?？臻g中若干公共不動點問題的研究

李 澤, 魏 超

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 江蘇 南京 210023)

0 引言及預(yù)備知識

?？臻g作為一類較為抽象的空間, 擴(kuò)展了包括Lp空間、Orlicz空間在內(nèi)的許多空間框架, 引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[1-3].近年來, ?？臻g中的公共不動點問題得到國內(nèi)外學(xué)者廣泛深入的研究. 2007年, Nabizadeh E利用Δ2條件, 在模空間中給出了一類非線性收縮映射及漸近收縮映射的不動點定理[4]; 2008年, Khamsi M A給出了?？臻g中沒有Δ2條件的擬壓縮映射的不動點定理[5]; 2012年, Wang X等人將Banach空間中的漸近逐點非擴(kuò)張映射的概念引入到?？臻g中, 并在?？臻g中證明了該映射具有不動點[6]; 2016年, ?zturk M等人給出了?？臻g中ψ-φ廣義壓縮映射的概念, 并且證明了一類公共不動點定理[7].

本文擬在模空間中探討公共不動點問題, 將度量空間中的多個映射及一類無限族自映射的公共不動點定理推廣至?？臻g, 進(jìn)一步豐富模空間的相關(guān)理論.

定義1 設(shè)X為數(shù)域K=R或K=C上的任一向量空間. 對于X中的?x,y, 泛函ρ:X→[0,+∞)被稱為X上的模, 如果:

(a)ρ(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0;

(b)ρ(αx)=ρ(x)當(dāng)α為標(biāo)量時且|α|=1;

(c)ρ(αx+βy)≤ρ(x)+ρ(y), 如果α,β≥0且α+β=1.

若條件(c)被ρ(αx+βy)≤αsρ(x)+βsρ(y), 其中αs+βs=1,α,β≥0且s∈(0,1]替代, 則稱模ρ為s-凸模. 如果s=1, 則稱模ρ為凸模. 若向量空間Xρ={x∈X|ρ(λx)→0,當(dāng)λ→0}, 則稱向量空間Xρ為?？臻g.

定義2 設(shè)ρ為定義在X上的模,Xρ為模空間.

(a) 對于序列{xn}?Xρ, 點x∈Xρ, 若n→∞時, 有ρ(xn-x)→0, 則稱序列{xn}ρ-收斂于點x. 記為xn→x；

(c) 若Xρ中的每個柯西列都ρ-收斂, 則稱Xρ為完備的模空間；

(d) 當(dāng)模ρ滿足Δ2條件時： 若n→∞時,ρ(xn)→0可推出ρ(2xn)→0；

(e) 設(shè)映射S為Xρ上的自映射, 若xn→x時, 有Sxn→Sx, 則稱映射S為Xρ上的連續(xù)映射；

(f) 若xn→x時, 有ρ(xn)→ρ(x), 則稱模ρ為連續(xù)的.

1 主要結(jié)果

證明任取x0∈Xρ, 由于f(Xρ)?T(Xρ), 故存在x1∈Xρ使得fx0=Tx1. 又因為gx1∈S(X), 則存在x2∈X使得gx1=Sx2. 故一般地, 有fx2n=Tx2n+1和gx2n+1=Sx2n+2. 進(jìn)一步地設(shè)y2n=fx2n=Tx2n+1,y2n+1=gx2n+1=Sx2n+2,

第1步: 證明序列{yn}為柯西列. 考慮到

ρ(y2n-y2n+1)=ρ(fx2n-gx2n+1)≤

若

ρ(y2n-y2n+1)>ρ(y2n-1-y2n),

由上式得ρ(y2n-y2n+1)

由于q<1, 故ρ(y2n-y2n+1)

因此

ρ(y2n-y2n+1)<ρ(y2n-1-y2n),

從而ρ(y2n-y2n+1)

類似可得

ρ(y2n-1-y2n)

依此類推,可得

ρ(yn-yn-1)<…

對于任意的n>m,n,m∈N, 由于ρ(2x)=2ρ(x), 故有

ρ(yn-yn-1)+…+ρ(ym+2-ym+1)+ρ(ym+1-ym)≤

qn-1ρ(y1-y0)+…+qm+1ρ(y1-y0)+qmρ(y1-y0)≤

第2步: 證明點y為映射f,g,S,T的公共不動點.

ρ(fx-gy)≤

其中，取x=Sx2n,y=x2n+1時, 有

由ρ連續(xù), 對上式兩邊取極限, 有ρ(Sy-y)≤qρ(Sy-y).

由于q<1, 故ρ(Sy-y)=0, 從而有Sy=y成立. 同理可得Ty=y成立. 在

上式中，取x=y,y=x2n+1, 由Sy=Ty=y，可得fy=y成立.

最后由

可得gy=y成立.

因此，有Sy=Ty=fy=gy=y.

第3步: 證明點y為唯一的公共不動點.若還存在一點x為映射f,g,S,T的公共不動點, 則有

成立. 由于q<1, 故ρ(x-y)=0, 從而有x=y.

故映射f,g,S,T有唯一的公共不動點.

注1 定理1將文[8]中的相關(guān)結(jié)果從b-度量空間推廣到?？臻g. 由于?？臻g不滿足次可加性, 因此本定理的證明方法也不同于文[8].

考慮到f,g,S,T分別為完備的模空間Xρ上的自映射, 且有f(Xρ)?T(Xρ),g(Xρ)?S(Xρ); 任取x0∈Xρ, 存在x1∈Xρ使得fx0=Tx1. 又因為gx1∈S(X), 則存在x2∈X使得gx1=Sx2. 故一般地, 則有fx2n=Tx2n+1和gx2n+1=Sx2n+2. 進(jìn)一步地設(shè)

y2n=fx2n=Tx2n+1，y2n+1=gx2n+1=Sx2n+2

(*)

至此,可以得到模空間中一序列{yn}. 定理2指出迭代序列是收斂的,并且迭代程序是穩(wěn)定的.

定理2設(shè)f,g,S,T分別為完備的?？臻gXρ上的自映射, 且有f(Xρ)?T(Xρ),g(Xρ)?S(Xρ); 映射S,T是連續(xù)的且映射對{f,S},{g,T}相容. 若f,g,S,T滿足:ρ(4(fx-gy))≤qρ(Sx-Ty),q∈[0,1). 凸模ρ連續(xù), 滿足Δ2條件及ρ(2x)=2ρ(x), 則，

(a) 映射f,g,S,T有公共不動點p, 且由(*)式迭代產(chǎn)生的序列{yn}收斂到點p；

ρ(p-Tz2n+1)≤ρ(2(Tz2n+1-fz2n))+ρ(4(fz2n-gx2n+1))+ρ(4(gx2n+1-p))≤

ρ(2(Tz2n+1-fz2n))+qρ(Sz2n-Tx2n+1))+ρ(4(gx2n+1-p))≤

ρ(2(Tz2n+1-fz2n))+qρ(2(Sz2n-gz2n+1))+qρ(2(gz2n+1-Tx2n+1))+ρ(4(gx2n+1-p))≤

ρ(2(Tz2n+1-fz2n))+qρ(2(Sz2n-gz2n+1))+qρ(2(gz2n+1-fx2n))+ρ(4(gx2n+1-p))≤

ρ(2(Tz2n+1-fz2n))+qρ(2(Sz2n-gz2n+1))+qρ(4(gz2n+1-fx2n))+ρ(4(gx2n+1-p))≤

ρ(2(Tz2n+1-fz2n))+qρ(2(Sz2n-gz2n+1))+q2ρ(Tz2n+1-Sx2n))+ρ(4(gx2n+1-p)).

ρ(p-Tz2n+1)≤q2ρ(p-Tz2n+1),q<1.

ρ(p-Sz2n)≤ρ(2(gz2n+1-Sz2n))+ρ(4(gz2n+1-fx2n))+ρ(4(fx2n-p))≤

ρ(2(gz2n+1-Sz2n))+qρ(Tz2n+1-Sx2n)+ρ(4(fx2n-p))≤

ρ(2(gz2n+1-Sz2n))+qρ(2(Tz2n+1-p))+qρ(2(Sx2n-p))+ρ(4(fx2n-p)).

對上式兩邊取n→∞, 由

定理3 設(shè)Xρ為完備的模空間, 凸模ρ連續(xù), 滿足Δ2條件.αi,j≥0(i,j∈N+)且滿足:

設(shè){Tn}為Xρ上的自映射序列且滿足:

ρ(Tix-Tjy)≤αi,jMi,j(x,y)+LNi,j(x,y), ?x,y∈Xρ,i≠j,L≥0,

其中

Ni,j(x,y)=min{ρ(x-Tix),ρ(y-Tjy),ρ(x-Tjy),ρ(y-Tix)}.

則所有的映射序列{Tn}在?？臻gXρ上有唯一公共不動點.

證明取x0∈Xρ, 由xn=Tn(xn-1)構(gòu)造序列{xn}. 接下來，分以下4步證明.

第1步: 證明當(dāng)n→∞時, 有ρ(xn-xn+1)→0. 由ρ(Tix-Tjy)≤αi,jMi,j(x,y)+LNi,j(x,y)式, 有

ρ(x1-x2)=ρ(T1x0-T2x1)≤α1,2M1,2(x0,x1)+LN1,2(x0,x1)=

α1,2max{ρ(x0-x1),ρ(x1-x2)}≤α1,2(ρ(x0-x1)+ρ(x1-x2)).

從而有

同理有

依此類推, 得到

第2步: 證明序列{xn}為ρ-柯西列.

從而由此不等式可得

ε≤ρ(x2nk-x2mk)=ρ(x2nk-x2nk-1+x2nk-1-x2mk)≤

ρ(2(x2nk-x2nk-1)+ρ(2(x2nk-1-x2mk))<ε+ρ(2(x2nk-x2nk-1).

在ρ(Tix-Tjy)≤αi,jMi,j(x,y)+LNi,j(x,y)中，取x=x2nk,y=x2mk-1, 則有

ρ(x2nk+1-x2mk)=ρ(T2nk+1x2nk-T2mkx2mk-1)≤

α2nk+1,2mkM2nk+1,2mk(x2nk,x2mk-1)+LN2nk+1,2mk(x2nk,x2mk-1).

其中

M2nk+1,2mk(x2nk,x2mk-1)=

N2nk+1,2mk(x2nk,x2mk-1)=min{ρ(x2nk-x2nk+1),ρ(x2mk-1-x2mk),ρ(x2nk-x2mk),ρ(x2mk-1-x2nk+1)}.

由ρ(2(x2nk-1-x2mk))<ε可得

ρ(x2nk+1-x2mk)=ρ(x2nk+1-x2nk+x2nk-x2nk-1+x2nk-1-x2mk)≤

ρ(2(x2nk+1-x2nk+x2nk-x2nk-1))+ρ(2(x2nk-1-x2mk))≤

ρ(4(x2nk+1-x2nk))+ρ(4(x2nk-x2nk-1))+ρ(2(x2nk-1-x2mk))≤

ρ(4(x2nk+1-x2nk))+ρ(4(x2nk-x2nk-1))+ε.

ρ(x2nk-x2mk-1)=ρ(x2nk-x2nk-1+x2nk-1-x2mk+x2mk-x2mk-1)≤

ρ(2(x2nk-x2nk-1+x2mk-x2mk-1))+ρ(2(x2nk-1-x2mk))≤

ρ(4(x2nk-x2nk-1))+ρ(4(x2mk-x2mk-1))+ρ(2(x2nk-1-x2mk))≤

ρ(4(x2nk-x2nk-1))+ρ(4(x2mk-x2mk-1))+ε.

注意到

ρ(x2mk-1-x2mk)+ρ(x2mk-x2nk+1))<

ε+ρ(x2mk-1-x2mk)+ρ(4(x2nk-1-x2nk))+ρ(4(x2nk-x2nk+1)).

ρ(x2nk-x2nk-1)+ρ(x2nk-1-x2mk)≤ρ(x2nk-x2nk-1)+ρ(2(x2nk-1-x2mk))<

ρ(x2nk-x2nk-1)+ε.

結(jié)合M2nk+1,2mk(x2nk,x2mk-1)可得

M2nk+1,2mk(x2nk,x2mk-1)=

由ρ是凸模,ρ(x2nk-x2mk)≥ε可得

第3步: 證明映射序列{Tn}在?？臻gXρ上有公共不動點.

因為{xn}為ρ-柯西列且?？臻gXρ為完備的, 所以存在一點x∈Xρ使得xn→x. 從而對于任意正整數(shù)m, 有

ρ(x-xn)+ρ(xn-Tmx)=ρ(x-xn)+ρ(Tnxn-1-Tmx)≤

Lmin{ρ(xn-1-xn),ρ(x-xn),ρ(x-Tmx),ρ(xn-1-Tmx)}.

因此,有

從而有ρ(x-y)=0, 即x=y. 故映射序列{Tn}在?？臻gXρ上公共不動點是唯一的. 至此定理得證.

本定理將文[9]中的相關(guān)結(jié)果從度量空間推廣到?？臻g. 文在模空間中考慮公共不動點問題, 引入相容映射和一類無限族自映射的概念, 將度量空間中的相關(guān)公共不動點定理進(jìn)行推廣, 所做的工作將豐富?？臻g的相關(guān)理論.