可實(shí)現(xiàn)以期望角度過頂迂回打擊的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)*

吳錕，陳東生，金岳

(北京航天飛騰裝備技術(shù)有限責(zé)任公司，北京 100094)

0 引言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，對(duì)于武器裝備的要求越來越高，針對(duì)戰(zhàn)場(chǎng)的主要作戰(zhàn)武器導(dǎo)彈而言，僅有脫靶量的要求已經(jīng)不能夠滿足戰(zhàn)爭(zhēng)的要求，對(duì)于坦克等具有較強(qiáng)防御能力的地面目標(biāo)，對(duì)其實(shí)施攻頂能夠提高毀傷效率，對(duì)于地面指揮控制中心等，采用落角大于70°的侵徹戰(zhàn)斗部才能發(fā)揮更好的侵徹效果[1]。針對(duì)某些特殊位置的目標(biāo)，比如地面反斜面固定目標(biāo)，甚至需要繞到斜面后方對(duì)其進(jìn)行打擊。帶有角度約束的制導(dǎo)律最早由Kim和Grider[2]提出，此后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)帶有角度約束的制導(dǎo)律進(jìn)行了許多研究。

基于幾何的方法是通過導(dǎo)彈和目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何特性來進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，包括圓弧制導(dǎo)律(circular navigation guidance law,CNGL)[11-12]和內(nèi)角制導(dǎo)律[13]等。文獻(xiàn)[14]指出，圓弧制導(dǎo)律在初始方位角和最終速度方向角相差較大時(shí)，導(dǎo)致軌跡較長(zhǎng)，所需能量較大，并且在初始方向角誤差較大時(shí)會(huì)造成制導(dǎo)指令飽和的問題。當(dāng)采用2段圓弧進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí)，圓弧制導(dǎo)律的性能得到較為明顯的改善。文獻(xiàn)[15]指出，基于雙圓弧原理的制導(dǎo)律相對(duì)偏置比例導(dǎo)引律的法向過載較小。與最優(yōu)制導(dǎo)律相比，雙圓弧制導(dǎo)律無需實(shí)時(shí)估計(jì)彈目距離。基于雙圓弧原理的制導(dǎo)律結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，在工程上更容易實(shí)現(xiàn)。

盡管在之前的文獻(xiàn)中存在許多終端角度約束的制導(dǎo)律，但是大多依賴于剩余飛行時(shí)間估計(jì)或者角度約束的范圍較小。本文基于雙圓弧曲線擬合的平行弦線法，采用“C”型2段圓弧模擬導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡，針對(duì)地面目標(biāo)進(jìn)行特定角度的打擊。在之前的關(guān)于雙圓弧制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中，大多是假設(shè)2段圓弧半徑相等或者導(dǎo)引到方向線上。本文所設(shè)計(jì)導(dǎo)引律的軌跡通過雙圓弧擬合的平行弦線法進(jìn)行確定，將導(dǎo)彈直接引導(dǎo)至目標(biāo)點(diǎn)而非方向線上，在飛行過程中不需要估計(jì)剩余飛行時(shí)間，擴(kuò)大了傳統(tǒng)角度約束的范圍，能夠?qū)崿F(xiàn)過頂迂回打擊。相對(duì)于偏置比例導(dǎo)引律，末端過載峰值較小，控制能量較小。

1 運(yùn)動(dòng)模型和問題描述

考慮導(dǎo)彈在縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，假設(shè)導(dǎo)彈速度大小不變，目標(biāo)為固定地面目標(biāo)。導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)如圖1所示。

圖1 彈-目相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Sketch map of the missile and target relative motion

圖中vm為導(dǎo)彈速度，am為導(dǎo)彈加速度，θm為彈道傾角，規(guī)定逆時(shí)針為正。則導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

帶有角度約束的制導(dǎo)問題，指的是導(dǎo)彈在末制導(dǎo)的最后時(shí)刻，不僅脫靶量為0，并且導(dǎo)彈打擊目標(biāo)的角度滿足期望角度，其數(shù)學(xué)形式的表達(dá)為

(2)

式中：tf為導(dǎo)彈的命中時(shí)刻;θd為期望命中角度。當(dāng)采用偏置比例導(dǎo)引法解決此類問題時(shí)，在彈道末端過載會(huì)較大，并且變化不均勻。圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡簡(jiǎn)單，并且在運(yùn)動(dòng)過程中，加速度大小穩(wěn)定，在理想的條件下加速度不會(huì)出現(xiàn)大幅變化。此外，由于圓弧軌跡的切線能夠滿足任意角度，將其作為導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的彈道，很容易就能夠滿足末端的角度約束，相對(duì)傳統(tǒng)的角度約束制導(dǎo)律，能夠滿足的角度范圍更大。

2 雙圓弧擬合原理

雙圓弧原理最早在20世紀(jì)70年代被應(yīng)用在工程設(shè)計(jì)中，近些年在機(jī)器人和航空航天等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，不失一般性，選取2段圓弧曲線都在起點(diǎn)和終點(diǎn)連線的同一側(cè)，其示意圖如圖2所示。采用雙圓弧方法來擬合導(dǎo)彈的彈道，需要對(duì)雙圓弧的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行求解，在雙圓弧軌跡中，需要確定6個(gè)參數(shù)，分別是雙圓弧的起點(diǎn)和終點(diǎn)，起點(diǎn)處和終點(diǎn)處的切線方向以及2段圓弧連接點(diǎn)的位置和公切線的斜率。

圖2 平行弦線法雙圓弧曲線擬合示意圖Fig.2 Sketch map of the double arcs curve fitting in parallel subtense method

導(dǎo)彈在初始時(shí)刻的速度方向和命中時(shí)刻的速度方向都是已知的，因此在雙圓弧的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置及其切線方向都已知的情況下，只需要求解的2段圓弧連接點(diǎn)(公切點(diǎn))位置和公切線的斜率。通常確定公切線的方法包括垂直平分線法、平行弦線法和平均轉(zhuǎn)角法。由于導(dǎo)彈和目標(biāo)的位置已知，因此本文采取平行弦線法來對(duì)雙圓弧曲線進(jìn)行求解。

(3)

為了保證曲線的正確擬合，圓弧軌跡需要滿足以下2個(gè)條件：

(1) 2段圓弧應(yīng)該滿足保凸要求，即在起點(diǎn)P1和終點(diǎn)P2處的切線要求實(shí)交點(diǎn)，在此約束下，要求αβ<0。

(2) 2段圓弧都是劣弧，即由起點(diǎn)P1、終點(diǎn)P2和實(shí)交點(diǎn)M構(gòu)成的三角形中|α|+|β|<π。

至此，雙圓弧曲線被唯一確定。

3 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

基于雙圓弧的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)是導(dǎo)彈的圓周運(yùn)動(dòng)，在縱向平面內(nèi)，導(dǎo)彈的加速度指令方向始終和速度方向垂直，并且在同一段圓弧內(nèi)，加速度大小恒定，也即：

(4)

根據(jù)式(3)可以求得

(5)

式中：r0為初始時(shí)刻彈目相對(duì)距離。

將式(5)代入式(4)得到基于雙圓弧原理的加速度指令為

(6)

式(6)表示的加速度指令只與導(dǎo)彈和目標(biāo)初始位置確定的參數(shù)有關(guān)，不需要實(shí)時(shí)解算導(dǎo)彈飛行過程中的彈目距離等參數(shù)。圖3是以圖2為基礎(chǔ)，以目標(biāo)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了初始彈目視線角得到的。采用平行弦線法確定雙圓弧軌跡時(shí)，雙圓弧曲線的確定是以彈目連線為基準(zhǔn)的，因此導(dǎo)彈實(shí)際在命中目標(biāo)時(shí)的攻擊角度 |θf|=|β|+|ε|。 根據(jù)雙圓弧軌跡需要滿足的第2個(gè)條件可以看到，此時(shí)的攻擊角度約束的范圍相對(duì)于傳統(tǒng)的角度約束范圍更大，采用這種雙圓弧曲線軌跡設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律，理論上可以擴(kuò)大末端角度約束的范圍，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的過頂迂回打擊。

圖3 導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖Fig.3 Sketch map of missile track

4 仿真校驗(yàn)與分析

4.1 制導(dǎo)方案可行性驗(yàn)證

為了滿足不同的戰(zhàn)斗場(chǎng)景和需求，假設(shè)期望的攻擊角度分別為60°，90°和120°，3種場(chǎng)景下初始時(shí)刻導(dǎo)彈和目標(biāo)的參數(shù)相同。仿真的基本參數(shù)如表1所示。

表1 仿真基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of simulation

仿真結(jié)果如圖4所示，從仿真曲線可以看出，導(dǎo)彈在以60°，90°，120°對(duì)目標(biāo)進(jìn)行打擊時(shí)，均能命中目標(biāo)。對(duì)應(yīng)的脫靶量分別為0.264 5 m，0.289 1 m和0.096 9 m，落角誤差分別為0.001 3°,0.001 1°和0.005 2°，脫靶量較小，能夠滿足精度要求，同時(shí)角度控制精度也較高。因此，從角度約束的打擊要求來看，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能夠滿足精度要求，所設(shè)計(jì)方案可行。

圖4 雙圓弧制導(dǎo)方案的仿真曲線Fig.4 Simulation curves of the double arcs guidance law

考慮到在實(shí)際戰(zhàn)場(chǎng)上，很難準(zhǔn)確獲取目標(biāo)的位置，因此在仿真中，在目標(biāo)的位置信息中分別加入高斯白噪聲和有色噪聲，采用蒙特卡羅仿真方法，進(jìn)行100次打擊，得到的脫靶量和落角誤差的仿真結(jié)果分別如圖5a)和圖5b)所示。從圖中結(jié)果可以看到，導(dǎo)彈在末端的脫靶量較小，仿真結(jié)果的均值小于1 m，考慮導(dǎo)彈的體積，可以認(rèn)為導(dǎo)彈直接命中了目標(biāo)；角度精度非常高，落角誤差仿真結(jié)果均值為10-3量級(jí)，可以按照期望的角度精確打擊。因此該制導(dǎo)律在實(shí)際戰(zhàn)場(chǎng)上具有一定的工程價(jià)值，具備以期望角度打擊地面固定目標(biāo)的能力。

圖5 100次蒙特卡羅仿真結(jié)果Fig.5 Results of 100 Mento Carlo simulation

4.2 性能對(duì)比仿真

從圖6a)的軌跡對(duì)比曲線可以看到，在約束角度為90°時(shí)，偏置比例導(dǎo)引律和本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)方案都能夠滿足一定的精度要求和角度約束。偏置比例導(dǎo)引律命中時(shí)間為24.094 s，雙圓弧制導(dǎo)律飛行時(shí)間更短，只需要22.403 s，并且本文設(shè)計(jì)的雙圓弧制導(dǎo)律的軌跡更加平滑。從過載曲線可以看到，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律的過載相對(duì)偏置比例導(dǎo)引律峰值更小，只在2段圓弧的連接點(diǎn)發(fā)生了變化。從控制能量來說，本文方案的控制能量相對(duì)偏置比例導(dǎo)引律有較為明顯的減小。這對(duì)于工程中的低成本要求具有重要價(jià)值。

從圖6b)可以看到，在末端約束角度為120°時(shí)，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)方案仍能滿足角度約束并精確命中目標(biāo)，而偏置比例導(dǎo)引律無法以期望的角度命中目標(biāo)，并且在末端過載變得很大且抖動(dòng)。在這種情況下，偏置比例導(dǎo)引律失效。

圖6 BPNG和本文制導(dǎo)律性能對(duì)比Fig.6 Performance comparison of BPNG and the double arcs guidance law

為了進(jìn)一步對(duì)比所設(shè)計(jì)方案和BPNG的性能，將目標(biāo)設(shè)置為緩慢移動(dòng)，速度為30 m/s，對(duì)比仿真結(jié)果如圖7所示。從結(jié)果來看，當(dāng)目標(biāo)移動(dòng)時(shí)，偏置比例導(dǎo)引律仍能以期望的角度來命中目標(biāo)，而本文設(shè)計(jì)的雙圓弧制導(dǎo)方案無法以期望角度命中目標(biāo)，并且在彈道末端出現(xiàn)了發(fā)散現(xiàn)象。這也是本文設(shè)計(jì)方案的不足之處，在后續(xù)研究中可以繼續(xù)進(jìn)行改進(jìn)。

圖7 目標(biāo)緩慢移動(dòng)BPNG和BCNG性能對(duì)比Fig.7 Performance comparison of BPNG and BCNG when target with small velocity

5 結(jié)束語

本文通過雙圓弧曲線擬合的原理，基于圓弧曲線的幾何特性設(shè)置了一種雙圓弧制導(dǎo)律。并將其性能和傳統(tǒng)的偏置比例導(dǎo)引律進(jìn)行了對(duì)比。針對(duì)固定的地面目標(biāo)進(jìn)行打擊時(shí)，從彈道來看，雙圓弧制導(dǎo)方案曲線軌跡更加平滑，飛行時(shí)間也相對(duì)偏置比例導(dǎo)引律有所改善；從角度約束范圍來說，該制導(dǎo)律的可用角度約束范圍更大，最大約束范圍超過了90°，這表明通過該制導(dǎo)方案可以滿足大角度的侵徹任務(wù)和過頂迂回打擊的任務(wù)，針對(duì)地下目標(biāo)以及反斜面固定目標(biāo)具有良好打擊效果，在執(zhí)行某些特殊任務(wù)時(shí)有較大價(jià)值；從過載來看，該制導(dǎo)方案的整個(gè)彈道過載都比較小，尤其是在接近目標(biāo)的末段，這也使得整個(gè)控制過程消耗的能量小于偏置比例導(dǎo)引律，除了圓弧連接點(diǎn)處，過載都是恒定值，這也能在一定程度提高控制精度。但是，在針對(duì)地面慢移動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行打擊時(shí)，本文的制導(dǎo)方案則失去了角度約束的能力，并且在彈道末端出現(xiàn)了過載發(fā)散的現(xiàn)象，因此，本方案并不具備打擊移動(dòng)目標(biāo)的能力。

本文的制導(dǎo)方案能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)固定目標(biāo)的全方位打擊，滿足的角度約束范圍大，但是不足在于，該方案屬于離線制導(dǎo)方案，會(huì)存在誤差累積的問題，不具備打擊移動(dòng)目標(biāo)的能力，應(yīng)用的場(chǎng)景相對(duì)較為局限。這些存在的問題和值得繼續(xù)研究的內(nèi)容為后續(xù)的研究提供了方向和指導(dǎo)。