高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探索

馬云豪

[摘 要]數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的重要橋梁，作為數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要表現(xiàn)形式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中越來(lái)越受到重視.探索數(shù)學(xué)建模教學(xué)能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模;銀行貸款;核心素養(yǎng)

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）05-0009-02

一、數(shù)學(xué)建模于數(shù)學(xué)教育的意義

2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，首次提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模在列.數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模構(gòu)建了“[提出問(wèn)題→建立模型→解決問(wèn)題]”的程序鏈.課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)建模的過(guò)程進(jìn)行了細(xì)化解釋?zhuān)涸趯?shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題.

數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的橋梁，及數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要形式，正日益受到重視.

二、數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例

基于以上認(rèn)識(shí)，筆者選擇滬教版高一年級(jí)數(shù)列教學(xué)中的《銀行貸款問(wèn)題》做了初步嘗試.

案例教學(xué)——銀行中的數(shù)學(xué).

問(wèn)題1：某銀行利率如表1，現(xiàn)馬老師向他人借了100萬(wàn)元，打算整存整取存入銀行，

（1）按一年期定期儲(chǔ)蓄，到期后共可獲得多少錢(qián)？

[1 000 000×（1+1.75%）=1 017 500]（元）.

（2）按三年期定期儲(chǔ)蓄，到期后共可獲得多少錢(qián)？

[1 000 000×（1+2.75%）=1 027 500]（元）.

（3）按半年期定期儲(chǔ)蓄，到期后共可獲得多少錢(qián)？

[1 000 000×1+1.75%12×6=1 008 750]（元）.

設(shè)計(jì)問(wèn)題1，以此來(lái)幫助學(xué)生復(fù)習(xí)存款問(wèn)題，同時(shí)理解期數(shù)的概念，進(jìn)而引入借貸問(wèn)題.

問(wèn)題2：馬老師最近打算購(gòu)置新房，打算向他人借取100萬(wàn)元，分期15年，逐月歸還，請(qǐng)你幫他計(jì)算一下，每個(gè)月需要還多少錢(qián)？

[1 000 000÷180=50 0009]（元）.

問(wèn)題2的設(shè)計(jì)是希望學(xué)生能夠聯(lián)系實(shí)際，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，意識(shí)到在借貸問(wèn)題中還需要考慮利息因素，從而引出銀行貸款中的利率問(wèn)題.

問(wèn)題3：馬老師計(jì)劃向銀行申請(qǐng)公積金貸款100萬(wàn)元，分期15年，共計(jì)180期歸還，公積金貸款年化利率為3.25%.銀行為馬老師提供了一種等額本金的還款方式，既在還款期內(nèi)把貸款數(shù)總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余貸款在該月所產(chǎn)生的利息.

每月還款金額= [貸款本金期數(shù)]+（本金-已歸還本金累計(jì)額）×每期利率.

（1）馬老師第一期需還款多少錢(qián)？

（2）馬老師第三期需還款多少錢(qián)？

（3）馬老師第n期需還款多少錢(qián)？

設(shè)數(shù)列[an]表示每期所還利息，數(shù)列[bn]表示每期還款金額，數(shù)列[cn]表示每期還款后所欠本金.

教師首先給出等額本金還款方式的模型，學(xué)生需要根據(jù)題目提供的信息理解模型.其中理解的難點(diǎn)有：①每期利率;②已歸還本金累計(jì)額.教學(xué)時(shí)可以通過(guò)表格的方式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三個(gè)數(shù)列做不完全歸納，從而得出第n期還款額的通項(xiàng)公式：

問(wèn)題4：馬老師每月工資為8 000元，無(wú)法承擔(dān)等額本金前期的還款金額，已知公積金貸款最高貸款額為100萬(wàn)元，最長(zhǎng)貸款年數(shù)為30年，貸款利率為3.25%，馬老師依然計(jì)劃申請(qǐng)公積金貸款，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一個(gè)貸款方案，每期需還款多少錢(qián)？

該問(wèn)題的設(shè)計(jì)主要是希望學(xué)生體會(huì)到建模過(guò)程中如何確定和調(diào)整參數(shù).

方案一：降低貸款總額，當(dāng)貸款總額降低到96萬(wàn)元，首期還款為7 933.33元，之后逐期減少，馬老師可以承擔(dān).

方案二：延長(zhǎng)貸款年限，當(dāng)貸款年限為30年時(shí)，首期還款為5 486.11元，之后逐期減少，馬老師可以承擔(dān).

問(wèn)題5：馬老師依然覺(jué)得無(wú)法接受等額本金前期的還款金額，于是銀行提出另一種還款方式，既等額本息還款方式：在還款期內(nèi)，每期償還同等數(shù)額的貸款（包括本金和利息），貸款的利息按復(fù)利計(jì)算.馬老師依然計(jì)劃申請(qǐng)公積金貸款100萬(wàn)元，分360期歸還，公積金貸款利率為3.25%，則每期需還款多少錢(qián)？360期后總共還款多少錢(qián)？

問(wèn)題5設(shè)計(jì)了生活中常用的等額本息的還款方式，是希望學(xué)生能從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，分析問(wèn)題，建立模型，從而解決實(shí)際問(wèn)題.

在教學(xué)過(guò)程中，教師使用遞推法來(lái)幫助學(xué)生理解問(wèn)題5.對(duì)問(wèn)題5部分參數(shù)進(jìn)行改變，進(jìn)而探求一般化情況.

設(shè)第n期還款后欠銀行的本金為數(shù)列[an]，初始值[a0]元（即貸款金額），每期利率為[β]，總期數(shù)為m，每期需還款A(yù)元，則數(shù)列[an]滿(mǎn)足遞推公式：

三、對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的反思

1.數(shù)學(xué)建模教學(xué)需要充分的鋪墊.本課時(shí)原計(jì)劃在一節(jié)課的時(shí)間內(nèi)對(duì)等額本金和等額本息兩種還款方式都讓學(xué)生進(jìn)行體驗(yàn)和探索.而學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的很多背景材料都很陌生，需要教師進(jìn)行解釋?zhuān)瑫r(shí)學(xué)生還需要對(duì)兩種還款方式進(jìn)行計(jì)算求解，能有充足的時(shí)間參與到數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中.因此，在實(shí)際教學(xué)中，可將本課時(shí)的內(nèi)容拆分成兩課時(shí)進(jìn)行教學(xué).因此，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，對(duì)建模材料的鋪墊必須要充分，教師需要對(duì)時(shí)間有足夠的估計(jì).

2.問(wèn)題設(shè)計(jì)要與數(shù)學(xué)建模的環(huán)節(jié)有清晰的對(duì)應(yīng).教學(xué)設(shè)計(jì)中對(duì)問(wèn)題的設(shè)計(jì)能對(duì)應(yīng)到數(shù)學(xué)建模的某個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)進(jìn)行分解，能針對(duì)某個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行訓(xùn)練.如本課時(shí)中，進(jìn)行了如下設(shè)計(jì).

3.參數(shù)調(diào)整能夠有效地提升學(xué)生對(duì)建模的理解.如本課時(shí)問(wèn)題4的設(shè)計(jì)，學(xué)生通過(guò)調(diào)整貸款總額和貸款年限進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).實(shí)際上，數(shù)學(xué)建模是非常復(fù)雜的過(guò)程，數(shù)學(xué)建模教學(xué)需要區(qū)分與現(xiàn)有教學(xué)的區(qū)別.如果僅僅是面面俱到的教學(xué)，效果可能未必好.因此，建模教學(xué)可以仿照函數(shù)教學(xué)，對(duì)建?；顒?dòng)的每個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行分割，分步教學(xué).

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 朱江紅.等比累進(jìn)還款法與等額累進(jìn)還款法的數(shù)學(xué)模型[J].滄州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2017（2）：6-9.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）