數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)研究

楊人子 王靜

[摘 要]培養(yǎng)創(chuàng)新型人才是高等教育發(fā)展的必然要求。將建模思想融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)環(huán)節(jié)中，從課堂設(shè)計(jì)、課內(nèi)互動(dòng)和課后反饋方面給學(xué)生營造一個(gè)發(fā)現(xiàn)和研究知識的氛圍，培養(yǎng)學(xué)生利用各種發(fā)散性思維方法去解決問題，將高等數(shù)學(xué)從“是什么”的知識型的教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄俊盀槭裁础钡哪芰π偷慕虒W(xué)，從而激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新熱情，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模;高等數(shù)學(xué);教學(xué)方法

[中圖分類號] G420 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）03-0103-04

從高校基礎(chǔ)教學(xué)開始培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，是當(dāng)前教學(xué)改革的一個(gè)重要研究方向。高校學(xué)生的大學(xué)階段正是其人生思想最為活躍、最有激情的黃金時(shí)期，也是世界觀逐步形成和逐漸走向成熟的重要時(shí)期，教師先進(jìn)的教學(xué)理念和對教學(xué)內(nèi)容傳授的深度和廣度，極大影響著學(xué)生對未來生活的創(chuàng)新熱情和創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)建模思想，是將生活中的實(shí)際問題客觀構(gòu)建成相應(yīng)數(shù)學(xué)模型的過程。將建模思想融入教學(xué)環(huán)節(jié)中，就是將傳授知識的過程轉(zhuǎn)化為帶領(lǐng)學(xué)生參加研究和發(fā)現(xiàn)的過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生的創(chuàng)新潛能得到激發(fā)，創(chuàng)新能力得到提高。在這樣環(huán)境中成長起來的大學(xué)生，才有可能成為拔尖的創(chuàng)新型人才。本文結(jié)合自身的教學(xué)情況，從數(shù)學(xué)建模思想的角度，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，探究數(shù)學(xué)概念的淵源和應(yīng)用，闡述數(shù)學(xué)思維的深度和廣度，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生探究“為什么”的能力型的教學(xué)，而不僅僅著重“是什么”的知識型的學(xué)習(xí)，潛移默化地去激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新熱情和提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，進(jìn)而培養(yǎng)創(chuàng)新型大學(xué)生。

一、融入數(shù)學(xué)建模思想的高等數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)

所謂的建模思想，就是將生活中遇到的問題客觀地構(gòu)建出一個(gè)數(shù)學(xué)模型的過程。其主要就是把一個(gè)復(fù)雜的問題簡單化、抽象化，確定變量和參數(shù)，轉(zhuǎn)化為某種數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)解題方法尋找答案。建模思想的解題思維可以提高學(xué)生的想象力、觀察力和創(chuàng)造力，這是一種將創(chuàng)造能力和解決實(shí)際問題融在一起的新思維。如果教學(xué)還是按照以前的傳統(tǒng)教育模式開展，缺乏對學(xué)生的啟發(fā)性，忽視對學(xué)生探索精神的鼓勵(lì)，使學(xué)生只是在課堂上獲得知識而沒有實(shí)踐驗(yàn)證，只是傾向于難題、偏題的做題訓(xùn)練，這是對學(xué)生創(chuàng)造性的扼殺，很難提高教育質(zhì)量。隨著教學(xué)的發(fā)展和社會需求，新的教育方式應(yīng)該跟生活緊密聯(lián)系在一起，融入建模思想的教學(xué)倡導(dǎo)讓學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建問題模型，而不是單純做難題片面地提高成績。高數(shù)教師是大學(xué)基礎(chǔ)課程任課教師，若在教學(xué)中能對知識面的深度和廣度上多做拓展，努力展現(xiàn)高等數(shù)學(xué)特有的活力和魅力，激勵(lì)學(xué)生從基礎(chǔ)學(xué)科開始就去創(chuàng)造性地分析問題和解決問題，逐步積累養(yǎng)成正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣，這能夠影響他們在其他方面的發(fā)展，也就可能培養(yǎng)出具有創(chuàng)新能力的領(lǐng)軍式人才。

（一）把知識當(dāng)成課題去研究

高等數(shù)學(xué)的一些概念，如極限、導(dǎo)數(shù)和積分等，學(xué)生已在高中學(xué)習(xí)，但學(xué)習(xí)內(nèi)容僅限于把它們當(dāng)成公式來計(jì)算使用，并未探討這些知識概念的產(chǎn)生、發(fā)展和總結(jié)?，F(xiàn)在讓學(xué)生重新審視已學(xué)過的數(shù)學(xué)概念，將說歷史、講方法、論思想等內(nèi)容有機(jī)滲透到教學(xué)環(huán)節(jié)中，改變其被動(dòng)接受的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，引導(dǎo)學(xué)生思考：概念的起源、數(shù)學(xué)形式的轉(zhuǎn)化過程、現(xiàn)有方法的局限性、關(guān)鍵環(huán)節(jié)等問題。教師將課堂內(nèi)容當(dāng)成正在研究的課題，帶領(lǐng)學(xué)生審視知識的發(fā)現(xiàn)和研究的全過程。學(xué)生以全新的方式重新學(xué)習(xí)學(xué)過的數(shù)學(xué)概念，不僅能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，研究的過程又能讓他們獲得頑強(qiáng)探討問題的勇氣，也不會因?yàn)檫^程的挫折而感到沮喪。教師講解定理證明嚴(yán)密的邏輯推理是必需的，但定理的發(fā)現(xiàn)、總結(jié)和歸納過程，更能引發(fā)學(xué)生對深入學(xué)習(xí)知識的積極探索欲望。

（二）強(qiáng)調(diào)科學(xué)思想方式

學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)階段，應(yīng)牢記公式和結(jié)論，但要不斷提醒他們注重?cái)?shù)學(xué)的精神、思想和方法，絕不能“不知其所以然”。因?yàn)楦鞣N公式或理論會隨著時(shí)間環(huán)境的推移，使人逐步地有所遺忘，而科學(xué)思想方法卻可以保留下來，它讓人思路開闊，善于聯(lián)想。思維規(guī)范化將提高學(xué)習(xí)和工作效率，從而受益終生。在課堂中，對實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行分析，從中找出因素關(guān)系，轉(zhuǎn)化為抽象的符號表示，用各種實(shí)例反復(fù)歸納與演繹，并進(jìn)行各種可能性討論，最終得到公理化結(jié)論。這種經(jīng)過抽象符號化、最優(yōu)化決策和公理化總結(jié)等過程獲得的數(shù)學(xué)知識，會有效地提高學(xué)生對問題的洞察力和敏感性，學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了高數(shù)知識，更是學(xué)到了科學(xué)的思想方法，這也是信息時(shí)代對高等數(shù)學(xué)教學(xué)提出的要求。

（三）理論與實(shí)踐多結(jié)合

高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念來源于歷史上各種典型問題，剖析其過程，讓學(xué)生更容易明白為什么學(xué)這些知識。在這個(gè)信息爆炸的時(shí)代，各門學(xué)科呈現(xiàn)相互交叉的趨勢，數(shù)學(xué)已成為對各種專業(yè)學(xué)生都有吸引力的一門學(xué)科。重視實(shí)際性問題的討論，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)與自然科學(xué)、社會科學(xué)以及哲學(xué)的相互聯(lián)系和促進(jìn)，小到生活中的小事件，大到自然宇宙的大奧秘，數(shù)學(xué)在其他學(xué)科領(lǐng)域呈現(xiàn)的多樣化，帶給學(xué)生嶄新的視角——數(shù)學(xué)就在我們身邊，研究和發(fā)現(xiàn)的樂趣會推動(dòng)學(xué)生產(chǎn)生對討論問題的興趣和勇氣，實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型與解讀自然的交互模式。

（四）培養(yǎng)數(shù)學(xué)鑒賞力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)講究統(tǒng)一與和諧，具有簡潔、對稱和演變等特性。只有對事物有本質(zhì)的深刻認(rèn)識和正確萃取，才能將具有共同特點(diǎn)的不同事物和現(xiàn)象統(tǒng)一抽象為一體，用簡潔的方式闡述內(nèi)在的客觀規(guī)律，并挖掘問題的對稱性和演變性規(guī)律。這是數(shù)學(xué)理論的美妙之處。高等數(shù)學(xué)的概念和公式很多，經(jīng)常對數(shù)學(xué)知識做比較和總結(jié)，鑒別好與壞、重要與不重要、基本與非基本，是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中很重要的事情，也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)鑒賞力的方法。具有數(shù)學(xué)鑒別力的學(xué)生懂得區(qū)分事物主次，能夠抓住事物本質(zhì)，自然高數(shù)也就學(xué)得好。

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中建立數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)踐措施

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中，數(shù)學(xué)建模思想的融入對高數(shù)教師提出了更高的要求。教師除了對課本內(nèi)容要有較好把握，還需要對數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)與各學(xué)科之間的交叉互融有所了解，同時(shí)需要介紹當(dāng)代前沿科技，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在他們未來的學(xué)習(xí)生活中的重要性。下面從課堂設(shè)計(jì)、課內(nèi)互動(dòng)和課后反饋等四個(gè)方面介紹融入數(shù)學(xué)建模思想的高數(shù)教學(xué)實(shí)踐措施。

（一）教師在課堂中多提“為什么”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)投入新知識的研究中

基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)，教師不僅要告訴學(xué)生“是什么，學(xué)什么”，更要告訴學(xué)生“為什么”。提出問題有時(shí)比解決問題更為重要，因?yàn)樗鼤屢粋€(gè)復(fù)雜的問題以淺顯的形式呈現(xiàn)出來，讓人思考，從而帶動(dòng)學(xué)生自然地進(jìn)入學(xué)習(xí)之中。如在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的開篇時(shí)，讓學(xué)生思考：微積分是怎么來的？為什么會有微積分這個(gè)理論？古時(shí)人們用微積分來解決什么樣的問題？隨著科技發(fā)展，力學(xué)和天文學(xué)以及更多的工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，在造船、航海、建筑、機(jī)器制造，運(yùn)河和堤壩的修建上，很多實(shí)際問題得不到解決，如變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，曲線的切線，或者不規(guī)則圖形的面積、弧長、體積是多少，在某一種條件下求最大最小值等等問題。這些問題單憑想象是解決不出來的，所以人們不斷探討就產(chǎn)生了微積分。再如均勻幾何圖形的質(zhì)心，從一維空間線段的中點(diǎn)，到二維空間三角形三條中線的交點(diǎn)，再到三維空間四面體六個(gè)中面的交點(diǎn)，那么四維空間的單體是什么樣子，質(zhì)心如何求，進(jìn)一步n維空間情況如何？人們借助類比，將直觀的三維空間升級為四維空間、n維空間，也就產(chǎn)生了解析幾何。解析幾何使我們把幾何性質(zhì)變成代數(shù)性質(zhì)，通過類比把代數(shù)性質(zhì)移植到了高維空間。在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，每一種理念有不同的歷史背景，通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、歸納、猜想等手段，教師提出恰當(dāng)?shù)膯栴}，如同畫龍點(diǎn)睛，讓學(xué)生領(lǐng)悟知識的本質(zhì)，也讓學(xué)生理解很多數(shù)學(xué)概念是從實(shí)際生活中抽象出來的，取于生活也用之于生活。在高數(shù)教學(xué)環(huán)節(jié)中，課時(shí)緊張的原因會讓很多這種疑難雜題直接跳過不講解，這就需要教師將數(shù)學(xué)建模思想融入平日的教學(xué)中，提出關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生把在課堂上學(xué)習(xí)的定理作為特定的模型，把定理?xiàng)l件作為模型的假設(shè)，舉一反三解決問題。建立建模思想的教學(xué)模式，不僅讓學(xué)生學(xué)到了知識，還推動(dòng)了學(xué)習(xí)的積極性。如下是課堂教學(xué)中使用的一些圖片和小視頻，直觀地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系。

（二）在習(xí)題課、作業(yè)練習(xí)中，題目的趣味性有利于數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)

“學(xué)好高數(shù)就是刷題！”這似乎已成了大一新生對高等數(shù)學(xué)的普遍認(rèn)識。學(xué)生疲于各種習(xí)題集的刷題，一些人在此過程中失去了對高數(shù)學(xué)習(xí)的興趣。的確，高等數(shù)學(xué)中的極限計(jì)算、導(dǎo)數(shù)計(jì)算、積分計(jì)算等需要不斷練習(xí)才能得以鞏固，但是若讓學(xué)生明白掌握了這些知識的思想方法，反反復(fù)復(fù)地做題并不無必要。因此課堂的例題和課后的練習(xí)題，除去必要的練習(xí)鞏固目的，題目的趣味性是吸引學(xué)生不斷學(xué)習(xí)的動(dòng)力，一個(gè)又一個(gè)生動(dòng)實(shí)際的例子，會讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美妙，享受思維的樂趣和能力提高的愉悅，學(xué)習(xí)的興趣也就保持高漲了。比如在導(dǎo)數(shù)的章節(jié)，警匪的追擊問題轉(zhuǎn)化為切線和弧長的討論、丁字路口木棍的通過轉(zhuǎn)化為求棍長的最小值、龜兔賽跑轉(zhuǎn)化為相關(guān)變化率的求解、火箭發(fā)射脫離地球引力的速度轉(zhuǎn)化為反常積分的計(jì)算，等等。一些競賽的題目也可以拿來討論，如機(jī)場出租車載客的最優(yōu)策略、同心鼓項(xiàng)目使得連續(xù)顛球次數(shù)最多的數(shù)學(xué)模型、柴油機(jī)工作過程中壓力和噴油量的函數(shù)關(guān)系、高溫作業(yè)專業(yè)服裝關(guān)鍵部位的最優(yōu)厚度、物料加工作業(yè)流程的優(yōu)化調(diào)度模型和求解算法，等等。這些實(shí)際問題都需要用數(shù)學(xué)建模的思想來解決，學(xué)生利用已掌握的數(shù)學(xué)理論知識，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)而解決，這也就做到把知識型問題轉(zhuǎn)化為能力型問題，強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用意識。如下為方向?qū)?shù)和積分的應(yīng)用題目，無論學(xué)生能否求解出來，題目的趣味性都會吸引他去做探究。

（三）教學(xué)內(nèi)容的大框架，會給學(xué)生提供廣闊的思維發(fā)展空間

教學(xué)內(nèi)容的大框架，是指教師對教學(xué)內(nèi)容要有高屋建瓴的掌控能力。高等數(shù)學(xué)的包容性很強(qiáng)，是所有理工科專業(yè)課的基礎(chǔ)，教學(xué)內(nèi)容廣度和深度的提高，會讓教學(xué)更多些理性、多些必然和多些趣味，學(xué)生自然也就多些理解。如在討論級數(shù)時(shí)，從函數(shù)空間線性分解的角度引入冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考某區(qū)間上正交的多項(xiàng)式基;在三重積分中，球面坐標(biāo)系的定限問題在高等數(shù)學(xué)的課本中通常未做闡述，只是舉例說明，若引入坐標(biāo)網(wǎng)格和坐標(biāo)切片，不僅使球面坐標(biāo)系，也使更多的n重積分一目了然;拉格朗日中值定理中輔助函數(shù)的構(gòu)造，引入利用集合、泛函和極值的思想方法解決，而這也是平面區(qū)域共形分類的黎曼定理的思想方法。數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉，使新專業(yè)和新發(fā)展趨勢不斷產(chǎn)生，信息技術(shù)、醫(yī)學(xué)圖像、特征識別、人工智能、數(shù)據(jù)應(yīng)用等新工科領(lǐng)域中的應(yīng)用，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的特有魅力。教師平日有意識收集前沿科學(xué)發(fā)展的信息，并能結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識在課堂教學(xué)中有所體現(xiàn)，這種對教學(xué)內(nèi)容的寬廣視野將帶給學(xué)生更廣闊的思維發(fā)展空間，讓教學(xué)從句號式的教學(xué)轉(zhuǎn)化為省略號式的教學(xué)。如下的截圖為課后利用網(wǎng)絡(luò)與學(xué)生交流的題目，有目的地提出問題，讓學(xué)生自主尋找答案。

（四）借助計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)教育資源，提高學(xué)習(xí)效率

計(jì)算機(jī)的應(yīng)用給各種專業(yè)技術(shù)帶來了高速的發(fā)展，其強(qiáng)大的計(jì)算能力能夠準(zhǔn)確地解決那些反復(fù)機(jī)械的計(jì)算問題。高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)顯然離不開計(jì)算，但必須清楚計(jì)算機(jī)的作用是輔佐教學(xué)和學(xué)習(xí)，通過計(jì)算機(jī)的計(jì)算讓學(xué)生更有效、更有說服力地思維，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這門課程就發(fā)揮了這樣的作用。實(shí)驗(yàn)課上，學(xué)習(xí)Mathematica軟件，通過一些具體的實(shí)例的示范讓學(xué)生品味各種數(shù)學(xué)概念的奧秘，直觀地表示會讓他們思維豁然開朗。如用數(shù)形結(jié)合的方法觀察數(shù)列極限，隨著n的無限增大，數(shù)列無限趨近于某個(gè)常數(shù);泰勒多項(xiàng)式對于函數(shù)近似程度隨著階數(shù)的提高而提高，但是對于任意確定次數(shù)的多項(xiàng)式，它只在展開點(diǎn)附近的一個(gè)局部范圍內(nèi)才有較好的近似精確度;參數(shù)方程確定的函數(shù)和極坐標(biāo)函數(shù)通過作圖對其有真實(shí)全面的了解。再如一些積不出來的不定積分，可以利用軟件編程確定;收斂性是極限與級數(shù)學(xué)習(xí)的基本問題，同樣可以利用軟件計(jì)算結(jié)果幫助我們預(yù)判。網(wǎng)絡(luò)讓教師和學(xué)生的交流更為便捷，平臺上的各種知識資源可以及時(shí)地傳送給學(xué)生和反饋給教師，一些考核方式也完全可以在網(wǎng)絡(luò)平臺上得到實(shí)現(xiàn)。如下的截圖為利用Mathematica軟件所做的一些數(shù)學(xué)概念的討論圖。

三、總結(jié)

古人云：“授之以魚，不如授之以漁?！睍r(shí)代在發(fā)展，培養(yǎng)人才的模式在改變，高等教育方式也在不斷創(chuàng)新改革。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師不要把知識當(dāng)成教條，把知識的應(yīng)用當(dāng)成機(jī)械的模仿行為，而要轉(zhuǎn)變教育觀念，融入數(shù)學(xué)建模思想，探究數(shù)學(xué)概念的淵源和應(yīng)用，闡述數(shù)學(xué)思維的深度和廣度，潛移默化地去激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新熱情和提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，這樣才能實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。

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[責(zé)任編輯：林志恒]