加入“相差百分率”，讓百分數(shù)知識結構更穩(wěn)固

姜俊波

[摘 要]路程、速度、時間是行程問題中的三個元素，只要存在其一個，另外兩個必然伴隨，因而三者構成的是一個互為犄角、相互依存的三角結構。像這樣的邏輯結構在數(shù)量關系中不勝枚舉，而這也是數(shù)學學科的一大特性。在百分數(shù)知識結構中，相差百分率、比較量和參考量三者也構成一個三角結構，在百分數(shù)中加入相差百分率，讓百分數(shù)知識結構更穩(wěn)固，知識條理也更清析。

[關鍵詞]探源;基準;分數(shù);分率

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）08-0018-02

百分數(shù)應用題中也存在類似行程問題中的三角結構關系。因此，教師在教學中要有意識地培養(yǎng)學生運用數(shù)量關系的自覺性，以便學生能夠完整理解百分數(shù)的相關知識，做到融會貫通。下面以北師大版教材為例，就百分數(shù)教學中遇到的困惑提出一點淺見。

一、教材結構分布情況探源

為方便敘述，下文統(tǒng)一以“比較量”和“參考量”表示兩個數(shù)量，“相差幾分之幾”稱為“相差分率”，“相差百分之幾”稱為“相差百分率”。

分析上表，筆者發(fā)現(xiàn)一個奇怪的現(xiàn)象：在分數(shù)應用題里只出現(xiàn)比較量、參考量二元結構，沒有形成一個穩(wěn)定的“三角結構”，“相差分率”這個元素嚴重缺位，到了百分數(shù)應用題中，“相差百分率”又突然冒出來，原來的二元結構忽然變成“三角結構”，而且求相差百分率的知識甚至比求比較量和參考量的知識還要提前。這種倒序的教學安排不得不令筆者困惑。

二、診斷病因，解除困惑

1.為何分數(shù)應用題中鮮有“求相差分率”題型？

綜觀各版本小學數(shù)學教材，在分數(shù)應用題中有關“求相差分率”的題型幾乎沒有，只有在人教版（2002年）中隱約尋覓到其蹤跡，該版本教材中有“櫻桃樹15棵，李子樹20棵，李子樹的棵數(shù)比櫻桃樹多幾分之幾”的練習題。在日常口語交際中，人們習慣用百分率來指代兩個數(shù)字的相差分率，這種約定俗成的用語，切合了課程標準下教材在編寫之初的宗旨和方針，讓學生在“解決實際問題”的過程中關注生活經(jīng)驗，還原生活實景，尊重人們的生活規(guī)律和習慣，杜絕與世隔絕做數(shù)學題的陋規(guī)。正因如此，“求相差分率”類型的應用題在新版教材中銷聲匿跡了。

2.為何先學“求相差百分率”？

站在學生的角度上看，百分數(shù)應用題中“求比較量”和“求參考量”比“求相差百分率”簡單得多，為什么舍易求難、舍近求遠，先學“求相差百分率”呢？在分數(shù)應用題中，“求相差分率”的題型一直處于斷層狀態(tài)，到了六年級，學生首次接觸百分數(shù)應用題中的“求相差百分率”類型的題目時就有些始料未及，失去知識鋪墊的教學孤立無援，開展起來也異常艱難。換一種思路，同樣是百分數(shù)應用題，其中“求比較量”和“求參考量”兩種題型，因為有了分數(shù)應用題的練習成果作為基石，學生只需要將分數(shù)應用題中“求比較量”和“求參考量”的相關知識遷移到百分數(shù)中即可，這對學生來說比較容易理解。

3.為什么百分數(shù)中“求參考量”的習題只出現(xiàn)在“百分數(shù)應用（三）”的“練一練”中？

因為求參考量是一個倒推的過程，需要用到逆向思維。當一個題目告知比較量時，必定同時告知比較量與參考量的相差百分率，而這個相差百分率具有反向作用。順向思考采用的是方程解法和單位“1”解法，而逆向思考時都必須轉換角度和數(shù)據(jù)，才能解答，這兩種思維學生的掌握都欠火候。從前文中的統(tǒng)計表中不難發(fā)現(xiàn)：百分數(shù)應用題中的“求參考量”題型用“成數(shù)”來表示相差百分率，自從在“練一練”中首次露面后，就一直被教材沿用。這其中也存在爭議，因為這種表述方式會影響教師對教學重難點的把握。

當然，情況也不全是這樣，青島版教材就是例外，只出現(xiàn)表格中前三種題型，而刪減了百分數(shù)中關于“求比較量”和“求參考量”的題型。業(yè)界一致認為，教材在編排上的原意是用這三種基本題型來搭建百分數(shù)應用題的邏輯結構。

三、補充相差百分率，完善知識結構

1.分數(shù)應用題中“求相差分率”的存在是合理的。

“比較量a”“參考量b”和“相差分率c”三個量是互為支撐的三角結構，它們的內在聯(lián)系十分緊密：（a-b）÷b=c、b×（1+c）=a，a÷（1+c）=b。在生活中，“相差分率”很少被提及，學生的相關經(jīng)驗不足;又因為涉及“相差分率”的問題是兩步計算的題目，所以理解起來阻礙重重，但為了學生的技能發(fā)展考慮，就必須讓學生掌握。同時，“求相差分率”的算理也是理解“求相差百分率”的基礎。教師有時也難免陷入誤區(qū)，即將教材中百分數(shù)知識的三大題型劃分為兩類：一類是求分率（倍率），即求兩個實量的分數(shù)形態(tài)的差距，如“求一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）百分之幾”;另一類是根據(jù)兩個實量的差距求其中一個未知實量，如根據(jù)已知的“比較量”和“差率”來求未知的“參考量”，或者根據(jù)已知的“參考量”和“差率”來求未知的“比較量”。如果只是這樣簡單粗陋的分類，那么對學生知識體系的建構和邏輯思維的發(fā)展是相當不利的。

2.要先易后難，建構知識體系。

不管教材出于何種考慮，也不管編者出于何種用意，無論是為了符合生活實際，還是為了減輕學生負擔，教師都要對這一類應用題的訓練規(guī)則了如指掌。

教學“求相差百分率”時，教師一定要對學生說明學習“求相差百分率”這種題型的必要性。這不是教師故意增加學生的學習負擔，而是要引導學生主動將“比較量”“參考量”和“相差分率（或相差百分率）”三個量合體，建構規(guī)范的數(shù)量關系公式。

在教學百分數(shù)應用題“求比較量”后，教師應及時教學“求參考量”，在“相差百分率”的牽引下，將二者來回推導，這樣做也能保證六年級上冊教材“百分數(shù)的應用”和五年級下冊教材“分數(shù)混合運算”形成“大一統(tǒng)”的局面。當然，如果從學生的認知起點看，將“求相差百分率”后置于“求比較量”和“求參考量”，也是一個很好的補救措施。

尊重教材，但不唯教材是從。我們一線教師應該著眼知識本質，積極探尋重點知識，并從中窺探知識的整體框架和教學規(guī)律，有效提升學生的思維水平，同時也提高自己的教學水平。

（責編 李琪琦）