基于PSO-LSSVM 的復(fù)雜試驗不確定度分析

洪譚亮, 丁曉紅, 王海華, 王神龍, 徐世鵬

（1.上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093；2.延鋒安道拓座椅有限公司，上海 201315）

測量不確定度用于表征合理賦予被測量的值的分散性[1]。目前常用的不確度評定方法是由《測量不確定度指南》（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，GUM）[2]給出的A 類和B 類評定。但是當(dāng)測量系統(tǒng)比較復(fù)雜且樣本量少的時候，GUM 法評定不確定度效果不是很好。因此，2008 年8 個國際權(quán)威組織聯(lián)合發(fā)表不確定度補(bǔ)充文件[3]，用蒙特卡羅法傳遞分布，補(bǔ)充了GUM法。計量學(xué)界廣泛運用蒙特卡羅方法，崔孝海等[4]采用蒙特卡羅方法對微波功率進(jìn)行了不確定度分析；孟令川等[5]通過蒙特卡羅方法與GUM 法對圓柱螺紋塞規(guī)中徑的測量結(jié)果進(jìn)行不確定度評定，證明了蒙特卡羅方法有更優(yōu)的評估結(jié)果；朱大業(yè)等[6]采用蒙特卡羅方法對汽車座椅的鞭打試驗得分進(jìn)行不確定度分析，取得了很好的評價結(jié)果。陳懷艷等[7]通過小功率校準(zhǔn)因子說明了蒙特卡羅不確定度評定方法的可靠性。

蒙特卡羅模型評定不確定度時需要根據(jù)輸入量的概率密度函數(shù)產(chǎn)生的樣本量計算出輸出量，因此建立輸入輸出模型的精度至關(guān)重要。針對復(fù)雜試驗輸入與輸出關(guān)系的復(fù)雜建模，目前通常采用回歸監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)的算法[8]： BP（ back propagation）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)（support vector machine, SVM）、迭代決策樹（gradient boosting decision tree，GBRT）等回歸算法。最小二乘支持向量機(jī)、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等算法可用于小樣本、高維特征變量模型。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)沒有給定目標(biāo)函數(shù)的任何假設(shè)，可以實現(xiàn)輸入到輸出的映射功能，但是對數(shù)據(jù)的要求高，對模型的訓(xùn)練也非常有挑戰(zhàn)性[9]；而最小二乘支持向量機(jī)適合小數(shù)量樣本，避免過學(xué)習(xí)問題，泛化能力強(qiáng)[10]。

本文采用具有訓(xùn)練樣本少、預(yù)測精度高的最小二乘支持向量機(jī)算法，利用PSO 算法優(yōu)化LSSVM的懲罰系數(shù)及核函數(shù)參數(shù)，解決最小二乘支持向量機(jī)在建模過程中懲罰系數(shù)及核函數(shù)參數(shù)難以確定的問題。以汽車座椅安全帶拉伸試驗為對象，采用PSO-LSSVM 對安全帶拉伸試驗建模，考慮安全帶拉伸試驗主要影響因素的概率密度函數(shù)，對其進(jìn)行拉丁超立方試驗設(shè)計，最后通過蒙特卡羅方法實現(xiàn)對安全帶拉伸試驗的不確定度分析，并以GUM 法對安全帶拉伸試驗的不確定度分析作為參考。

1 安全帶拉伸試驗不確定度影響因素

1.1 安全帶拉伸試驗簡介

安全帶是汽車發(fā)生碰撞過程中保護(hù)乘駕人員安全的基本裝置，試驗按照GB14167—2013 程序設(shè)置，座椅通過拉力F1和F2分別對上、下人體模塊施加載荷，如圖1 所示。對于M1 和N1 車型，對上下人體模塊沿車輛縱向中心平面與水平方向成向上10±5 °的方向施加試驗載荷，其中上人體模塊施加13 500±200 N 的試驗載荷，下人體模塊施加相對座椅質(zhì)量20 倍的載荷。試驗過程中在4 s內(nèi)加載到國標(biāo)規(guī)定值并至少持續(xù)0.2 s，且安全帶固定點不能失效，并且不能超過對應(yīng)的參考面。

圖1 安全帶拉伸試驗設(shè)置Fig.1 Safety belt tensile test setup

1.2 主要影響因素及其概率密度分布函數(shù)

安全帶拉伸試驗是最為復(fù)雜的汽車座椅靜態(tài)試驗，試驗設(shè)置參數(shù)有很多，主要跟假臀和假胸的位置參數(shù)有關(guān)。根據(jù)試驗標(biāo)準(zhǔn)和經(jīng)驗，安全帶拉伸試驗的主要影響因素有：假胸中心點與調(diào)角器中心點的豎直距離A、假胸傾斜的角度J、假胸與調(diào)角器的水平距離B、正視圖中假胸中心線到安全帶插口的水平距離O，如圖2 所示。

根據(jù)工程師經(jīng)驗和一般統(tǒng)計規(guī)律可以得出A為韋布爾分布，J，B和O均為正態(tài)分布。

以某型號汽車座椅安全帶拉伸試驗為例，以B和O的尺寸上下極限值作為其各自概率密度分布95%置信區(qū)間的上下限，由概率統(tǒng)計區(qū)間估計可得出B，J，O的正態(tài)分布參數(shù)。正態(tài)分布函數(shù)記作N(μ,σ2)， 其中： μ決 定了其位置； σ決定了分布的幅度。同時對A設(shè)置韋布爾分布參數(shù)。韋布爾分布函數(shù)記作W(λ,k)，其中：λ為比例參數(shù)；k為形狀參數(shù)。A，B，J，O的分布函數(shù)參數(shù)如表1所示。

圖2 安全帶拉伸試驗主要影響因素Fig.2 Main influencing factors of safety belt tensile test

表1 A，B，J，O 的分布函數(shù)參數(shù)Tab.1 Distribution function parameters of A，B，J，O

2 安全帶拉伸試驗設(shè)計及仿真

2.1 有限元模型

考慮到安全帶拉伸試驗的成本和一些不可控因素的影響，汽車座椅安全帶拉伸試驗有限元模型的建立是本文進(jìn)行不確定度分析的基礎(chǔ)。依據(jù)GB14167—2013 規(guī)定的試驗方法，結(jié)合某車型利用ANSA 軟件對汽車座椅進(jìn)行有限元建模。安全帶拉伸試驗有限元模型如圖3 所示。

2.2 影響因素的試驗設(shè)計

為了建立安全帶拉伸試驗輸出和輸入?yún)?shù)之間的數(shù)學(xué)模型，需要在不同輸入?yún)?shù)下進(jìn)行多組安全帶拉伸試驗，以便有足夠的數(shù)據(jù)來建模[11]。當(dāng)試驗次數(shù)為固定值時，拉丁超立方采樣設(shè)計非常適用。拉丁超立方采樣設(shè)計對每個因子的水平數(shù)沒有限制，適用于響應(yīng)呈現(xiàn)非線性情況。抽樣步驟如下：

步驟1選定設(shè)計變量，并初始化各個變量的分布區(qū)間，其各個輸入?yún)?shù)概率密度函數(shù)如表1所示。

圖3 安全帶拉伸試驗有限元模型Fig.3 Finite element model of safety belt tensile test

步驟2確定抽樣次數(shù)l，考慮到設(shè)計變量的個數(shù)和試驗成本，設(shè)定樣本數(shù)為30。因為采取了拉丁超立方的方法抽樣，30 組樣本能準(zhǔn)確地反映輸入概率分布中值的分布，具有足夠的代表性，得到的抽樣樣本具有足夠的建模精度。增加樣本數(shù)并不能對模型的精度有很高的提升，同時會增加訓(xùn)練樣本的時間。將每個變量xD=(A,J,B,O)按其分布函數(shù)將縱坐標(biāo)軸分成l個等分，每一等分寬度是1/l。為第D個變量的第L次抽樣值，如圖4所示。

圖4 考慮概率密度分布的拉丁超立方抽樣Fig.4 Latin hypercube sampling considering probability density distribution

步驟3產(chǎn)生一個30×4 的矩陣，其每一行都是（1，l）整數(shù)隨機(jī)序列，是該矩陣的第L行D列元素。

步驟4產(chǎn)生一個30×4 的矩陣，其每個元素均服從[0,1]均勻分布，是該矩陣的第L行D列元素。

步驟5通過計算得到30×4 的采樣矩陣，為其L行D列元素。則

式中：L=1, 2, ···,l;D=1,2,···,d。

步驟6顯示拉丁超立方抽樣的30 組數(shù)據(jù)，如表2 所示。結(jié)合汽車座椅安全帶拉伸試驗有限元模型，根據(jù)試驗號調(diào)整有限元模型中影響因素A，B，J，O的尺寸，可以得到安全帶固定點X方向的位移BUCKLE_X，如表2 所示。

表2 安全帶拉伸試驗數(shù)據(jù)樣本Tab.2 Data samples of safety belt tensile test

3 建模方法結(jié)果分析

選擇采樣得到前面20 組樣本作為訓(xùn)練集，后面10 組樣本作為預(yù)測集。利用粒子群優(yōu)化算法來尋找最小二乘支持向量機(jī)核函數(shù)參數(shù)和正則化參數(shù)的最優(yōu)值。設(shè)置粒子群的種群數(shù)為30，最大迭代次數(shù)為40，學(xué)習(xí)因子均為1.5，正則化參數(shù)的取值范圍為[0.1,1 000]，核函數(shù)參數(shù)的取值范圍為[0.01,1 000]。運用Matlab 軟件運行PSO-LSSVM 模型，將尋找到的最優(yōu)核函數(shù)參數(shù)和正則化參數(shù)重新更新，最終獲得核函數(shù)參數(shù)為49.152 4，正則化參數(shù)為43.189 0。用訓(xùn)練好的PSO-LSSVM 優(yōu)化模型對安全帶拉伸試驗進(jìn)行預(yù)測。

為了驗證和說明提出方法的有效性，采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行對比。其中BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)置成輸入層4 個節(jié)點、隱含層3 個節(jié)點、輸出層1 個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)，隱含層和輸出層都是tansig 激活函數(shù)。預(yù)測結(jié)果如圖5 所示，PSO-LSSVM 的預(yù)測結(jié)果與真實值更為接近，參數(shù)優(yōu)化有效。因此采用PSO-LSSVM 建立安全帶拉伸試驗數(shù)學(xué)模型能有效地預(yù)測BUCKLE_X。

圖5 PSO-LSSVM 與BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模對比Fig.5 Comparison of PSO-LSSVM and BP neural network modeling

為了評估回歸模型的預(yù)測能力，通常采用兩個重要指標(biāo)來驗證模型精度，即平均相對誤差emr和均方誤差ems，其值越小，代表模型性能越好。其中，平均相對誤差是指預(yù)測值y?i與真實值yi的絕對誤差在真實值中所占比例的平均值，其計算公式為

均方誤差是指真實值與預(yù)測值差值的平方的期望值，其計算公式為

運用emr和ems兩個回歸預(yù)測性能指標(biāo)，得到BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和PSO-LSSVM 兩種不同建模方法的emr和ems，其中PSO-LSSVM 和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果的emr分別為0.38%和0.63%，ems分別為0.31 和1.07，如表3 所示。

表3 PSO-LSSVM 與BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的MRE/MSE 對比圖Tab.3 MRE / MSE comparison between PSO-LSSVM and BP neural network

通過表3 對比可知，不論是平均相對誤差還是均方誤差，PSO-LSSVM 建立的數(shù)學(xué)模型精度都要高于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其精度滿足后續(xù)不確定度評定要求。在模型計算效率方面，采用4 核i5-7 300、主頻2.5 GHz 的CPU 計算機(jī)運行模型，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)運行時間雖然較長，但在可接受范圍之內(nèi)。

4 安全帶拉伸試驗不確定度評定

蒙特卡羅法（Monte Carlo method，MCM）[14-15]，與GUM 法不同，其采用分布傳播方式來確定輸出量的概率密度函數(shù)、估計值、不確定度以及包含概率區(qū)間。基于PSO-LSSVM 安全帶拉伸試驗的蒙特卡羅不確定度評定方法步驟如下所示：

步驟1蒙特卡洛法輸入

a.定義需要被測量的量（輸出量），安全帶拉伸試驗需要測量的量是BUCKLE_X；x1,x2,···,xd，安全帶拉伸試驗的不確定度來源是x1,x2,···,xd=(A,J,B,O)；

b.確定與輸出量BUCKLE_X相關(guān)的輸入量

c.建立輸入量x1,x2,···,xd與輸出量BUCKLE_X的測量模型；選PSO-LSSVM 建立輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型；

d.為輸入量x1,x2,···,xd設(shè)定其概率密度函數(shù)；其中A符合韋伯爾分布，B，J，O符合正態(tài)分布；

e.選擇蒙特卡羅試驗次數(shù)M的大?。槐驹囼炦x擇試驗次數(shù)M=106，因為M=106會為輸出量BUCKLE_X提供95%的置信區(qū)間。

步驟2蒙特卡洛法傳播

a.從輸入量x1,x2,···,xd的概率密度分布函數(shù)中抽 取106個 樣 本 值為第D個變量第R個樣本值；

b.計算輸出量BUCKLE_X的模型值(R=1,2···,M)。

步驟3蒙特卡羅法輸出與結(jié)果

a.將這M個輸出量按嚴(yán)格遞增的順序排序，通過排序模型得到輸出量的分布函數(shù)如圖6 所示。

圖6 輸出量的概率密度分布函數(shù)Fig.6 Probability density distribution function of output

b.確定被測量BUCKLE_X的估計值y、標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y)，以及在給定包含概率95%時被測量BUCKLE_X的包含區(qū)間 [yl,yh]，如表4 所示。

表4 基于PSO-LSSVM 的安全帶拉伸試驗蒙特卡羅法不確定度分析結(jié)果Tab.4 Uncertainty analysis results of safety belt tensile test MCM method based on PSO-LSSVM

目前因為GUM 法使用普遍、計算簡單等優(yōu)點，其評定結(jié)果也可以用來作為參考。由GUM 法中的A 類評定可知，以30 組試驗數(shù)據(jù)得到的BUCKLE_X結(jié)果均值當(dāng)作估計值，平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)作BUCKLE_X的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，評定的結(jié)果如表5 所示。

表5 基于GUM 的A 類安全帶拉伸試驗不確定度分析結(jié)果Tab.5 Uncertainty analysis results of type a seat belt tensile test based on GUM

由表5 中A 類評定結(jié)果可知，除了估計值與蒙特卡羅模型得到的結(jié)果較接近外，標(biāo)準(zhǔn)不確定度和包含區(qū)間誤差都比蒙特卡羅評定的誤差大，標(biāo)準(zhǔn)不確定度從4.34 增加到4.95，增加了14%；95%包含的概率區(qū)間長度由16.94 增加到22.35，增加了32%。因為GUM 法規(guī)定的A 類評定在實際使用過程中只是對安全帶拉伸試驗BUCKLE_X位移進(jìn)行了統(tǒng)計分析，沒有體現(xiàn)出試驗影響因素到試驗結(jié)果的不確定度傳遞，且樣本數(shù)目不多，因此GUM 法評定安全帶拉伸試驗不確定度的精度較低，也進(jìn)一步證實了GUM 法不適用于復(fù)雜試驗的不確定度分析。

5 結(jié) 論

研究了汽車座椅安全帶拉伸試驗主要影響因素和概率密度函數(shù)參數(shù)，采用拉丁超立方方法進(jìn)行了試驗設(shè)計。

通過PSO 算法優(yōu)化了LSSVM 的懲罰系數(shù)和核函數(shù)參數(shù)，構(gòu)建了汽車座椅安全帶拉伸試驗回歸預(yù)測模型，并結(jié)合BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了比較。結(jié)果表明：采用PSO-LSSVM 方法能夠建立有效的安全帶拉伸試驗預(yù)測模型，該模型的平均相對誤差為0.38%，均方誤差為0.31，具有較高的準(zhǔn)確性。

結(jié)合PSO-LSSVM 建模結(jié)果，采用蒙特卡羅方法對安全帶拉伸試驗進(jìn)行了不確定度分析，并且參考了傳統(tǒng)GUM 法A 類不確定度評定。結(jié)果表明：由于安全帶拉伸試驗的強(qiáng)非線性，基于PSOLSSVM 的蒙特卡羅不確定度分析適用于此復(fù)雜試驗；GUM 法不適用于非線性復(fù)雜試驗的不確定度分析。