎn)在樹中的層數(shù)。在某一級模糊評價(jià)中有n個(gè)評價(jià)指標(biāo)，n∈N+，評價(jià)指標(biāo)標(biāo)號之集(Index Order Set)記為IOS={1,2,…,n}。

定義4:模糊定級估價(jià)樹

模糊定級估價(jià)樹模型( Fuzzy grading evaluation tree model) FGET是一個(gè)4元組,如式(2)。

FEGT=(ODN,EGN,EPN,E)

(2)

式中,ODN表示葉子節(jié)點(diǎn)之集，記錄初級評價(jià)數(shù)據(jù)，EGN為中間內(nèi)部節(jié)點(diǎn)記錄評價(jià)數(shù)據(jù)，EPN為根節(jié)點(diǎn)，記錄估價(jià)結(jié)果。E為邊集，刻畫模糊評價(jià)函數(shù)。模糊定級估價(jià)樹的框架示意圖，如圖1所示。

圖1 模糊評價(jià)樹框架示意圖

在圖1中用圓圈表示葉子結(jié)點(diǎn)ODN，用矩形表示內(nèi)部節(jié)點(diǎn)EGN，用圓矩形表示根節(jié)點(diǎn)EPN,用箭頭代表邊集E。

FGET中各種節(jié)點(diǎn)和邊具體定義如下。

定義5：葉子節(jié)點(diǎn)

葉子結(jié)點(diǎn)(Original Date Node )是一個(gè)3元組ODN=(GC,OD,EO)，其中:

(1) GC=(c1,c2,…,cn)為n個(gè)評價(jià)指標(biāo)的標(biāo)簽或特征值；

(2) OD=(o1,o2,…,on)為n個(gè)評價(jià)指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)；

(3) 模糊函數(shù)EO:GC→[0,1]OD將每一個(gè)指標(biāo)ci的原始評價(jià)數(shù)據(jù)oi模糊化得到葉子層評價(jià)數(shù)據(jù)eoi∈EO∈ODN。

定義6：內(nèi)部節(jié)點(diǎn)

內(nèi)部節(jié)點(diǎn)為中間評價(jià)節(jié)點(diǎn)(Evaluation Node for Grade)是一個(gè)3元組EGN=(EGNC,WG,GC,EG)遞歸定義如下。

(1) 記EGN[i]∈EGN,i∈GOS為評價(jià)樹中一個(gè)第i級評價(jià)節(jié)點(diǎn)；則EGNC[i]為EGN[i]的子節(jié)點(diǎn)之集遞歸定義,如式(3)。

EGNC[i]={EGN[i+1][j]|j∈IOS}

(3)

其中,EGN[i+1][j]表示EGN[i]的第j個(gè)孩子節(jié)點(diǎn)。

(2) WG=(w1,w2,…wn)為n個(gè)評價(jià)指標(biāo)的權(quán)重，?wj∈W,wj∈[0,1]，表示第EGN[i+1][j]個(gè)指標(biāo)對評價(jià)結(jié)果的權(quán)重；

(4) GC=(c1,c2,…cn)為n個(gè)評價(jià)指標(biāo)的標(biāo)簽或特征值，?cj∈GC表示第EGN[i+1][j]個(gè)指標(biāo)的標(biāo)簽或特征值；

(3) 評價(jià)函數(shù)EG為模糊映射,如式(4)。

EG:WG×EGNCT→[0,1]GC

(4)

即EG(EGN[i])=WG·EGNC[i]T這里“·”為定義3定義的模糊評價(jià)算子。

這里是一個(gè)EGNC[i]T是n×m的模糊評價(jià)矩陣，對應(yīng)于指標(biāo)EGN[i]的n個(gè)子節(jié)點(diǎn)也就是n個(gè)子指標(biāo)，每個(gè)桌子指標(biāo)劃分|GC|=m個(gè)評價(jià)等級。EG(EGN[i])是一個(gè)|GC|=m維的模糊向量，為i-1級評價(jià)數(shù)據(jù)滿足正規(guī)性，一般要將EG(EGN[i])做歸一化處理，如式(5)。

EG(EGN[i])[m]/si)

(5)

定義7:定級節(jié)點(diǎn)

一級評價(jià)節(jié)點(diǎn)有且只有一個(gè)，即EGN[1]，該節(jié)點(diǎn)刻畫多級評價(jià)的最終值。

例1.一級節(jié)點(diǎn)在中藥材評價(jià)中將表示被評價(jià)藥材融合多種信息的終級等級或評價(jià)得分。

定義8:根節(jié)點(diǎn)

根節(jié)點(diǎn)為估價(jià)節(jié)點(diǎn)(Evaluation Node for Price )是一個(gè)2元組EPN=(EGN[1],EP)其中，EGN[1]為定級節(jié)點(diǎn)，映射EP:EGN[1]×GC[1]→R+為估價(jià)函數(shù)。一般的計(jì)算品級與其評價(jià)值的加權(quán)平均，如式(6)。

EP(EPN)=EGN[1]·GC[1]T=

(6)

定義9:評價(jià)函數(shù)

評價(jià)函數(shù)集,E={EO,EG,EP}是模糊化函數(shù)EO、模糊評價(jià)函數(shù)EG和估價(jià)函數(shù)EP的集合。

以下定義10和定義11是為了自然的參照經(jīng)典樹理論的術(shù)語描述FGET的性質(zhì)。經(jīng)典樹理論的其他概念像滿k叉樹，完全k叉樹等概念也可以很容易拓展到FGET，而本文不會用到這些概念所以這里不再累述。

定義10:樹高, 層高

設(shè)FGET是一個(gè)模糊定級估價(jià)樹，將要做被評價(jià)對象的m級評價(jià)。定義根節(jié)點(diǎn)EPN所處為層數(shù)為0，記為hight(EPN)=0; 定級節(jié)點(diǎn)EGN[1]所處層數(shù)1，記為，hight(EGN[1])=1; ?EGN[i]∈EGN,i∈GOS為評價(jià)樹中一個(gè)第i級評價(jià)節(jié)點(diǎn)則稱EGN[i]所處的層數(shù)為i，記為hight(EGN[i])=i。 并定義FGET的高度hight(FGET)=m。

定義11:樹杈，子樹

設(shè)FGET是一個(gè)模糊定級估價(jià)樹，?EGN[i]∈EGN,i∈GOS為評價(jià)樹中一個(gè)第i級評價(jià)節(jié)點(diǎn)，則稱以EGN[i]為根節(jié)點(diǎn)的樹記為ST(EGN[i])為FGET的一顆子樹。其葉子節(jié)點(diǎn)之集為EGNC[i]，若|EGNC[i]|=k∈N+則稱EGN[i]節(jié)點(diǎn)分了k叉。進(jìn)一步，若在FGET中FGET有|EGNC[i]|≤n∈N+，則稱FGET為一棵n叉樹。

定理12:FGET的規(guī)模

設(shè),FEGT=(ODN,EGN,EPN,E)是一個(gè)n叉模糊定級估價(jià)樹,hight(FGET)=m。則有如下:

(1) |EPN|=1,|EGN[1]|=1;

(2) |ODN|≤nm-1;

(3) |EGN|≤(nm-1-1)/(n-1);

(4) |E|=|EPN|+|EGN|+|ODN|-1≤(nm-1)/(n-1), 邊數(shù)比節(jié)點(diǎn)數(shù)少1。

證明：用數(shù)學(xué)歸納法在FGET上按層歸納得到各層節(jié)點(diǎn)數(shù)是關(guān)于層數(shù)的等比數(shù)列，公比為n，再用等比數(shù)列求和公式很容易證得定理1中的結(jié)論。

定理13:空間復(fù)雜度

設(shè)，F(xiàn)EGT=(ODN,EGN,EPN,E)是一個(gè)n叉模糊定級估價(jià)樹,hight(FGET)=m。則FGET的節(jié)點(diǎn)數(shù)為，|ODN|+|EGN|+|EPN|邊數(shù)為|E|； FGET的空間復(fù)雜度為O(nm-1)。

證明：將定理12的結(jié)果定理13是顯然的。

定理14:時(shí)間復(fù)雜度

設(shè),FEGT=(ODN,EGN,EPN,E)是一個(gè)n叉模糊定級估價(jià)樹,hight(FGET)=m。則用FGET做定級估價(jià)需要做|E|+|ODN|+|EGN|次運(yùn)算，F(xiàn)GET的時(shí)間復(fù)雜度為O(nm)。

定理15:需要指出的是雖然FGET的計(jì)算復(fù)雜度形式上為樹杈數(shù)n關(guān)于樹高m的指數(shù)形式O(nm)。但慶幸的是現(xiàn)實(shí)中樹高m也就是評價(jià)等級一般比較小，m≤4，最多數(shù)情況是m=3或m=2；所以用FGET做定級估價(jià)是高效的，不會出現(xiàn)狀態(tài)爆炸。

2 評價(jià)實(shí)例

參照《七十六種藥材商品規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)》，和《中國藥典》結(jié)合中藥材貿(mào)易多名專業(yè)人士和知名中醫(yī)專家的經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)特爾斐法建立了表1所示的一個(gè)天麻評價(jià)定級的3級評價(jià)指標(biāo)體系并給出相應(yīng)指標(biāo)權(quán)重。并根據(jù)10位專家對一批天麻的評價(jià)數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 天麻評價(jià)定級指標(biāo)體系與權(quán)重

見表1后面三列評價(jià)等級得票數(shù)，用FGET做定級估價(jià)。需要指出的是表中空白的地方是因?yàn)檫@一級指標(biāo)缺失，比如“形狀”是2級指標(biāo)，沒有分解的3級指標(biāo)；對應(yīng)到FGET上沒有3級分叉。下面用用FGET做次批天麻定級估價(jià)。

(1) 葉子節(jié)點(diǎn)計(jì)算

每一個(gè)3級指標(biāo)對應(yīng)3個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，若沒有3級指標(biāo)則每一個(gè)2級指標(biāo)對應(yīng)3個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)。1組3個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)對應(yīng)1, 2, 3個(gè)等級。例如3級指標(biāo)“長度”(GND[長度])對應(yīng)3個(gè)葉子GNDC[長度]={GNDC[長度][i]|i=1,2,3}

EO(GNDC[長度])=0/1+0.4/2+0.6/3

類似地有:

GNDC[厚度]={GNDC[厚度][i]|i=1,2,3}

EO(GNDC[厚度])=0/1+0.7/2+0.7/3

GNDC[寬度]={GNDC[寬度][i]|i=1,2,3}

EO(GNDC[寬度])=0/1+0.4/2+0.6/3

GNDC[個(gè)重]={GNDC[個(gè)重][i]|i=1,2,3}

EO(GNDC[個(gè)重])=0/1+0.2/2+0.8/3

他葉子結(jié)點(diǎn)如法炮制，不再累述。

(2) 內(nèi)部節(jié)點(diǎn)計(jì)算

由“長度”“寬度”“厚度”“個(gè)重”4個(gè)3級指標(biāo)模糊合成其對應(yīng)的2級指標(biāo)“大小”。權(quán)重為，WG[大小]=(0.223 1,0.247 0,0.231 1,0.298 8)，2級指標(biāo)“大小”的評價(jià)矩陣如下。

“大小”的評價(jià)計(jì)算如下。

EG(WG[大小],EGNC[大小]T)=

(0.0,0.35,0.65)。

此結(jié)果反映了在評鑒專家們認(rèn)為，這一批天麻0.35%的可能為“二等品”，0.65%的可能為“三等品”。

類似的可以求得，

EG(WG[表面特征],EGNC[表面特征]T)=

EG(WG[感官],EGNC[感官]T)=

(0.133 40.237 50.165 60.143 80.203 10.115 6)·

此評價(jià)結(jié)果說明專家認(rèn)為這批天麻“感官”6%的可能為“一等品”，33%的可能為“二等品”，61%的可能為“三等品”。

這是一級評價(jià)結(jié)果說明專家認(rèn)為這批天麻”4%的可能為“一等品”，26%的可能為“二等品”，70%的可能為“三等品”。

(3) 根節(jié)點(diǎn)計(jì)算

在商洛市市場調(diào)研后給出的不同品級天麻收購價(jià)格，現(xiàn)在計(jì)算根節(jié)點(diǎn),如表2所示。

表2 商洛市2020年1月天麻價(jià)格

估價(jià)結(jié)果，EP(EPN)=106.8∈[100,110]?[95,115]，說明這批天麻的理論收購價(jià)格為106.8(元/kg)，建議可以在圍繞在這以價(jià)格的一個(gè)價(jià)格區(qū)間比如100～110或95～115(元/kg)；收購這一批天麻。

3 總結(jié)

基于模糊數(shù)學(xué)理論建立了一個(gè)用于中藥材定級估價(jià)的模糊評價(jià)樹模型(定義4-定義9)； 用節(jié)點(diǎn)刻畫評價(jià)指標(biāo)記錄評價(jià)數(shù)據(jù)(定義5-定義8)，用樹上的邊記錄評價(jià)權(quán)重；并在節(jié)點(diǎn)和邊上定義合理的模糊評價(jià)算子(定義3, 定義9)。討論了該模型的計(jì)算復(fù)雜度(定理12-定理14)。給出了中藥材—天麻定級估價(jià)的一個(gè)實(shí)例，結(jié)果表明該評價(jià)模型客觀高效。

建立的FGET模型評價(jià)過程考慮定性與定量信息，更加客觀自然且自動化程度高；評價(jià)結(jié)果科學(xué)合理且信息量大。不同評價(jià)指標(biāo)建立的不同指標(biāo)體系框架，都可以靈活高效的形式化為一個(gè)FGET，這以模型為實(shí)現(xiàn)中藥材定級估價(jià)的自動化提供了重要的原型支撐。筆者后續(xù)研究工作將考慮將FGET的框架用于其他中藥材定級估價(jià)建模。考慮在FGET的評價(jià)算子中添加其他一些模糊計(jì)算和模糊控制算子，使得擴(kuò)充后的FGET模型可以用來做模糊智能決策和控制，比如用于中醫(yī)對患者病情的智能診斷等。