APOS理論視角下函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念教學(xué)研究

林歡玲

【摘要】本文為研究函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念教學(xué)，在APOS理論的視角下，經(jīng)過一系列內(nèi)化、壓縮、解壓縮的心理機(jī)制，建立 “函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)性”的三個等價定義的圖式，形成概念域.

【關(guān)鍵詞】APOS理論;連續(xù)性

一、引 言

函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的一個最基本的概念，是運(yùn)用極限方法對連續(xù)性現(xiàn)象進(jìn)行研究，而函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性的三種定義的關(guān)系是認(rèn)知連續(xù)性概念的思維障礙點(diǎn).杜賓斯基提出APOS理論，主要應(yīng)用于概念教學(xué)，注重概念的形成與學(xué)生思維建構(gòu)的過程.因此，本文以APOS理論為基礎(chǔ)，教師要能夠有針對性地為“函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性”的教學(xué)方案提供依據(jù)，幫助學(xué)生克服對連續(xù)性概念的認(rèn)知障礙.

二、相關(guān)概念

（一）函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義

在連續(xù)函數(shù)的概念中，對于函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性，有下面三種常見的定義方式：

定義1 設(shè)函數(shù)f（x）在某U（x0）上有定義，若limx→x0f（x）=f（x0），則稱f（x）在點(diǎn)x0連續(xù).

定義2 設(shè)函數(shù)f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，記Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有l(wèi)imΔx→0Δy=0，則稱f（x）在點(diǎn)x0連續(xù).

定義3 設(shè)函數(shù)f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若對任意的ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)|x-x0|<δ時有，都有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱f（x）在點(diǎn)x0連續(xù).

（二）APOS理論

杜賓斯基以皮亞杰提出的建構(gòu)主義為基礎(chǔ)，提出了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論模型.該理論模型認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是要進(jìn)行心理建構(gòu)的，此建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下四個階段：活動、過程、對象、圖式.其中，“活動”是個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指定去變換一個客觀的數(shù)學(xué)對象.當(dāng)“活動”經(jīng)過多次重復(fù)而被個體熟悉后，就可被內(nèi)化為一種稱之為“程序”的心理操作.當(dāng)個體能把“程序”作為整體進(jìn)行操作時，這一程序就變成了一種心理“對象”.一個數(shù)學(xué)概念的“圖式”是指相應(yīng)的“活動”“程序”“對象”以及與某些一般原理相聯(lián)系的其他“圖式”所形成的一種個體頭腦中的認(rèn)知框架，可以用于解決與這個概念相關(guān)的問題.“活動”“過程”“對象”也可看作數(shù)學(xué)知識的三種狀態(tài)，“圖式”是由這三種知識結(jié)構(gòu)構(gòu)成的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu).

三、APOS理論視角下函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念的教學(xué)研究

（一）運(yùn)用APOS理論的可行性分析

學(xué)生對于“連續(xù)性”的初始概念圖像，是坐標(biāo)平面上一條連綿不斷的曲線，而不是在一點(diǎn)上具有連續(xù)性，故而函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性與學(xué)生所認(rèn)知的連續(xù)性的概念形象就產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，可能導(dǎo)致學(xué)習(xí)障礙.內(nèi)化與壓縮作為APOS理論的重要心理機(jī)制，可以對函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性的學(xué)習(xí)障礙提供解釋與解答.教師可利用APOS理論，在過程階段與對象階段，結(jié)合函數(shù)極限構(gòu)造函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念圖像，將極限概念過渡到連續(xù)性概念，幫助學(xué)生克服函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性的學(xué)習(xí)困難，從而形成對函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的真正理解.

對于函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的三個等價定義，在教材安排上，不同版本的教材采用的編排順序不同，但都是在學(xué)習(xí)函數(shù)極限之后，采用上述定義中的某個定義引入連續(xù)性概念，進(jìn)而將另外兩個定義作為等價定義給出.因此，在認(rèn)知層面上，對上述三種定義的教學(xué)，要把握極限理論中極限概念和連續(xù)性概念的聯(lián)系.選取不同的定義引入連續(xù)性概念，會影響初學(xué)者對該概念的理解以及所出現(xiàn)的學(xué)習(xí)障礙.

（二）APOS視角下函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念的教學(xué)研究

從幾何直觀上看，連續(xù)函數(shù)是坐標(biāo)平面上一條連綿不斷的曲線，故學(xué)生對連續(xù)性并非完全陌生的，將學(xué)生所認(rèn)知的自然界的連續(xù)變化反映在數(shù)學(xué)上，就是量的變化，而反映這種連續(xù)變化現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系就是函數(shù)的連續(xù)性.連續(xù)函數(shù)的概念是“隱性”的，需要通過外顯的活動，將連續(xù)性呈現(xiàn)出來，由此獲得連續(xù)函數(shù)概念的“表象”.

（三）關(guān)于三個定義的教學(xué)研究

1.定義1的教學(xué)研究

問題1：分別畫出①f（x）=x，②f（x）=1x，③f（x）=x+2（x≥0），x-2（x<0）的圖像，并思考下述問題：（1）圖像是否連續(xù)？若是不連續(xù)，又在哪里間斷？圖像斷開的原因是什么？（2）當(dāng)x→0時，函數(shù)極限值分別是多少？

通過解答（1），學(xué)生單個地分析函數(shù)是否連續(xù)以及圖像斷開的原因，將這個過程經(jīng)過多次重復(fù)后，學(xué)生能通過對比①②③發(fā)現(xiàn)x=0是②③是否連續(xù)的關(guān)鍵點(diǎn).解答（2）時，當(dāng)圖像出現(xiàn)間斷，學(xué)生不得不運(yùn)用函數(shù)左、右極限進(jìn)行計(jì)算.學(xué)生通過計(jì)算，便會猜想當(dāng)x趨于0時的函數(shù)極限、函數(shù)在x=0處的函數(shù)值與函數(shù)的圖像連續(xù)存在聯(lián)系.這種思考過程即心理機(jī)制上的內(nèi)化，進(jìn)而達(dá)到“程序”階段.

問題2：接下來脫離具體情境，將x=0拓展到x=x0的情況，將情境中的函數(shù)圖像歸納為下述情況，如圖1，圖2，圖3所示，繼續(xù)思考上述問題.

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：若是函數(shù)在點(diǎn)x0處出現(xiàn)間斷，依照問題1的思考過程，借助圖像，運(yùn)用左、右極限的知識加以理解.對于圖1，函數(shù)在點(diǎn)x0處出現(xiàn)間斷，對于函數(shù)曲線上斷開的點(diǎn)f（x0）可歸為左側(cè)圖像，那么，函數(shù)在點(diǎn)x0處的左極限恰好等于這一點(diǎn)的函數(shù)值f（x0），即limx→x-0f（x）=f（x0）.對于圖2，函數(shù)曲線上斷開的點(diǎn)f（x0）可歸為右側(cè)圖像，那么，函數(shù)在點(diǎn)x0處的右極限恰好等于這一點(diǎn)的函數(shù)值f（x0），即limx→x+0f（x）=f（x0）.對于圖3，函數(shù)在點(diǎn)x0處沒出現(xiàn)間斷，那么這點(diǎn)不僅可以歸為左側(cè)圖像，也可以歸為右側(cè)圖像，由左右極限的定義，可得limx→x0f（x）=f（x0）.

教師要讓學(xué)生意識到：曲線在某一點(diǎn)連續(xù)與不連續(xù)的差別，在于曲線在該點(diǎn)處的函數(shù)值是否產(chǎn)生了“突變”，并且發(fā)現(xiàn)函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)應(yīng)滿足三個條件：函數(shù)f（x）在某鄰域U（x0）上有定義;極限limx→x0f（x）存在;極限limx→x0f（x）的值等于點(diǎn)x0處的函數(shù)值f（x0）.此時，上述“程序”就已經(jīng)被“壓縮”為一種“對象”.

最后，教師引出函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)的定義為：設(shè)函數(shù)f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若limx→x0f（x）=f（x0），則稱f（x）在點(diǎn)x0連續(xù).

完成這個過程，APOS理論視域下，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義與函數(shù)極限的聯(lián)系，是之前所習(xí)得的函數(shù)極限圖式的進(jìn)一步發(fā)展，形成函數(shù)連續(xù)性概念的新圖式.

2.定義3的教學(xué)研究

問題3：由于函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性是通過極限定義的，所以可類比函數(shù)極限的定義，試著用ε-δ語言敘述定義1.

學(xué)生思考：類比函數(shù)極限的定義，可由定義1得到其ε-δ語言，如表1所示：

教師細(xì)致分析，讓學(xué)生領(lǐng)會：討論極限時，假定f（x）在點(diǎn)x0某空心鄰域U。（x0）上有定義（f（x）在點(diǎn)x0可以沒有定義），而“函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)”，則要求f（x）在某鄰域U（x0）上有定義.此時，對于|f（x）-f（x0）|<ε，當(dāng)x=x0時總是成立的，所以在極限定義中的“0<|x-x0|<δ”換成了在連續(xù)定義中的“|x-x0|<δ”.

最后教師總結(jié)定義：設(shè)函數(shù)f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若對任意的ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)|x-x0|<δ時，都有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱f（x）在點(diǎn)x0連續(xù).

這樣，圍繞limx→x0f（x）=f（x0）這個“對象”，定義1與定義3建立等價關(guān)系.

3.定義2的教學(xué)研究

對于定義2，教師可通過幾何知識更為直觀地進(jìn)行教學(xué).為理解“函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)”的概念，教師引入增量的概念，記Δx=x-x0，稱為自變量x（在點(diǎn)x0）的增量或改變量.設(shè)y0=f（x0），相應(yīng)的函數(shù)y（在點(diǎn)x0）的增量記為Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0）=y-y0.其中，自變量的增量Δx或函數(shù)的增量Δy為實(shí)數(shù).

問題4：引進(jìn)了增量的概念之后，固定點(diǎn)x0，反復(fù)變化下圖中Δx的大小，觀察其對應(yīng)的Δy如何變化.

教師引導(dǎo)學(xué)生理解自變量的增量Δx或函數(shù)的增量Δy可以為正數(shù)、0或者負(fù)數(shù).當(dāng)Δx>0時，自變量x增大，函數(shù)的增量Δy>0，反之，當(dāng)Δx<0時，自變量x減小，函數(shù)的增量Δy<0.

在“活動”階段，學(xué)生依次對h（x）和f（x）的圖像實(shí)施Δx的變化，以觀察其對應(yīng)的Δy的變化.重復(fù)多次“活動”后，慢慢就內(nèi)化為“程序”，學(xué)生能對比發(fā)現(xiàn)圖4的函數(shù)y=h（x）的圖像在點(diǎn)x0處間斷，保持x0不變，當(dāng)Δx趨近于0時，點(diǎn)N沿曲線趨近于點(diǎn)N′，此時Δy為定值，在點(diǎn)x0處不連續(xù).圖5的函數(shù)y=f（x）的圖像是一條連續(xù)變化的曲線，令f（x0）=M，f（x0+Δx）=N，保持x0不變，當(dāng)Δx趨近于0時，點(diǎn)N沿曲線趨近于點(diǎn)M，Δy趨近于0.學(xué)生對整個區(qū)間上函數(shù)值的增量隨自變量的增量變化趨勢有整體認(rèn)識，上述“程序”就被“壓縮”成一種“對象”.

最后，教師總結(jié)得到定義2：設(shè)函數(shù)f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，記Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有l(wèi)imΔx→0Δy=0，則稱f（x）在點(diǎn)x0連續(xù).

此時，學(xué)生對“函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)”的三個定義有了完整的形式化表述，但對三個定義的等價關(guān)系的認(rèn)識還處于分離的狀態(tài)，所以，認(rèn)識需要上升到“圖式”階段.教師要引導(dǎo)學(xué)生對定義2進(jìn)行“解壓縮”，在定義2中，令Δx=x-x0，則Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），當(dāng)Δx→0時，有x→x0，Δy→0，則[f（x0+Δx）-f（x0）]→0，即f（x）→f（x0），可得limx→x0f（x）=f（x0）.該過程圍繞“l(fā)imx→x0f（x）=f（x0）”，定義1與定義2建立等價關(guān)系.

四、總 結(jié)

對于“函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)性”的三個等價定義的教學(xué)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)，把握學(xué)生對概念的思維障礙點(diǎn)，避免讓學(xué)生死記數(shù)學(xué)概念，而無法理解“函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)性”的三個等價定義之間的關(guān)系.

【參考文獻(xiàn)】[1]李士锜.數(shù)學(xué)教育心理[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[4]羅新兵，羅增儒.數(shù)學(xué)概念表征的初步研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（02）：21-23.

[5]Ed Dubinsky，Kirk Weller，Michael A.Mcdonald，Anne Brown.Some Historical Issues and Paradoxes Regarding the Concept of Infinity： An Apos-Based Analysis： Part 1[J].Educational Studies in Mathematics，2005（3）：335-359.

[6]D Tall，S Vinner.Concept Image and Concept Definition in Mathematics with Particular Reference to Limits and Continuity[J].Kluwer Academic Publishers，1981（2）：151-169.