引入人口老齡化和國民儲蓄率因子的索洛模型

摘要：本文基于索洛模型，引入人口老齡化和國民儲蓄率兩個影響變量因子，對索羅模型進行擴展，使經(jīng)濟增長的研究方向更加接近現(xiàn)實意義。

關(guān)鍵詞：人口老齡化;儲蓄率;索洛模型

1索洛模型發(fā)展概況

經(jīng)濟增長是人類世代繁衍的核心追求，是經(jīng)濟發(fā)展的基礎(chǔ)。因此，研究和分析經(jīng)濟增長的變化因素，為就顯得尤為重要。許多經(jīng)濟學(xué)家和學(xué)者在對經(jīng)濟增長的機制研究和探索做出很多的貢獻，并且研究模型種類繁多。下面簡單介紹一些相關(guān)的模型發(fā)展歷程：

1.1哈羅德-多馬模型

20世紀40年代，哈羅德和多馬曾最早在經(jīng)濟學(xué)中提出了一個結(jié)合數(shù)學(xué)模型，并且具有動態(tài)化以及長期化特點的經(jīng)濟增長理論模型，這個模型表明：國家經(jīng)濟增長的變化率等于儲蓄率和一個常數(shù)的比值，并且假定的產(chǎn)品既是消耗又是資本，哈羅德-多馬模型的這個固定系數(shù)在短期中才有現(xiàn)實性，而經(jīng)濟增長理論討論的是一個長期的表現(xiàn)，因此這個固定系數(shù)的缺陷受到了很多經(jīng)濟學(xué)派的批評，所以很快被索洛模型修正并取代。

1.2索洛-斯旺模型

羅伯特·索洛（Solow）和斯旺（Swan）在1956年提出的索洛模型又稱索洛-斯旺模型，他們棄用了哈羅德-多馬模型中的許多不合理的假設(shè)，例如把生產(chǎn)函數(shù)固定系數(shù)不變的假設(shè)推翻，并使用柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。根據(jù)索洛模型假定的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，并且還假定產(chǎn)量分為消費和投資，而現(xiàn)存的資本又有相應(yīng)的折舊，其中s是投資的比例，δ是折舊率。根據(jù)鏈式法求解可得：

dkdt=sf（k）-（n+g+δ）k

2引入老年人口占比及國民儲蓄率的索洛模型

傳統(tǒng)增長模型的勞動L（t）利用人口來對進行衡量。即假定每個人都會對社會做出勞動貢獻，并且貢獻也是相同的，但現(xiàn)實生活中真正對經(jīng)濟提供勞動的人口，是適齡勞動人口（15～64歲）。傳統(tǒng)的經(jīng)濟增長模型可表達為：

Y（t）=F（K（t），A（t）L（t））（2.1）

其中表示時間，而K（t）、A（t）、L（t）分別是與時間有關(guān)但和時間沒有直接關(guān)系的資本、知識（或勞動的有效性）、勞動。本文以同樣方式假定該生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報酬不變的，用公式表達：

F（cK，cAL）=cF（K，AL），Ac≥0（2.2）

設(shè)總?cè)丝跒镹（t），其中，u指的是老年人口占總?cè)丝诘谋戎?，h指的是少兒人口占總?cè)丝诘谋戎怠?

F（kAf（u，h）N，1）=1Af（u，h）NF（K，Af（u，h）N）（2.3）

因為有效勞動的總產(chǎn)出Y0按照投資比例進行投資，即Y0=F（K，Af（u，h）N），記Yu是用于養(yǎng)老部分的，Yh是用于撫養(yǎng)少兒部分的，那么Y0是在總產(chǎn)出Y扣除兩部分撫養(yǎng)和贍養(yǎng)的消費后剩余的，用公式表達：

Y0=Y-Yu-Yh（2.4）

s=st（1-uq1-hq2）（2.5）

其中，st是指t時刻我國的國民儲蓄率，s是我國經(jīng)濟發(fā)展中用于資本投資的比例。

同樣的，k是指每單位有效勞動的平均資本產(chǎn)量，即：

k=kAf（u，h）N（2.6）

則（2.3）式子就可以簡寫成：

y=f（k）=F（k，1）=kα（2.7）

3擴展索洛模型的動態(tài)過程

本文同樣對勞動、知識和資本是隨時間的變化做出假定其中，勞動和知識可以假定為指數(shù)增長的，即勞動力和知識技術(shù)是以不變的速度增長：

dN（t）dt=nN（t）

dN（t）dt=gA（t）（3.1）

我國產(chǎn)量中用于投資的比例是按s進行投資，因此每單位投資的產(chǎn)品可以產(chǎn)生新的一單位資本，并且現(xiàn)存的資本是以δ為折舊率進行折舊。那么就有：

dkdt=sY0-δK（t）（3.2）

將公式（2.4）帶入上式可得：

dkdt=St（1-uq1-hqz）Y-δK（t）（3.3）

本文猜測，經(jīng)濟可能隨時間的增長而增長，那么可以從每單位有效勞動的平均資本存量k入手著重考慮，這樣就比直接考慮資本存量K容易。因為k=kAf（u，h）N，f（u，h）=1-u-h，則可以用鏈式法對（2.11）求解：

dk（t）dt=st（1-uq1-hqz）y-（δ+n+g-u+h1-u-h）k（t）（3.4）

方程（3.4）是引入我國國民儲蓄率以及老齡化因子的新索洛模型關(guān)鍵方程，其中，第一項由公式（3.4）可知y是每單位有效勞動的平均產(chǎn)量，而st（1-uq1-hqz）是我國用于投資的比例s。

4均衡增長路徑

觀察公式（3.4），第一項的實際投資的數(shù)學(xué)含義是一個常數(shù)乘以每單位有效勞動的產(chǎn)量，而第二項的持平投資數(shù)學(xué)含義是一條與k（t）成正比的直線，因為最開始是從0開始，所以兩個函數(shù)的第一個交點在原點，并且發(fā)現(xiàn)實際投資的斜率f′（k）會由大變小直至慢慢變成0，即曲線會由陡慢慢變得平坦，這兩條線最終將相較于一點（第二次相交），（如圖2.1所示）并且f〞（k）<0，所以說這個曲線是一個向上凸的函數(shù)圖像，那么與直線（持平投資的函數(shù)圖像）只有除原點以外唯一的一次相交，我們把這個點記作K*，稱為這個動態(tài)方程的均衡點。

當f′（k）=0時，求解可得：

y*（t）=（st（1-uq1-hqz）δ+n+g-11-u-h+1）α1-α（4.1）

對公式（4.1）兩邊同時取對數(shù)可得：

lny*（t）=α1-α[lnst+ln（1-uq1-hqz）-ln（δ+n+g-11-u-h+1）]（4.2）

由圖4.1，我們可以看出兩項之差的值由0逐漸變大再變到0，并且以均衡點為分界點，之前實際投資大于持平投資即是大于零的兩項之差，之后是小于零的兩項之差即實際投資小于持平投資。觀察圖4.2，可知無論k是從什么值開始，都是向k*收斂的（忽略k一開始就停留在原點的情況）。當模型是收斂于k*時，為了研究我國人口老齡化和國民儲蓄率對經(jīng)濟的影響，首先分別求偏導(dǎo)數(shù)：

由上面偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果分析，可初步看出：我國國民儲蓄率對最優(yōu)的人均GDP增長率具有正向的促進影響（0<α<1，δ、n、g均是大于0的常數(shù)，0<1-u-h，0

參考文獻

[1]Solow R M. A Contribution to the Theory of Economic Growth[J]. Quarterly Journal of Economics， 1956， 70（1）：65-94.

[2]張瞻基，李博文.人口年齡結(jié)構(gòu)、儲蓄率與經(jīng)濟增長關(guān)系的路徑研究——基于修正索羅模型的研究[J].中國市場，2014（12）：57-60.

[3]姚帥.淺談索洛模型與現(xiàn)代觀點[J].時代金融.

[4]黃娟，黃寧陽.武漢市經(jīng)濟增長貢獻因素的現(xiàn)狀研究——基于索洛模型的分析[J].湖南農(nóng)業(yè)科學(xué)，2018（08）

作者簡介：沈煬，（1993.11-），男，漢，河南安陽人，助教，碩士研究生，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教材研究、統(tǒng)計學(xué)金融方向研究。