高考數(shù)學(xué)開放性問題的類型及求解探索

童其林

高考評價(jià)體系由“一核四層四翼”組成，其中，“一核”是高考的核心功能，即“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”，回答“為什么考”的問題;“四層”為高考的考查內(nèi)容，即“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”，回答“考什么”的問題;“四翼”為高考的考查要求，即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”，回答“怎么考”的問題. 那么，在“四翼”考查要求下，有哪些命題原則？在“四翼”考查要求下，新高考有哪些新題型？

一般來說，在“四翼”考查要求下，新高考數(shù)學(xué)有以下三個(gè)命題原則：一是注重學(xué)科間的滲透和交叉，適當(dāng)增加具有自然科學(xué)和社會(huì)人文學(xué)科情境的試題，促進(jìn)學(xué)科間的融合以及對核心素養(yǎng)的有效考查;二是關(guān)注探究能力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的考查，設(shè)計(jì)結(jié)論開放、解題方法多樣、答案不唯一、結(jié)構(gòu)不良的試題，增強(qiáng)試題的開放性和探究性，對學(xué)生的創(chuàng)新能力進(jìn)行考查;三是通過調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)，打破固有模式，探索試題排列新方式，努力破除復(fù)習(xí)備考中題海戰(zhàn)術(shù)和套路訓(xùn)練的影響.

在“四翼”考查要求下，新高考數(shù)學(xué)將有以下五種新題型：一是多選題，選擇題答案不唯一，存在多個(gè)正確選項(xiàng);二是邏輯思維題，以日常生活情境考查推理、論證、比較、評價(jià)等邏輯思維能力;三是數(shù)據(jù)分析題，給出一些材料背景，以及相關(guān)數(shù)據(jù)，要求考生讀懂材料，獲取信息，根據(jù)材料給出的情境、原理以及猜測等，自主分析數(shù)據(jù)，得出結(jié)論，并解決問題;四是舉例題，要求考生通過給出的已知結(jié)論、性質(zhì)和定理等條件，從題干中獲取信息，整理信息，寫出符合題干的結(jié)論或具體實(shí)例;五是開放題，問答題開放設(shè)問，答案并不唯一，要求考生能綜合運(yùn)用所學(xué)知識，進(jìn)行探究，分析問題并最終解決問題.

本文主要談?wù)勯_放性問題的類型及求解. 所謂開放型問題是相對有明確條件和明確結(jié)論的封閉式問題而言的，是指題目的條件不完備或結(jié)論不確定的問題.

一、條件開放型

這類題目的特點(diǎn)是給出了題目的結(jié)論，但沒有給出滿足結(jié)論的條件，并且這類條件常常是不唯一的，需要解題者從結(jié)論出發(fā)，通過逆向思維去判斷能夠追溯出產(chǎn)生結(jié)論的條件，并通過推理予以確認(rèn).這種條件探究性問題實(shí)質(zhì)上是尋找使命題為真的充分條件（未必是充要條件）.解決此類問題的策略有兩種，一種是將結(jié)論作為已知條件，逐步探索，找出結(jié)論成立所需的條件，這也是我們通常所說的“分析法”;第二種是假設(shè)題目中指定的探索條件，把它作為已知，并結(jié)合其他題設(shè)進(jìn)行推導(dǎo)，如果能正確推導(dǎo)出結(jié)論，則此探索條件就可以作為題設(shè)條件，直覺聯(lián)想、較好的洞察力都將有助于這一類問題的解答.

例1. 如圖，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件__________時(shí)，有A1C⊥B1D1（注：填上你認(rèn)為正確的條件即可，不必考慮所有可能的情況）

解析：本題是條件探索型試題，即尋找結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充分條件，由AA1⊥平面A1C1以及A1C⊥B1D1（平面A1C1的一條斜線A1C與面內(nèi)的一條直線B1D1互相垂直），容易聯(lián)想到三垂線定理及其逆定理. 因此，欲使A1C⊥B1D1，只需B1D1與CA1在平面A1C1上的射影垂直即可. 顯然，CA1在平面A1C1上的射影為A1C1，故當(dāng)B1D1⊥A1C1時(shí)，有A1C⊥B1D1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，從而B1D1∥BD，A1C1∥AC. 因此，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，有A1C⊥B1D1. 由于本題是要探求使A1C⊥B1D1成立的充分條件，故當(dāng)四邊形ABCD為菱形或正方形時(shí)，依然有BD⊥AC，從而有A1C⊥B1D1，故可以填：①AC⊥BD或②四邊形ABCD為菱形，或③四邊形ABCD為正方形中的任一個(gè)條件即可.

點(diǎn)評：AC⊥BD是結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充要條件，而所填的ABCD是正方形或菱形則是使結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的條件.本例中，滿足題意的充分條件不唯一，具有開放性特點(diǎn)，這類試題重在考查基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用以及歸納探索能力.

例2. 有一道題目由于紙張破損，有一條件看不清楚，具體如下：

在△ABC中，已知a=■，____________，2cos2（■）=（■-1）cosB，求角A.

經(jīng)推斷，破損處的條件為三角形一邊的長度，該題的答案A=60°是唯一確定的，試將條件補(bǔ)充完整，即空白處應(yīng)填的條件是__________.

解析：2cos2（■）=（■-1）cosB？圳2·■=（■-1）cosB？圳cosB=■.

又B∈（0°， 180°），所以B=45°.

（1）■=■？圯b=■，

檢驗(yàn)：■=■？圳■=■？圳sinA=■，又A∈（0°， 180°），且a>b，所以A=60°或者A=120°，這與已知角A的解為唯一解矛盾.

（2）B=45°，又A=60°，所以C=75°，

■=■？c=■.

檢驗(yàn)：■=■？圳■=■？圳sinA=■. 又A∈（0°，180°），且c>a，所以A=60°.

故應(yīng)填的條件是：c=■.

點(diǎn)評：本題所求的邊要么是b，要么是c，但還要滿足三角形存在這個(gè)條件，所以檢驗(yàn)是必要的，否則容易忽視隱含條件而引起錯(cuò)誤.

例3. 在①ac=■，②csinA=3，③c=■b這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A， B， C的對邊分別為a， b， c，且sinA=■sinB，C=■，________？

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解析：在△ABC中，它的內(nèi)角A， B， C的對邊分別為a， b， c，且sinA=■sinB，C=■，這是公共條件. 在此條件下，從①ac=■，②csinA=3，③c=■b這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求問題中的三角形是否存在，若存在，求c的值，若不存在，說明理由.

公共條件怎樣用？通常有兩種轉(zhuǎn)化方法，一是在sinA=■sinB中，利用正弦定理角化邊，得到a，b的比例關(guān)系，再設(shè)出長度長度，由余弦定理得到c的長度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解;二是利用誘導(dǎo)公式和兩角和的三角函數(shù)公式求得tanA的值，得到角A， B， C的值，然后根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解. 具體解法有如下幾種：

解法一：由sinA=■sinB可得：■=■，不妨設(shè)a=■m，b=m（m>0），

則c2=a2+b2-2abcosC=3m2+m2-2×■m×m×■=m2，即c=m.

選擇條件①的解法：

據(jù)此可得：ac=■m×m=■m2=■，∴ m=1，此時(shí)c=m=1.

選擇條件②的解法：

據(jù)此可得：cosA=■=■=-■，

則sinA=■=■，此時(shí)：csinA=m×■=3，則：c=m=2■.

選擇條件③的解法：

可得■=■=1，c=b，

與條件c=■b矛盾，則問題中的三角形不存在.

解法二：∵ sinA=■sinB，C=■，B=？仔-（A+C），

∴ sinA=■sin（A+C）=■sin（A+■），

sinA=■sin（A+■）=■sinA·■+■cosA·■，

∴sinA=-■cosA，∴tanA=-■，∴A=■，∴B=C=■，

若選①，ac=■，∵a=■b=■c，∴■c2=■，∴ c=1;

若選②，csinA=3，則■=3，c=2■;

若選③，與條件c=■b矛盾.

點(diǎn)評：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍.

值得注意的是，本例屬于結(jié)構(gòu)不良問題.結(jié)構(gòu)不良的問題并不是指問題本身有什么錯(cuò)誤或者不恰當(dāng)，而是指它沒有明確的結(jié)構(gòu)或者解決途徑. 例如，修電腦，其初始狀態(tài)不明確，要先檢查電腦故障狀態(tài)在哪？再如，讓學(xué)生考察當(dāng)?shù)爻鞘协h(huán)境污染狀況，寫一篇論文，其初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)、甚至問題的解決方案都不明確，是名副其實(shí)的結(jié)構(gòu)不良問題. 近年來，結(jié)構(gòu)不良問題引起了研究者的關(guān)注，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中充斥著大量結(jié)構(gòu)不良問題需要解決者從諸多現(xiàn)象中自己分析、設(shè)計(jì)出解決方案. 數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)不良”問題比開放性問題的范疇更大、更廣.

二、結(jié)論開放型

這類題目的特點(diǎn)是給出一定的條件，要求從條件出發(fā)去探索結(jié)論，而結(jié)論往往是不唯一的，甚至是不確定的，或給出特例后通過歸納得出一般性結(jié)論. 解決此類問題的策略有：從已知條件出發(fā)，運(yùn)用所學(xué)過的知識進(jìn)行推理、探究或?qū)嶒?yàn)得出結(jié)論;通過歸納得出一般性結(jié)論，再去證明;對多種結(jié)論進(jìn)行優(yōu)化（內(nèi)含分類討論）等.

例4 老師給出一個(gè)函數(shù)y=f（x），四個(gè)學(xué)生甲、乙、丙、丁各指出這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：

甲：對于x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）;

乙：在（-∞， 0] 上函數(shù)遞減;

丙：在（0， +∞）上函數(shù)遞增;

?。篺（0）不是函數(shù)的最小值.

如果其中恰有三個(gè)人說得正確，請寫出一個(gè)這樣的函數(shù)：____________.

解析：首先看甲的話，所謂“對于x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）”，其含義即為：函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對稱.數(shù)形結(jié)合，不難發(fā)現(xiàn)：甲與丙的話相矛盾.（在對稱軸的兩側(cè)，函數(shù)的單調(diào)性相反）

因此，我們只需選擇滿足甲、乙、丁（或乙、丙、?。l件的函數(shù)即可.

如果我們希望找到滿足甲、乙、丁條件的函數(shù)，則需要認(rèn)識到：所謂函數(shù)在（-∞，0]上單調(diào)遞減，并不是說函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間只有（-∞，0].考慮到關(guān)于直線x=1的對稱性，我們不妨構(gòu)造函數(shù)，使之在（-∞，1] 上單調(diào)遞減，這樣，既不與乙的話矛盾，也滿足丁所說的性質(zhì).如f（x）=（x-1）2即可.

實(shí)際上，f（x）=（x-1）2+m（m∈R）都滿足題設(shè)，有無數(shù)個(gè).

如果希望找到滿足乙、丙、丁條件的函數(shù)，則分段函數(shù)是必然的選擇.如f（x）=-x+1， x≤0x， x>0.

實(shí)際上，f（x）=-x+k（k>0）， x≤0x， x>0也滿足題設(shè)，有無數(shù)個(gè).

點(diǎn)評：本題考查考生對于函數(shù)性質(zhì)的理解和掌握.思考這樣的問題，常常需要從熟悉的函數(shù)（一次、二次、反比例函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等）入手，另外，分段函數(shù)往往是解決問題的關(guān)鍵.另外，本題也是舉例題，屬于開放性問題的范疇.

例5. 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+1）與f（x+2）都為奇函數(shù)，則（）

A. f（x）為奇函數(shù)B. f（x）為周期函數(shù)

C. f（x+3）為奇函數(shù) D. f（x+4）為偶函數(shù)

解析：因?yàn)間（x）= f（x+1）是奇函數(shù)，所以g（-x）+g（x）=0，即f（-x+1）+ f（x+1）=0，所以f（x）關(guān)于（1，0）對稱，同理 f（-x+2）+ f（x+2）=0，f（x）關(guān)于點(diǎn)（2， 0）對稱.

因此，f（2-x）+ f（x）=0，f（（4-x）+ f（x）=0，所以f（2-x）=f（4-x），所以f（x）= f（2+x），所以f（x）是以2為周期的函數(shù). 所以f（x），f（x+3）f（x+4），均為奇函數(shù). ABC正確，所以選ABC.

點(diǎn)評：在新高考中（比如2020年高考的山東卷、海南卷），這樣的多選題一般有四道，通常設(shè)置在第9題至12題之間. 對于本題而言理解和記住函數(shù)對稱性和周期性的三個(gè)結(jié)論是很重要的：

定理1. 函數(shù) y= f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a， b）對稱的充要條件是f（x）+ f（2a-x）=2b.

推論1：函數(shù) y= f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對稱的充要條件是f（x）+ f（-x）=0.

推論2：函數(shù) y= f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a， b）對稱的充要條件是f（a+x）+ f（a-x）=2b.

定理2. 函數(shù) y= f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）= f（a-x），即f（x）= f（2a-x）.

推論：函數(shù) y= f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是

f（x）= f（-x）.

定理3. ①若函數(shù)y= f（x）圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A（a， c）和點(diǎn)B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y= f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b| 是其一個(gè)周期.

②若函數(shù)y= f（x）圖像同時(shí)關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y= f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b| 是其一個(gè)周期.

③若函數(shù)y= f（x）圖像既關(guān)于點(diǎn)A（a， c）成中心對稱又關(guān)于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y= f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期.

（以上結(jié)論的證明留給讀者）

例6. 已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）

A. a2+b2≥■B. 2a-b>■

C. log2a+log2b≥-2D. ■+■≤■

解析：對于A，a2+b2=a2+（1-a）2=2a2-2a+1=2（a-■）2+■≥■，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=■時(shí)，等號成立，故A正確;

對于B，a-b=2a-1>-1，所以2a-b>2-1=■，故B正確;

對于C， log2a+log2b=log2ab≤log2（■）2=log2■=-2，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=■時(shí)，等號成立，故C不正確;

對于D，因?yàn)椋ā?■）2=1+2■≤1+a+b=2，

所以■+■≤■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=■時(shí)，等號成立，故D正確，故選：ABD.

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

三、條件和結(jié)論都開放型

有些題目條件和結(jié)論都是不確定的，但是給出了一定量的信息和情景，要求解題者在題目給出的情景中，自行設(shè)定條件，自己尋找結(jié)論，自己構(gòu)建命題并進(jìn)行演繹推理.

例7. ？琢、？茁是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面？琢及？茁之外的兩條不同直線. 給出四個(gè)論斷：①m⊥n;②？琢⊥？茁;③n⊥？茁;④m⊥？琢. 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：______________.

解析：本題通過改變條件與結(jié)論之間呈現(xiàn)的順序與組合，使問題具備了探索性，將分析—猜想—證明的思維過程巧妙地融入了解題過程;同時(shí)也使問題具有了開放性，走出了數(shù)學(xué)答案唯一確定的誤區(qū). 它們以新穎的知識呈現(xiàn)方式改變考生的常規(guī)思維，考查考生的創(chuàng)新能力.

答案是：②③④？圯①或①③④？圯②.

例8. 三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A， B， C的對邊的長分別為a， b， c，有下列兩個(gè)條件：（Ⅰ）a， b， c成等差數(shù)列;（Ⅱ）a， b， c成等比數(shù)列.

現(xiàn)給出三個(gè)結(jié)論：

①0

請你選取給定的兩個(gè)條件中的一個(gè)條件為條件，三個(gè)結(jié)論中的兩個(gè)為結(jié)論，組建一個(gè)你認(rèn)為正確的命題，并證明之.

解析：可以組建如下正確的命題：

命題一：△ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列，求證：（Ⅰ）0

命題二：△ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列，求證：（Ⅰ）0

命題三：△ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列，求證：（Ⅰ）acosC+ccosA=■;（Ⅱ）1<■≤■.

命題四：△ABC中，若a、b、c成等比數(shù)列，求證：（Ⅰ）0

下面給予證明：

命題一：（Ⅰ）因?yàn)閍、b、c成等差數(shù)列，所以2b=a+c，故b=■.

cosB=■=■=■≥■=■.

又B∈（0， ？仔），所以0

（Ⅱ）acosC+ccosA=a×■+c×■=b=■.

命題二：（Ⅰ）同命題一（Ⅰ）.

（Ⅱ）■=■=cosB+sinB=■cos（B-■）.

因?yàn)?

cos（B-■）≤1，所以1<■cos（B-■）≤■.

命題三：可證明0

命題四：（Ⅰ）因?yàn)閍、b、c成等比數(shù)列，所以b2=ac，cosB=■=■≥■=■，且B∈（0， ？仔），所以0

（Ⅱ）同命題二（Ⅱ）.

點(diǎn)評：在考場上，只要四個(gè)命題中選擇一種，并證明即可，但在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該嘗試各種可能的情形進(jìn)行分析求解.

練習(xí)題

1. 設(shè)同時(shí)拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的四面分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體一次. 記事件A={第一個(gè)四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)};事件B={第二個(gè)四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)};C={兩個(gè)四面體向下的一面或者同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)或者同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)}. 給出下列說法：

① P（A）=P（B）=P（C）;② P（AB）=P（AC）=P（BC）;

③ P（ABC）=■;④ P（A）P（B）P（C）=■，

其中正確的有（ ）

A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)

2. 已知函數(shù)f（x）=lnx-x+■，給出下列四個(gè)結(jié)論，則所有正確結(jié)論是（ ）

A. 曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為x+y-1=0

B. f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)

C. f（x）既有最大值，又有最小值

D. 若x1x2>0且f（x1）+ f（x2）=0，則x1x2=1

3. 能說明“若f（x）>f（0）對任意的x∈（0，2]都成立，則f（x）在 [0， 2] 上是增函數(shù)“為假命題的一個(gè)函數(shù)是_________.

4. 已知l，m是平面？琢外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：① l⊥m;② m∥？琢;③ l⊥？琢.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________.

5. 已知△ABC的內(nèi)角 A， B， C 的對應(yīng)邊分別為 a， b， c，

在①■cosC（acosB+bcosA）=csinC;

② asin■=csinA;

③（sinB-sinA）2=sin2C-sinBsinA，

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，當(dāng)____________時(shí)，求sinA·sinB的最大值.

練習(xí)題參考答案

1. D. 2. ABD. 3. y=sinx，或者f（x）=0，x=04-x，x∈（0， 2]（答案不唯一）

4. 如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.

5. 解析：若選①，則由正弦定理■cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinCsinC，■cosCsin（A+B）=sinCsinC，■=tanC，C=■.

若選②，則由正弦定理知：

sinAsin■=sinCsinA，cos■=sinC=2sin■cos■

sin■=■，C=■.

若選③，則有正弦定理知（b-a）2=c2-bc，

∴ b2+a2-c2=bc，由余弦定理知：cosC=■，C=■，

A+B=■，∴ sinA·sinB=sinA·sin（■-A）=sinA·（■cosA+■sinA）=■sinA·cosA+■sin2A=■sin2A+■（1-cos2A）=■sin（2A-■）+■.

∵ A∈（0，■），∴ 2A-■∈（-■，■）.

所以當(dāng)A=■時(shí)，sinA·sinB的最大值是■.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)