平面二維數(shù)學(xué)模型在土石壩潰壩洪水演進中的應(yīng)用

曹 偉

（山西省水利發(fā)展中心，山西 太原 030002）

1 概況

莊頭水庫位于山西省長治市壺關(guān)縣晉莊鎮(zhèn)莊頭村南，濁漳南源支流石子河上游，是一座多功能綜合利用的中型水庫，1977年10月建成，控制流域面積119.1 km2，總庫容1 675萬m3。大壩為均質(zhì)土壩，最大壩高44 m，壩頂長300 m，寬5 m。開敞式溢洪道，堰頂高程1 083 m，寬17 m，最大泄量779 m3/s。水庫設(shè)計洪水標(biāo)準(zhǔn)為100年一遇，校核洪水標(biāo)準(zhǔn)為300年一遇。莊頭水庫下游保護區(qū)有兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)六個村莊，20余個企業(yè)及長治市區(qū)。保護耕地300余hm2，大畜1 000余頭及杜家河、河口、閆家河、王家河、壇上等村1 300余間房屋，長平公路、長新鐵路的安全暢通，還保障下游石子河水庫的安全度汛。

2 模型原理與方法

采用土石壩潰壩統(tǒng)一公式，計算潰壩峰頂流量及流量過程線；使用平面二維水動力數(shù)學(xué)模型，對潰壩后洪水的演進過程進行模擬，得出不同潰壩情況下的淹沒范圍及最大淹沒水深。

2.1 模型控制方程

數(shù)學(xué)模型的基本控制方程是二維淺水方程[1，3]：

（1）連續(xù)方程：

（2）運動方程：

式中：h——水深，m；

t——時間，s；

u，v——沿x和y方向的垂線平均流速，m/s；

x，y——橫軸和縱軸坐標(biāo)；

g——重力加速度，9.8 m/s2；

f——柯氏力系數(shù)；

ρ——流體密度，kg/m3；

ρa——參考密度，kg/m3；

cw——風(fēng)的摩阻系數(shù)；

α——風(fēng)速與y軸的夾角

w——實時風(fēng)速，m/s；

Ex、Ey——x，y方向的渦粘系數(shù)，m2/s；

C——謝才（Chezy）系數(shù)；

n——曼寧（Manning）粗糙系數(shù)。

在控制方程的求解過程中，使用有限體積法進行離散，采用三角形網(wǎng)格；時間積分采用顯式歐拉格式；計算中采用干濕網(wǎng)格方法對淺灘進行考慮。

2.2 潰口流量計算

2.2.1 峰頂流量計算

莊頭水庫主壩為土石壩，本文主要考慮了在校核洪水位下逐漸潰壩（工況1）及瞬間全潰（工況2）兩種工況，采用土石壩潰壩統(tǒng)一公式計算潰口流量[2]：

式中：Qmax——潰壩峰頂流量，m3/s；

λ——流量參數(shù)；

g——重力加速度，9.8 m/s2；

bm——最大口門寬度，m；

H0——潰壩前上游水深，m；

W——庫容水量，萬m3；

K——沖刷系數(shù)，%；

E——壩橫斷面積，m2；

φ——土質(zhì)系數(shù)。

式中：σ、m、f——為沉溺系數(shù)、斷面形狀參數(shù)、堰高比；n2、n4、n6——指數(shù)；

e——堰寬比；

λe——矩形斷面自由出流、口門拉至河底、堰寬比為e時的流量參數(shù)。

2.2.2 潰壩流量過程計算

峰前流量過程線計算：

式中：q——峰前流量，m3/s；

βm——潰壩處最大水深比；

n——庫容指數(shù)，一般為2～2.5，本次取n=2.3；

t——時間，s；

τ——口門達到最大、達到峰頂流量時相應(yīng)的時間，s；

Qm——峰頂流量，萬m3；

E——壩橫斷面積，m2；

bm——最大口門寬度，m；

ρ——平均體積含砂量百分數(shù)；

W總——總庫容，萬m3；

K——沖刷系數(shù)，%；

H——峰前壩前水深，m；

λ——流量參數(shù)。

峰后流量過程線可按瞬間潰計算：

式中：W′總——峰后剩余總庫容，萬m3；

βm——潰壩處最大水深比；

W總——總庫容，萬m3；

H′0——峰后剩余最大水深，m；

H0——潰壩前上游水深，m。

放空時間按下式計算，近似n=2.5：

式中：t空——放空時間，s；

ξ1——取0.002，即水庫放空到的2‰為止；

D2（ξ1）——n=2.5時相應(yīng)的系數(shù)，查表得2.495。

根據(jù)相應(yīng)的n值，可在《潰壩水力學(xué)》中查出值，（其中，qi為ti時刻的流量，m3/s；ti為放空期間不同時刻，s。），再根據(jù)公式（15）和（16），即可求出峰后流量過程線。

2.2.3 計算結(jié)果

（1）工況1：在校核洪水位下逐漸潰壩時，隨著潰口寬度從小到大，流量也不斷增大，當(dāng)達到潰壩峰頂流量后又開始減少。最大下泄流量達6 283.66 m3/s，排水總歷時2 h：11 min左右。

圖1 校核洪水位下逐漸潰壩流量過程線

（2）工況2：在瞬間全潰情況下，由于潰口不存在逐步發(fā)展的過程，潰壩流量在開始即達到峰頂，之后隨時間逐漸減少。峰頂流量達到23 275 m3/s，潰壩過程歷時21 min左右。

各工況下潰口特征參數(shù)見表1。

表1 各工況潰口特征參數(shù)表

圖2 瞬間全潰流量過程線

2.3 模型建立

構(gòu)建模型時先選定模擬區(qū)域地形數(shù)據(jù)并導(dǎo)入，莊頭水庫下游地區(qū)地形數(shù)據(jù)是以美國SRTM數(shù)據(jù)庫中下載的90 m精度的數(shù)字高程為基礎(chǔ)，對散點圖進行內(nèi)插得到模擬區(qū)域的地形文件；之后進行地形網(wǎng)格的剖分，本次模擬使用的是非結(jié)構(gòu)化三角形網(wǎng)格，計算時用網(wǎng)格生成器將地形區(qū)域分為若干不規(guī)則的三角形網(wǎng)格；最后設(shè)置模型邊界條件及初始條件，選定上游莊頭水庫大壩處為入流邊界，入流邊界條件為潰壩流量過程，下游村鎮(zhèn)及長治市郊區(qū)則采用陸地邊界。模型模擬初始時，下游模擬區(qū)域無水流，初始條件設(shè)置為模擬區(qū)域中地面高程最低值，而上邊界莊頭水庫大壩處的初始水位為開始潰壩時的水位值。為保證模型計算的連續(xù)性，還需要針對模擬區(qū)域動邊界設(shè)置干水深和濕水深，本次將干水深設(shè)置為0.005 m，濕水深為0.1 m，即模型計算過程中水深小于0.005 m的區(qū)域不參加計算，水深大于0.1 m的區(qū)域參加計算[3]。

模型共1454個網(wǎng)格節(jié)點，考慮各方面因素，網(wǎng)格計算時間步長60.0 s，總計算步數(shù)為300，即模擬5 h。模擬區(qū)域網(wǎng)格劃分見圖3。

圖3 模擬區(qū)域網(wǎng)格劃分圖

3 模擬結(jié)果

本次模擬區(qū)域地形上游為山區(qū)，下游為平原，因而地形高差較大。建立網(wǎng)格文件后，根據(jù)水動力模型，逐項輸入相應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)計算機性能調(diào)試模型，確定各項計算參數(shù)，然后進行2種不同工況下潰壩后洪水演進模擬。在本次模型模擬過程中，共選取了洪水演進至下游過程中的6個特征點。分別為：壩址處，閆家河村距離大壩2.56 km，集店鄉(xiāng)距離大壩4.89 km，石橋村距離大壩8.15 km，壺口村距離大壩12.66 km，市區(qū)距離大壩17.5 km。

3.1 逐漸潰壩

逐漸潰壩不同時間段淹沒范圍及水深見圖4。

圖4 逐漸潰壩淹沒范圍

由淹沒范圍及動態(tài)演進結(jié)果分析，對于逐漸潰壩的情況，初始潰壩流量逐漸增大，達到峰值6 284 m3/s后又逐漸減小。逐漸潰時最終口門寬度發(fā)展到69.7 m，整個潰壩洪水下泄過程時間較瞬間全潰長，達到2 h多。潰壩開始后10 min內(nèi)洪水已經(jīng)到達距離大壩2.56 km的閆家河村。潰壩后洪水在山區(qū)地形中繼續(xù)演進，在1.5 h左右到達距離大壩12.66 km的壺口村，隨后開始進入長治市區(qū)。根據(jù)水位過程線，石橋村位置由于處于山區(qū)內(nèi)位置比較低洼的地帶，洪水向下傳播過程中，該處的水深最深，峰值達到7 m，并且洪水在20 min內(nèi)迅速聚集達到峰值水深。對于長治市區(qū)特征點，水位從1h：50 min左右開始迅速升高，水深超過2.5 m，5 h模擬結(jié)束后，雖然未淹沒大部分城區(qū)，但市中心低洼地帶的局部地區(qū)水深較深。

3.2 瞬間全潰

瞬間全潰不同歷時淹沒范圍見圖5。

圖5 瞬間全潰淹沒范圍

由淹沒范圍及動態(tài)演進結(jié)果分析，對于瞬間全潰的情況，初始潰壩流量大，達到了23 275 m3/s，而且流速也最快，洪水下泄極為迅速，整個庫容清空僅用時21 min。距離大壩最近的閆家河村，10 min內(nèi)被洪水淹沒，最大水深達到3.4 m。隨后洪水迅速向下游演進，到達距大壩4.89 km的集店鄉(xiāng)，鄉(xiāng)鎮(zhèn)中最大水深達到2.2 m。由于集店鄉(xiāng)人口較多，距離大壩較近，受災(zāi)損失也比其他村莊嚴重。而在潰壩5 h后，長治市城區(qū)特征點的水位也達到1.8 m。相比于逐漸潰壩的情況，瞬間全潰洪量更大，洪水下泄更加迅速，對下游造成的災(zāi)害及影響也要嚴重很多。

3.3 模型合理性驗證

對于潰壩模擬模型，并無實測資料可對其合理性進行驗證，本文采用了水量平衡法對結(jié)果進行驗證。選取工況1，在潰壩后10 min至2 h選定5個固定時間，分別根據(jù)潰壩流量過程線計算出下泄洪量，然后與模擬結(jié)果進行比較，求出相對誤差。驗證結(jié)果見表2。

表2 水量平衡驗證結(jié)果表

由表2可知，不同時間段二者相對誤差為3.7%～7.6%，在合理誤差范圍之內(nèi)，可見本文的潰壩模型能較好地模擬土石壩潰壩洪水演進過程。

4 結(jié)論

基于莊頭水庫逐漸潰壩和瞬間全潰2種工況，選用經(jīng)驗公式計算出潰壩峰頂流量及流量過程線，利用平面二維數(shù)學(xué)模型模擬了水庫潰壩洪水演進過程。通過對下游特征點水位、流速分析，量化了潰壩洪水演進情況，并用水量平衡法驗證了模型的合理性。

大壩的潰決是一種低頻率、高風(fēng)險的災(zāi)害，潰壩一旦發(fā)生將給下游地區(qū)帶來災(zāi)難性的影響。希望能借此方法幫助人們了解潰壩后相關(guān)地區(qū)受災(zāi)狀況及洪水發(fā)展動態(tài)趨勢，能夠提前建立疏散及預(yù)警機制，將潰壩損失降至最低，以保障人民的生命財產(chǎn)安全。