指數(shù)保費(fèi)原理中風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的變點(diǎn)推斷

章 溢, 溫利民, 李志龍

(1- 江西師范大學(xué)財(cái)政金融學(xué)院，南昌 330022;2- 江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，南昌 330022; 3- 海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，?？?571158;4- 海南師范大學(xué)大數(shù)據(jù)科學(xué)與智慧教育重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，?？?571158)

1 引言

在非壽險(xiǎn)精算中，如何為一份保單制定合適的價(jià)格是精算師的重要任務(wù)之一.對(duì)給定的風(fēng)險(xiǎn)隨機(jī)變量X，制定的價(jià)格R(X)的方法常常稱為保費(fèi)原理.常用的保費(fèi)原理包括期望值原理、方差原理、標(biāo)準(zhǔn)差原理、Esscher 保費(fèi)原理、指數(shù)保費(fèi)原理等.作為一種風(fēng)險(xiǎn)度量，保費(fèi)原理R(X)一般需要滿足正的安全負(fù)荷、對(duì)獨(dú)立風(fēng)險(xiǎn)的可加性、對(duì)共同單調(diào)風(fēng)險(xiǎn)可加性、轉(zhuǎn)移不變性等.Young[1]總結(jié)了各種保費(fèi)原理滿足哪些保費(fèi)原理的性質(zhì)，從文獻(xiàn)的整理可以看出，除了凈保費(fèi)原理外，指數(shù)保費(fèi)原理是滿足最多“好”的性質(zhì)的保費(fèi)原理.因此，指數(shù)保費(fèi)原理不僅保險(xiǎn)公司得到廣泛的運(yùn)用，而且在理論上也引起了深入的研究[2,3].然而，在實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)管理中，由于風(fēng)險(xiǎn)因素的復(fù)雜性，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后由于環(huán)境、條件的變化，風(fēng)險(xiǎn)也可能發(fā)生變化.從而導(dǎo)致保費(fèi)也需要相應(yīng)的調(diào)整.因此，精算師有必要根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)的觀測(cè)值情況判斷保費(fèi)在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)是否變動(dòng).事實(shí)上，變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.關(guān)于隨機(jī)變量的均值、方差等的變點(diǎn)研究已經(jīng)積累了大量的文獻(xiàn).早期的文獻(xiàn)可參考文獻(xiàn)[4-6].關(guān)于變點(diǎn)檢測(cè)的統(tǒng)計(jì)方法有較多的討論，例如，Bai[7]運(yùn)用最小二乘法研究了時(shí)間序列中線性過(guò)程的變點(diǎn)估計(jì)，Xia 和Qiu[8]提出一種跳躍信息準(zhǔn)則研究了回歸曲線的變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題，Bai 和Saranadasa[9]、Chen 和Qin[10]等利用矩陣的跡方法構(gòu)造了高維數(shù)據(jù)中均值和方差的變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題.近年來(lái)，隨著大數(shù)據(jù)的提出和發(fā)展，變點(diǎn)檢測(cè)和統(tǒng)計(jì)推斷在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)推斷中變得越來(lái)越重要[11-14].

然而，在非壽險(xiǎn)精算中，已經(jīng)有一定的文獻(xiàn)研究風(fēng)險(xiǎn)模型中變點(diǎn)檢測(cè)及其統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題[15-18].本文將關(guān)注給定風(fēng)險(xiǎn)模型中由于風(fēng)險(xiǎn)的變化導(dǎo)致的指數(shù)保費(fèi)的變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題.若檢測(cè)到風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生變化，則顯然要對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)進(jìn)行調(diào)整.因此保費(fèi)的變點(diǎn)檢測(cè)具有非常重要的實(shí)際意義.

對(duì)給定的風(fēng)險(xiǎn)X，以及相應(yīng)的若干年的相互獨(dú)立的樣本觀測(cè)值X1,X2,··· ,Xn.記Pi=R(Xi)表示風(fēng)險(xiǎn)Xi的指數(shù)保費(fèi).我們將檢驗(yàn)下面的原假設(shè)

對(duì)備擇假設(shè)

若拒絕原假設(shè)而接受備擇假設(shè)H1，則顯示風(fēng)險(xiǎn)X 的指數(shù)保費(fèi)在k0位置出現(xiàn)變點(diǎn).

文章的目的之一是給出變點(diǎn)位置的一個(gè)估計(jì).進(jìn)而，我們將構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)假設(shè)H0.本文的重點(diǎn)是研究指數(shù)保費(fèi)變點(diǎn)估計(jì)的相合性和收斂速度.文章后面的內(nèi)容安排如下.第2 節(jié)給出指數(shù)保費(fèi)原理的相關(guān)介紹.第3 節(jié)給出變點(diǎn)的估計(jì)及其相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).第4 節(jié)給出統(tǒng)計(jì)量的模擬結(jié)果，從數(shù)值上分析統(tǒng)計(jì)量的收斂速度情況.

2 指數(shù)保費(fèi)原理及其變點(diǎn)估計(jì)模型

設(shè)集合χ 表示概率空間(Ω,F,P)中可保的非負(fù)風(fēng)險(xiǎn)隨機(jī)變量集合.而X, Y, Z 表示可保風(fēng)險(xiǎn)，即為保險(xiǎn)公司承保保單的損失額.記FX(x)為X 的分布函數(shù).為了定義指數(shù)保費(fèi)原理，本文假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)X 具有指數(shù)階的矩，即

其中α0為某個(gè)給定的正常數(shù).

定義1 保費(fèi)原理R 定義為從χ 到實(shí)直線[0,+∞]上的一個(gè)映射，常記為

設(shè)保險(xiǎn)公司具有初始資產(chǎn)w，且保險(xiǎn)公司的效用函數(shù)為u(·).保險(xiǎn)公司承保了風(fēng)險(xiǎn)X 后將收到保費(fèi)R(X)，且保費(fèi)R(X)由下面的方程的解

方程(5)左邊表示保險(xiǎn)公司承保風(fēng)險(xiǎn)X 后的期望效用.因此方程(5)顯示保險(xiǎn)公司在承保前后具有等價(jià)的效用.在非壽險(xiǎn)精算中，根據(jù)方程(5)得到的解R(X)來(lái)制定保費(fèi)的方法稱為期望效用保費(fèi)原理.當(dāng)w =0 時(shí)稱為零效用保費(fèi)原理.關(guān)于期望效用原理的介紹可參考文獻(xiàn)[19,20]等.

盡管方程(5)有很好的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋，但一般沒(méi)有顯示解.然而，若取指數(shù)效用函數(shù)

對(duì)任意α ∈[0,α0]，則期望效用方程(5)的解能表達(dá)為顯示的形式

定義2 對(duì)風(fēng)險(xiǎn)隨機(jī)變量X ∈χ，定義X 的指數(shù)保費(fèi)原理為(7)，并稱之為風(fēng)險(xiǎn)X 的指數(shù)保費(fèi).

根據(jù)文獻(xiàn)[3]，指數(shù)保費(fèi)R(X)滿足正的風(fēng)險(xiǎn)附加、對(duì)獨(dú)立風(fēng)險(xiǎn)可加性、無(wú)不合理附加費(fèi)、極大損失性、轉(zhuǎn)移不變性、單調(diào)性、保留一階隨機(jī)控制序和停止損失序、連續(xù)型等眾多“好”的性質(zhì).從風(fēng)險(xiǎn)度量的角度來(lái)看，指數(shù)保費(fèi)R(X)是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量[21].本文不對(duì)指數(shù)保費(fèi)原理的性質(zhì)做進(jìn)一步討論，我們的目的是檢驗(yàn)假設(shè)H0對(duì)H1并給出變點(diǎn)估計(jì)及其統(tǒng)計(jì)推斷方法.

顯然，在H0成立時(shí)，

分別為P1和Pn的非參數(shù)估計(jì).絕對(duì)偏差

反映了備擇假設(shè)H1成立時(shí)指數(shù)保費(fèi)在變點(diǎn)前后的差異.

則變點(diǎn)位置k0的估計(jì)可取為

當(dāng)|T(k)|的最大值在多處同時(shí)達(dá)到時(shí)，估計(jì)取這些位置估計(jì)的最小值.

3 變點(diǎn)位置估計(jì)的大樣本性質(zhì)

一般地，我們有風(fēng)險(xiǎn)X 的n 個(gè)觀測(cè)值X1,X2,··· ,Xn.首先，我們將確定風(fēng)險(xiǎn)X 的指數(shù)保費(fèi)是否存在變點(diǎn).即根據(jù)樣本X1,X2,··· ,Xn的信息對(duì)假設(shè)H0對(duì)H1進(jìn)行檢驗(yàn).注意到在H0成立時(shí)，有

下面給出統(tǒng)計(jì)量T(k)在H0成立時(shí)的漸近分布.

定理1 若α ≤α0/2，當(dāng)H0成立時(shí)，若n-→∞，則有

根據(jù)不變?cè)瓌t有

特別地，有

根據(jù)定理1，我們得到了原假設(shè)H0成立下統(tǒng)計(jì)量T(k)的分布.

注2 在定理1 條件成立時(shí)，根據(jù)連續(xù)性定理，則h(x)=suptx(t)是在空間D[0,1]上連續(xù)的，我們有

即為著名的Kolmogorov 分布.

若原假設(shè)H0被拒絕，則顯示指數(shù)保費(fèi)R(X)在某處k0處存在變點(diǎn)，則可用(10)對(duì)變點(diǎn)位置k0進(jìn)行估計(jì)，并證明變點(diǎn)估計(jì)(10)的大樣本性質(zhì)和收斂速度.

定理3 若對(duì)某個(gè)常數(shù)δ ＞0，有τ0∈(δ,1-δ)及k0/n-→τ0，則當(dāng)H1成立時(shí)，有

綜上所述，雖然教學(xué)改革的時(shí)間比較晚，但過(guò)程化教學(xué)的教學(xué)成果卻很明顯。合理的過(guò)程化教學(xué)有利于提高高校課堂教學(xué)任務(wù)以及課堂內(nèi)容的完成效率，為民辦高校學(xué)生以后的發(fā)展創(chuàng)造了條件。

證明 對(duì)充分小的δ ＞0，根據(jù)推論1 以及τ0∈(0,1)可得

因此，對(duì)某個(gè)ε ＞0 以及充分大的n 有

為了證明(19)，只需證

對(duì)ε ＞0 以及M =M(ε)成立.因?yàn)?/p>

我們定義下面的集合

注意到

因此，只需證明

下面，我們將證明當(dāng)n -→∞時(shí)，P1-→0 以及P2-→0.不損失一般性，假設(shè)k ≤k0，則由(12)得到

因此，有

由事件的分解和包含關(guān)系有

根據(jù)Chebyshev 不等式，有

因此得到

另一方面，我們有

則有

以及

因此，有P1= Pr{T(k)-T(k0) ≥0} -→0.為了證明定理，則只需證明P2-→0 即可.類(lèi)似地，根據(jù)對(duì)稱性我們僅考慮k ≤k0.由式(14)得到

其中C1=Cλ.記S(k)=T(k)-E[T(k)]-(T(k0)-E[T(k0)])，則S(k)可以表達(dá)為

對(duì)k ∈Dn,M，通過(guò)事件的關(guān)系得到

因此，有

進(jìn)而，根據(jù)下面的分解

并注意到|g(k)|≤1, |g(k)-g(k0)|≤C|k0-k|/n 對(duì)正常數(shù)C，有

因此得到

其中r =k0-k，而Ci, i=2,3,4 為不依賴n 的正常數(shù). 根據(jù)Chebyshev 和Kolmogorov 不等式得到

以及

令r =k0-k，對(duì)M ≤r ≤k0以及對(duì)充分大的M 有

這表明P21-→0.對(duì)P22，由于|g(k)|≤1, |g(k)-g(k0)|≤C|k0-k|/n, n-k ＞n-k0，

將k0替換為nτ0，得到

因此，有

對(duì)充分大的n 和M，上式最后兩項(xiàng)均收斂到零.因此P22-→0，則完成了定理2 的證明.

注3 在風(fēng)險(xiǎn)理論中，文獻(xiàn)[18]建立了風(fēng)險(xiǎn)度量中EVaR 的變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)模型，并將變點(diǎn)估計(jì)方法運(yùn)用金融傳染模型，而文獻(xiàn)[19]建立了具有變點(diǎn)理賠過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型，給出了風(fēng)險(xiǎn)存在變點(diǎn)時(shí)破產(chǎn)概率上界.然而，他們都沒(méi)有給出變點(diǎn)估計(jì)的收斂速度，本文對(duì)風(fēng)險(xiǎn)X 建立了指數(shù)保費(fèi)的統(tǒng)計(jì)模型，提出了變點(diǎn)是否存在的假設(shè)檢驗(yàn)方法，并提出了基于指數(shù)保費(fèi)的變點(diǎn)估計(jì)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，給出了變點(diǎn)估計(jì)的收斂速度.本文給出的方法能為保險(xiǎn)公司的保費(fèi)制定提供可供使用的參考價(jià)值和依據(jù).

4 模擬研究

因此風(fēng)險(xiǎn)X 指數(shù)保費(fèi)為

對(duì)不同的樣本容量n，我們?nèi)ˇ?0.3，在變點(diǎn)k0前后生成參數(shù)θ =2 和θ =6 的指數(shù)分布，計(jì)算指數(shù)保費(fèi)P1,P2,··· ,Pn.根據(jù)變點(diǎn)估計(jì)(10)，對(duì)不同的的變點(diǎn)位置k0，計(jì)算精確度，經(jīng)過(guò)10000 次重復(fù)模擬，得到下面三個(gè)表格，詳見(jiàn)表1 至表3 所示.

表1 變點(diǎn)估計(jì)及其精確度(k0 =)

表1 變點(diǎn)估計(jì)及其精確度(k0 =)

n 10 20 40 80 200 400 800^k0 3.590 6.015 10.629 20.060 49.691 100.013 200.144 p 0.6441 0.7571 0.8339093 0.8979 0.9507 0.9759 0.9872

表2 變點(diǎn)估計(jì)及其精確度(k0 =)

表2 變點(diǎn)估計(jì)及其精確度(k0 =)

n 10 20 40 80 200 400 800^k0 4.181 8.522 17.513 36.941 96.402 195.821 395.693 p 0.7605 0.8118 0.8557 0.9116 0.9603 0.9775 0.9880

表3 變點(diǎn)估計(jì)及其精確度(k0 =)

表3 變點(diǎn)估計(jì)及其精確度(k0 =)

n 10 20 40 80 200 400 800^k0 4.823 10.598 22.893 50.469 135.531 282.697 579.723 p 0.6823 0.7055 0.7612 0.8401 0.9031 0.9420 0.9661