空間解析幾何中一類多線共點問題的探討

李明浩

【摘要】 本文利用向量法和坐標(biāo)法給出了空間解析幾何中一類多線共點問題的三種解法.一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和發(fā)散性思維.

【關(guān)鍵詞】空間解析幾何;多線共點;向量法;坐標(biāo)法

《空間解析幾何》是數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的一門重要的基礎(chǔ)理論課程，主要研究空間線、面及其位置關(guān)系.多線共點問題是空間解析幾何中一類常見的問題.本文利用向量法和坐標(biāo)法給出了這類問題的幾種解法，旨在培養(yǎng)學(xué)生從多角度分析問題和解決問題的能力，從而提升學(xué)生的創(chuàng)新精神和發(fā)散性思維.

下面我們以教材[1]中的一道多線共點問題為例，介紹這類問題的幾種解法.

例1 證明四面體對棱中點的連線交于一點且互相平分.

證明一 設(shè)四面體ABCD的六條棱AB，CD，AD，BC，BD，AC的中點分別為E，F(xiàn)，H，G，I，J，如圖1所示.連接EF并設(shè)EF的中點為O.連接IO，OJ，HO，OG，下面只需要證明IO=OJ，HO=OG即可.

對于上述例題，我們已知交點的位置，即位于對邊中點連線的中點.我們?nèi)绻稽c的位置不明確，可以嘗試?yán)孟蛄糠ɑ蜃鴺?biāo)法先確定交點的位置.

例2 證明四面體對棱中點的連線交于一點.

解 設(shè)四面體ABCD及其各邊中點如圖1所示.連接HF和EG，顯然有HF=12AC=EG，因此四邊形HFGE為平行四邊形，對角線EF和HG交于一點且互相平分.從而可得該交點的位置.然后再利用例1的三種解法進行求解就可以了.

同理可得，如果O1與O3重合，則有λ1=λ3=3;如果O1與O4重合，則有λ1=λ4=3.因此λ1=λ2=λ3=λ4=3時，O1，O2，O3，O4重合，從而說明了四面體每一個頂點與對面重心所連的線段共點，并且該點到頂點的距離和到對面重心的距離之比為3∶1.

小 結(jié)

對于多線共點問題，如果已知交點的位置，則有如下兩種思路：

（1）先在一條直線上選中該點，然后利用向量運算證明其他直線也經(jīng)過該點.

（2）在每條直線上設(shè)出這些點，然后證明這些點重合.另外，思路（1）和（2）也可以用坐標(biāo)來計算，有時坐標(biāo)運算會更加簡潔.

如果不知道交點的位置，可以采用向量法或坐標(biāo)法確定該點的位置.

【參考文獻】[1]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京： 高等教育出版社，2006.

[2]呂林根.解析幾何學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書[M].北京： 高等教育出版社，2006.

[3]程煒.向量方法在空間解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（5）：80，82.

[4]任琛琛，侯雨宏.共點線與共線點問題的探討[J].南昌師范學(xué)院學(xué)報，2019（6）： 1-6.